《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求
解：
2
0303'
)(6cos 6lim
)(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-
72
)0(''06)0(''32166'
''''36cos 216lim
6'''26sin 36lim
00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36272
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）
3.1
21)12(lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2(lim +>-求
解：令]
2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x t b a t
2
/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +>-
解：令
)
ln(cos )1ln(1
ln ,)(cos 2)1ln(1
2
x x t x t x +=
=+
2
/100
21
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求
1
)()(lim
2
2
=?
?
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
?≠=-0,)ln(cos )(2x x x x f
三、补充习题（作业）
1.
3
cos
1
1
lim
-
=
-
-
-
-
>
-x
x
x
e x
x
（洛必达）
2.
)
1
sin
1
(
lim
0x
x
ctgx
x
-
>
-（洛必达或Taylor）
3.
1
1
lim
2
2
=
--
-
>
-
?
x
x t
x e
dt
e
x
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.
?
?
?
=
+
-
=
=
5
2
arctan
)
(2t
e
ty
y
t
x
x
y
y由
决定，求
dx
dy
2.
x
y
x
y
x
x
y
y sin
)
ln(
)
(3
2+
=
+
=由
决定，求
1
|
=
=x
dx
dy
解：两边微分得x=0时
y
x
y
y=
=cos
'
，将x=0代入等式得y=1
3.
y
x
x
y
y xy+
=
=2
)
(由
决定，则
dx
dy
x
)1
2
(ln
|
-
=
=
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
)2/
,2/π
θ
ρ
ρπ
θe
e（
）
，
在（=
=
处切线的直角坐标方程。
解：
1
|'
),
,0(
|)
,
(,
sin
cos
2/
2/
2/
-
=
=
??
?
?
?
=
=
=
=π
θ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
y
e
y
x
e
y
e
x
x
e
y-
=
-2/π
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求
)1('
),1(
)6('
),6(f
f
f
f或
，等式取x->0的极限有：f(1)=0
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim
0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题
6.已知x
e x
f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)
0(0)('00≠=x x f 若，求
)
,(00y x 点的性质。
解：令??
?<>>>===-0
,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.
2
3
)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
),1()1,(+∞-∞∈ x
：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===?===?=x y x x y x x y
8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：
101'arctan 2/2
2-==?++=+x x e x
x x y x
与驻点π，
2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.?=-x x dt t x dx d 0
2
2sin )sin(
???=???++-+???+-=-?
??++--+???+-=-+---+???+-+--=-???++--+???+---=----+-x n n n n
x
n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02
)
12(2622147302
141
732
)
12(262
2
sin )!
12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!
12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!
12()()1()(!31)()sin(
或：
2
0202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-?
=-??
10.求
)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
可编辑
解：)(2)1(32()1ln(22
1322
2
---+--+???-+-=+n n n x o n x x x x x x x
=)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+???-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n f n n E.不等式的证明
11.
设
)
1,0(∈x ，
211)1ln(112ln 1)1(ln )122<
-+<-<++x x x x x ，求证（
证：1）令
0)0(,)1(ln )1()(2
2=-++=g x x x x g
；得证。单调下降，单调下降
单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)
1()
1ln(2)('''),(''),('2
<<<∈∴==<++-
=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g
2）令
单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1
)1ln(1)(<∈-+=
x h x x x x h
F.中值定理问题
12.设函数
]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：
32)('''!31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+=
其中
]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''61
)0(''21)0()1(1)('''61
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηf f
3
)](''')('''[21
)('''][2121=+=?∈?ηηξηηξf f f ，，
13.2
e b a e <<<，求证：
)(4
ln ln 222a b e a b ->
-
证：
)
(')
()(:
ξf a b a f b f Lagrange =--
令
ξ
ξ
ln 2ln ln ,ln )(222
=
--=a b a b x x f
令
2
2
22ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==
ξξ?ξ???
)(4
ln ln 222a b e a b ->
- （关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
23
)0('',11ln
)(2
-
=+-=y x x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+?????==x y t e y t
e x t
t
处切线为在
3.
e x y x x e x y 1)0)(1ln(+
=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x
证：令322
2
)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=
---=
02)1(''0)1(')1(>===g g g ，
00'),,1(0
'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴??
