仿真实验线性系统稳定性分析报告

实验四 Stability analysis of linear systems

线性系统稳定性分析

一、实验目的

1．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 2．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、基础知识及MATLAB 函数

注意：routh （）和hurwitz （）不是MATLAB 中自带的功能函数，(在共享文件夹里有劳斯判据和赫尔维茨判据的m 文件，把其中的routh.m 和hurwitz .m 放到MATLAB 文件夹下的work 文件夹中才能运行)。 1）直接求根判稳roots()

控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB 中对多项式求根的函数为roots()函数。

若求以下多项式的根24503510234++++s s s s ，则所用的MATLAB 指令为： >> roots([1,10,35,50,24])

ans =

-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000

特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。 2）劳斯稳定判据routh （）

劳斯判据的调用格式为：[r, info]=routh(den)

该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den 为系统的分母多项式系数向量，r 为返回的routh 表矩阵，info 为返回的routh 表的附加信息。

以上述多项式为例，由routh 判据判定系统的稳定性。

>> syms EPS den=[1,10,35,50,24]; ra=routh(den,EPS) r=

1 35 24 10 50 0 30 24 0 4

2 0 0 24 0 0 info=

[ ]

由系统返回的routh 表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。 3）赫尔维茨判据hurwitz （）

赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz （den ）。该函数的功能是构造hurwitz 矩阵。其中，den 为系统的分母多项式系数向量。

以上述多项式为例，由hurwitz 判据判定系统的稳定性。

>>den=[1,10,35,50,24]; H=hurwitz(den)

H=

10 50 0 0 1 35 24 0 0 10 50 0 0 1 35 24

由系统返回的hurwitz 矩阵可以看出，系统是稳定的。与前面的分析结果完全一致。

4）开环增益K 0和时间常数T 改变对系统稳定性及稳态误差的影响 系统开环传递函数为：)

1)(11.0(10)(0

++=Ts s s K s G ，参考以下图片中的仿真程序：

系统开环传递函数为： )

1)(11.0(10)(0

++=

Ts s s K s G

式中，0K =12/R R ，Ω==Ω=Ω=k 100,k 500~0k 10021R RC T R R ；，，C 取1F

μ或0.1F μ两种情况。

（1）输入信号F C U μ11

r ==，；改变电位器，使2R 从0→500Ωk 方向变化，观察系统的输出波形，确定使系统输出产生等幅震荡时相应的2R 值及0K 值，分析0K 变化对系

统稳定性的影响。

（2）分析T 值变化对系统的影响。

（3）观察系统在不同输入下稳态误差变化的情况。 四、软件仿真实现方法

（1）开机执行程序c:\Matlab\bin\Matlab.exe （或用鼠标双击MATLAB 图标），进入MATLAB 命令窗口：“Command Window ”。

（2）系统开环传递函数为：

)

1)(11.0(10)(0

++=

Ts s s K s G

取T=0.1，即令F C R μ1k 100=Ω=，；取0K =1，即令Ω==k 10021R R ，建立系统数学模型，绘制并记录其阶跃曲线。

（3）理论分析0K 对稳定性的影响。保证T=0.1不变，改变0K ，令0K 分别等于2,3,4,5，即将可变电阻2R 分别设置在200,300,400,500Ωk 。用劳斯判据求出使系统稳定的0K 值范围，并对上述各种情况分别判断稳定性。

（4）由实验验证第（3）步的理论分析结果。分别绘制相应的阶跃响应曲线，并分析0K 变化对系统稳定性的影响。键入程序：

%定义元件参数

R1=10^5; %电阻参数Ω=k 1001R R=10^5; %电阻参数Ω=k 100R

R2=[1,2,3,4,5]*10^5; %电阻参数2R 矩阵，包含2R 可取的5个数据

C1=10^(-6); %电容参数F C μ11= C2=10^(-7); %电容参数F C μ1.02=

T=[R*C1,R*C2]; %时间常数T 矩阵，包含T 可取的两个值 %建立系统传递函数；并绘制其阶跃响应曲线 for i=1:5

K0(i)=R2(i)/R1; %给增益0K 赋值

num=10*K0(i); %开环传递函数分子多项式模型

den=[0.1*T(1),0.1+T(1),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen=tf(num,den) %建立开环传递函数open G Gclose=feedback(Gopen,1,-1) %建立闭环传递函数close G figure(i) %建立第i 个图形窗口

t=0:.01:10

step(Gclose,t) %求系统阶跃响应并作图

end

运行结果如图3.2-3所示。可见，0K =2时，系统临界稳定；随着0K 的增加，系统将趋于不稳定。

（5）在0K =1（系统稳定）和0K =2（系统临界稳定）两种情况下，分别绘制T=0.1和T=0.01（即保持R=100k Ω不变，C 分别取1μF 和0.1μF ）时系统的阶跃响应，分析T 值变化对系统阶跃响应及稳定性的影响。键入程序：

%定义元件参数 R1=10^5; R=10^5;

R2=[1,2,3,4,5]*10^5; C1=10^(-6); C2=10^(-7); T=[R*C1,R*C2];

%取K0=1，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线 K0=R2(1)/R1; for i=1:2

num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型 den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen(i)=tf(num,den) %建立开环传递函数open G Gclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1) %建立闭环传递函数close G

end

figure(1) %建立第1个图形窗口

step(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g') %求系统阶跃响应并作图

Time (sec)

A m p l i t u d e

Time (sec)

A m p l i t u d e

Time (sec)

A m p l i t u d e

Time (sec)

A m p l i t u d e

Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3.2-3 0K 取不同值时系统响应曲线

运行结果如图3.2-4所示。可见，时间常数T 减少时，系统动态性能得到改善。 %取0K =2，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线

K0=R2(2)/R1; %取0K =2，即使系统临界稳定的0K 值 for i=1:2

num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型

den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0] %开环传递函数分母多项式模型

G

Gopen(i)=tf(num,den) %建立开环传递函数

open

G

Gclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1) %建立闭环传递函数

close end

figure(2) %建立第2个图形窗口

hold on

step(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g') %系统阶跃响应并作图

运行结果如图3.2-5所示。可见，T从0.1变为0.01时，系统由原来的临界稳定状态变为衰减震荡，稳定性和动态性能均得到改善。

K=1，T分别取0.1和0.01时系统响应曲线

图3.2-4

图3.2-5 0K =2，T 分别取0.1和0.01时系统响应曲线

三、实验内容

1．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。

2．单位负反馈系统的开环模型为

)

256)(4)(2()(2

++++=

s s s s K

s G 试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。

3，分析开环增益K 0和时间常数T 改变对系统稳定性及稳态误差的影响，系统开环传递函数为：)

31.0)(1)(11.0(10)(0

+++=s Ts s s K s G 。

四、实验报告

1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的MATLAB 运算结果。

2. 记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。

3．总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。

4．写出实验的心得与体会。

五、预习要求

1. 预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句，

2. 结合实验内容，提前编制相应的程序。

4．熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。