?>∞∈<∈?>????>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x
第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.
?
?
+-=--=-C x x dx x x dx 2
2
arcsin
)2(4)
4(2
2.
???
+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2sec )1(tan 222222
x
x
f )
1
ln(
)
(ln +
=
，求?dx
x f)
(
3.设
x
解：
??
+=dx
e e dx x
f x x )
1ln()(
?+++-=+-++=--C e e x dx e e e e x x x
x
x
x
)1ln()1()11()1ln(
4.
?
?∞
∞>-∞
+=+-+-=1
12122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π
B.积分性质
5.
)(x f 连续，?=1
0)()(dt xt f x ?,且A
x x f x =>-)
(lim
，求
)(x ?并讨论)('x ?在0=x 的连续性。
解：x
dy y f x xt y f x
?=
?===0
)()(,0)0()0(??
)0('2/)0('lim 2)0(')()()('02
????==∴=
-=
>-?A A
x
dy
y f x xf x x x
6.??---=-x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 02
222022)()(2)( )()()(22
02x xf y d y f dx d x ?==
C.积分的应用
又
)(x f
与x=1,y=0所围面积S=2。求)(x f ，且a=?时S 绕x 轴旋转体积最小。
转的表面积。
三、补充习题（作业）
1.?+
-
-
-
=C
x
x
x
x
dx
x
x
cot
2
sin
ln
cot
sin
sin
ln
2
2.?
+
-
+
dx
x
x
x
13
6
5
2
3.?dx
x
x arcsin
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值
4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分
1.
)
(x
f
有二阶连续偏导，
)
sin
(y
e
f
z x
=
满足
z
e
z
z x
yy
xx
2
''
''=
+
，求
)
(x
f
解：
u
u e
c
e
c
u
f
f
f-
+
=
?
=
-
2
1
)
(
''
2.
y
x
z
y
x
y
xy
f
x
z
?
?
?
+
+
=
2
)
(
)
(
1
，求
?
3.
决定
由0
)
,
,
(
),
(
)
(
),
(=
+
=
=
=z
y
x
F
y
x
xf
z
x
z
z
x
y
y
，求
dx
dz/
B.空间几何问题
4.求
a
z
y
x=
+
+
上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：
a
d
a
z
z
y
y
x
x=
?
=
+
+
/
/
/
5.曲面
21
3
22
2
2=
+
+z
y
x
在点
)2,2
,1(-
处的法线方程。
C.极值问题
6.设
)
,
(y
x
z
z=
是由
18
2
10
62
2
2=
+
-
-
+
-z
yz
y
xy
x
确定的函数，求)
,
(y
x
z
z=
的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.
y x z
x y g y x xy f z ???+=2),(),(求
2.
x z x y g y x xy f z ??+=求)),(,
(
3.dz
x y
y x u u z 求,arctan ,ln ,22=+==??
第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
??
??????
???=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ ???
?????????????
?
??
=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθ?θ??θ?θθθθθ??θ?θθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1),(2),(1sin ),,(),,(),,(),,(
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
??
++=?=D
y x dxdy
z z A y x f z 22''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
?
?????
???
??+?=+????==+?==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt
y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
????????????
???=???=?++==L S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:
二、题型与解法 A.重积分计算
1.Ω+=???Ω,)(22dV y x I 为平面曲线?
??==022x z y 绕z 轴旋转一周与z=8的围
域。
如何提高高等数学课堂教学的质量
第25卷第2期大 学 数 学Vol.25,№.2 2009年4月COLL EGE MA T H EMA TICS Apr.2009 如何提高高等数学课堂教学的质量 李志飞 (西安建筑科技大学理学院,西安710055) [摘 要]数学的课堂教学过程是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一 种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈几点个人的 认识. [关键词]数学教育;数学课堂教学;数学思想方法;启发式教学 [中图分类号]G424.1 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2009)022******* 数学的课堂教学是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈个人的几点认识. 1 正确认识高等数学课堂教学的重要性是提高教学质量的根本 对于理工科学生而言,数学教育的重要性是无需置疑的.随着当今科学技术知识更新的日益加快,各学科发展日益呈现出数学化的趋势,以及数学在各学科中应用的日益普及,数学教育不再仅仅只是整个大学教育的基础,而已成为人们终身教育的基础.数学教育质量的高低不仅决定着大学整体教育质量的高低,也决定着学生今后在其专业方面所能取得成就的大小,同时在一定程度上也决定着整个社会科学技术的水平.由此可见数学教育在整个教育中所占据的重要地位.但由于数学的教学内容所具有的高度抽象性,使得数学教学过程中学生的认识活动只能是在教师的指导下,有计划、有组织并在特定的学校教学环境中进行的,即数学教育主要是通过数学课堂教学得以实现的.好的数学课堂教学不仅能使学生学会数学的基础知识,更重要的是能使学生学会数学的思想方法,即学会科学地思考问题、解决问题的方法,并且在使学生体会到数学魅力的同时激发起其学习的兴趣以及创造的欲望.而不当的数学教学可能使数学学习变成一堆数学概念、定义、定理的罗列和灌输,不仅使学生难以理解消化,甚至会引起学生对数学学习的畏惧感.所以只有正确地认识到数学课堂教学的重要性,加大对数学课堂教学的重视、投入及管理才可能从根本上保证数学课堂教学质量的提高. 2 明确认识数学教学的目的是提高数学教学质量的基础 数学教学的目的中第一位的是:培养学生的数学思想方法以及应用数学思想方法的能力,即教给学生如何正确地思考问题,解决问题.这是数学教学中的首要任务,而教会学生数学的知识是第二位的.正如数学教育家波利亚所指出的数学教育宗旨是:“教青年人学会思考.”从教育意义上讲,数学是培养科学思维能力的一种最好的训练.作为数学教育的实施者———数学教师必须明确数学教学的目的,只有这样才能知道如何组织教学内容,如何突出数学的重点,只有在数学教学的过程中更加注重挖掘、整理、突 [收稿日期]2006212204
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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
周明儒—文科高等数学教学实践和思考
文科高等数学教学实践与思考 周明儒 XX师X大学数学系，XX省XX市221116 摘要：高等数学应当作为文科类大学生的一门必修的通识课程，文科高等数学应当将传授数学知识和揭示数学文化有机地结合起来，对文科学生讲授数学必须更加注意教学方法的改革，希望高校之间加强交流与合作，进一步搞好文科高等数学的教学改革。 关键词：高等数学，文科，教学改革 中图分类号： 在高等学校教育教学改革不断深化的过程中，加强文理渗透，推进素质教育，早已成为共识。但比较而言，对理工类大学生应当加强人文素质教育的论述较多，教学改革的成果也较多，而对人文类大学生如何加强自然科学素质教育的讨论则较少。虽然也有很多高校开设了自然科学类的选修课程，但作为自然科学共有基础的“高等数学”，在很多高校的人文类专业XX未普遍开设。我觉得，这里有认识方面的原因，也与教师紧，合用教材少有关。 1998－2001年我主持了“XX省普通高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”的一个重点项目：“高师本科课程体系改革研究与实践”，作为该课题的研究内容之一，我从2000年起
在学校开设了“文科高等数学公选课”，迄今已讲8遍，听课学生877人；此外，还应学校语言研究所之请，为2003、2004级语言学硕士研究生44人讲了高等数学。在教学实践中，我对教学内容、教学方法、考查考试方法作了改革，编写了《大学文科高等数学》讲义，在校内使用，并在校内外广泛征求意见，得到了很多老师的热情帮助，特别是得到了李大潜院士自始至终十分宝贵的指导和帮助。修改定稿后的《文科高等数学基础教程》，于2005年2月由高等教育出版。回顾这六年的教学工作，我感触较深的有以下几点： 一、高等数学应当作为文科类大学生的一门必修的通识课 程 当代科学技术的发展，不仅使自然科学和工程技术离不开数学，人文社会科学的许多 领域也已发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。越来越多的人已经认识到，新时代的人文社会科学工作者也应当掌握一些高等数学知识。 但我国中学教育的现实情况是：普通高中的文理分科和从初中就开始出现的文理偏科，不仅使得学生的知识结构不合理，而且导致很多学生在学习态度和学习情感上的失衡。文科学生中的很多人视数学为猛兽，把进大学后可以不学数学当作是一种解脱。我认为这既是中学阶段教育教学工作的一种失败，同时也从反面告诉我们，对于偏好文科的学生，应当在大学阶段给他们补
高等数学多媒体教学的思考
高等数学多媒体教学的思考 ［摘要］文章分析了高等数学多媒体教学的优势及其在当前教学中存在的若干问题，在此基础上针对高等数学学科的特点提出了应采用以传统教学方式为主、多媒体教学为辅、两种教学方式相结合的高等数学教学模式。 ［关键词］高等数学多媒体教学传统教学 高等数学是理工科院校开设的重要基础课。随着高等数学的用途越来越广泛，高等数学的教学也备受师生关注。当高等数学的教学内容日益递增，而教学学时不断被压缩，教学密度越来越大的时候，多媒体作为一项现代化技术，其优越性更加凸显，已经被广泛用于高等数学的教学中。教学实践证明，高等数学多媒体教学确实能克服一些传统教学方式中难以解决的问题。但是，当前的多媒体教学也暴露了一些问题。为了有效地提高高等数学教学质量，全面认识多媒体教学的利弊是非常重要的。 一、高等数学多媒体教学的优势 1.提高了高等数学教学的效率。利用多媒体进行教学，教师要在备课过程中，把要讲解的内容提前制作在课件上，这样就省去了教师在课堂上板书概念、定理、例题的时间，节约了课时，为同学们课堂练习、拓宽视野提供了充足的时间。因此，可以增加教学信息量，提高教学效率。而且，由于多媒体教学使用的是电子板书和无线话筒，其清晰大号的字体、先进的声音扩放系统，解决了后排学生看不清黑板或听不清教师讲解的问题，在一定程度上提高了教学质量。 2.丰富了教学形式，使课堂教学更加生动。一直以来，高等数学的课堂教学被学生认为既抽象又单调，甚至枯燥。而在多媒体教学中，教师在课件中加入一定的图像、声音、视频、动画等内容，为高等数学提供图文声像并茂、色彩鲜明的教学情境，能够激发学生的好奇心和新鲜感，提高学生的学习兴趣。而且，教师还可以根据不同的教学内容与环节，适时方便地添加或引入生动的课外知识，让学生了解所学知识的背景及应用，由此开拓了学生的知识面，使单调的数学知识变得生动形象。通过多媒体设备在课间播放轻松愉快的音乐，在紧张的课堂教学间隙中营造短暂而宝贵的轻松环境，深受学生的欢迎，这些举措都为高等数学课堂教学增添了活力。 3.能更加直观地展现高等数学中的数量关系和空间几何关系。多媒体教学可
高数(一)00020所有章节总复习
第一章 函 数 1. 1预备知识 一元二次函数、方程和不等式 不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。 绝对值不等式：|x|>a (a>0) x>a 或x<-a |x|等差数列和等比数列 ()()()11111 2 2 n n n n a a n d n a a n n n S S na d =+-+-==+ 1.等差数列 通项公式： 前项和公式或 ()() 1 100n n n GP a a q a q -=≠≠2.等比数列 通项公式 ， ()()() 11 .1111n n n a q q S q na q ?-? ≠=-??=?前项和公式 求定义域： 1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1） y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1 y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2 π } k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数 y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数 判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等 反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了， 复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣， P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，
高等数学2课程教学大纲
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
00020 高等数学(一)自考历年真题
2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。
高等数学B1---教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲 课程代码：090011041 课程英文名称：Advanced Mathematics B1 课程总学时：64 讲课：64 实验：0 上机：0 适用专业：全校各适用专业 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是一门重要公共基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学好其它理工学科课程的重要基础。本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 （三）实施说明 1．本大纲适用于学习公共基础课《高等数学》科目的全校各适用专业的本科生。 2．因教学学时所限，课堂教学要做到突出重点，精讲难点，有针对性地解决理论与实际应用中可能遇到的基本数学问题。教师在授课中可酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。 3．注意知识的内在联系与融合贯通，注意采用课堂讲授、讨论、多媒体教学相结合的教学方式，启发学生自学并不断积累学科前沿最新知识，学会独立思考，独立提出问题与独立解决问题的能力。 4．对于与其它课程交叉部分的内容，要分工明确，突出本课程在课程设置中的地位、作用与特色。 （四）对先修课的要求 本课程对先修课没有要求，学生只需具备初等数学知识。 （五）对习题课、实践环节的要求 习题的选取应体现本课程的基本概念、基本原理，并应结合实际的应用，使学生理解和消化所学的知识，考察并提高掌握知识的质量与解决问题的能力。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用高等数学的解题思想去解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩占20%，平时成绩包括作业，出勤，小考及课堂表现；期末考试（闭卷）成绩占80%。 （七）参考书目
[多媒体,课程,数学]《高等数学》课程多媒体教学的几点认识与体会
《高等数学》课程多媒体教学的几点认识与体会 摘要：教学是一门科学，又是一门艺术，是一项需要不断创新的工作。《高等数学》作为一门非常重要的数学基础课程，对于学生后续课程的学习尤为重要。该课程的教学方法、教学手段与课堂组织是否得当直接影响到学生的学习效果。本文结合多年来的课堂教学体会，从授课时的课堂设计、教学手段、学生互动及学科科研等几个方面论述了高等数学教学时的一些体会。 关键词：高等数学；课堂教学；教学效果；教学方法；多媒体教学 大学的根本任务就是培养人才，搞好教学是培养人才的重要基础和保障。而数学教学历来被学界认为是最具挑战性的教学，《高等数学》作为理工类、经济类学生必修的一门重要基础课，这门课学习的好坏，对后续课程，尤其是诸多专业基础课和专业课的学习有着举足轻重的作用。然而，不少学生为如何学好《高等数学》课程伤透了脑筋，加上传统课堂教学和辅助教学技术的局限，使《高等数学》课程成为高校学生反映学习难度较大的课程之一。那么，应如何学好这门课程呢？《高等数学》是一门具有知识结构完善、知识体系庞大、结构复杂、逻辑思维能力强、计算要求高以及运用范围广泛的基础课。根据其内容特点和数学特点，笔者粗谈自己在高等数学教学方面的一些体会与认识，提出《高等数学》教学应注意的几点问题，供同行朋友们参考。 一、教师在教学上应该多投入，多思考 《高等数学》教师要投入足够多的时间和精力研究教学内容，熟练掌握该课程的内容体系。 的内容主要包括：以函数为研究对象，借助极限这一基本的数学工具，研究一元（多元）函数的极限、连续、微分与积分以及无穷级数等内容。教师应将各部分内容印刻在脑海中，以达到自如地讲解任何一个知识点。要想取得良好的教学效果，教师需要对教学内容定位准确，内容安排合理，对概念的讲解准确、透彻。必要时引入课堂外的新知识，充实课堂内容，使课堂教学具有导向性和可延伸性。同时，将数学建模的思想和方法同教学内容有机地结合在一起，在某些章节增加应用实例的讲解。比如我授课的对象是机械专业的学生，对《高等数学》课程的需求不同，我在讲授抽象概念之前，尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，为后续专业课打下一个良好的基础。如在讲授“微分方程”这一章时，告诉同学他们在大三的专业课《传热学与流体力学基础》中，就会大量的运用到微分方程的知识。这样一来，课堂内容更生动，能激发学生学习这门课程的兴趣和积极性，学生会更有针对性的学习。学生从中学到了最本质的东西，那就是数学的思想和方法，从而使他们的数学素养和数学能力得到了提高。 二、教师要注意讲课的艺术，师生互动，气氛活跃 《高等数学》的教学是一种无止境的追求。教师在课堂上应使用科学、合理的语言，授课要突出重点、突破难点，采用启发式教学等。同时，讲课声音注意抑扬顿挫，语言生动，要充满激情。为了激发学生的学习兴趣，营造良好的课堂氛围，教师要使用得当的形体语言。抽象的概念往往会让学生手足无措，眼花缭乱，教师要避免“照本宣科”，要形象化地描述抽象的概念和结论。
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问https://www.360docs.net/doc/495313471.html, 前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2. 为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是 5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数 的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题 中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分 的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备 知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx， c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根: 当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理): 2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当 a,0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得
高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲 （适用于计算机专业本科） 广东金融学院应用数学系基础数学教研室
《高等数学》课程教学大纲 课程类别：学科基础课 开课单位：应用数学系 授课对象：本科层次计算机科学与技术专业 学时与学分：150学时 8学分 使用教材：同济大学数学教研室，《高等数学》，高等教育出版社， 一、教学目的与教学要求：（五号黑体） 高等数学是高等学校工科类最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。 1、要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。 2、要掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，格林公式，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。 3、熟练掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区域，函数展开成幂级数的间接展开法，函数展开成傅里叶级数，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 4、应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题，用边际与弹性分析常用的经济问题。 二、课程主要内容 第一章函数、极限、连续 一．教学内容 函数：常量与变量，函数的定义 函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系。 极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限。 连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述。 二．本章教学重点与难点
大学高等数学教材23599
高等数学教材
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学多媒体教学与传统教学结合方式的探讨
2012年第09期 吉林省教育学院学报 No.09，2012 第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol .28（总309期） Total No .309 收稿日期：2012—06—10 作者简介：吴会咏（1980—），男，辽宁鞍山人。沈阳化工大学数理系，讲师，硕士，研究方向：技术经济及管理，计量经济学。 高等数学多媒体教学与传统教学结合方式的探讨 吴会咏 （沈阳化工大学数理系，辽宁沈阳110142） 摘要：本文结合实际教学特点，对多媒体教学与传统教学的优势互补进行研究，结合层次教学和模块教学提出两者结合的几种方式。重点论述了优势互补能最大地发挥各种教学方法的综合功能，并取得了较好的教学效果。 关键词：多媒体教学；传统教学；高等数学中图分类号：G642．0 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2012）09—0049—02 一、多媒体教学的特点 （一）清晰直观地展现教学内容 通过多媒体教学能直观、生动地展示教学内容，避免抽象枯燥、理解困难的劣势，有利于学生对问题的理解， 有利于提高学生的学习积极性，实现寓教于乐的教学效果。例如，在讲解曲面及其方程时，在黑板上无法直观地演示旋转曲面、柱面和多种二次曲 面的图形， 但使用多媒体就可以很清晰准确地展现图形的特点，可以模拟空间曲线、曲面、立体图形的 生成过程，使得原本难以想象的空间关系变得具体形象且有动态效果，让学生的理解更深刻。 （二）提高教学效率 引入多媒体教学，部分板书可用电子文档代替，节省了手写时间，既保证了学生的学习效果，又将丰富的知识信息融入课堂教学，提高了授课效率。由于课前制作多媒体已把授课顺序、例题、习题等预先完成，节省了大量的课堂时间，可以增加更多的课堂信息，使授课效率大大提高。 （三）信息量大，规范有序 通过教研室集体备课、准备多媒体电子教案，凝聚了许多教学经验，能使教学内容更加规范有序，便于统一教学标准和考核标准。在课堂教学中，多媒体教学使教师有更多的时间和精力专注于重点和难点内容的讲解，有助于提高授课内容的整体效果和质量。 （四）削减板书，减少劳动量 大量的板书是高等数学课堂教学的显著特点之 一。大量的粉笔板书产生的粉尘污染整个教室，长此以往对师生们的健康势必产生影响。使用多媒体 教学后， 在相当程度上解决了这一持续污染教室环境的老问题，既减轻了教师的板书之累，又减少了粉 尘污染。 二、传统教学的特点（一）节奏适中，思维过程清晰 传统教学过程中，教师的思维过程在黑板上得到体现，这样学生在学习的过程中也同教师一同思考，教师可以根据学生的课堂状态及时调整节奏。思维的训练对于高等数学的学习是非常重要的，跟随教师的书写，学生的思维渐渐展开，教学双方在思维上形成同步，促进了教学质量的提高。 （二）互动性强，易于理解掌握 教师在利用传统教学方法时，可利用动作、口语甚至眼神来和学生进行交流，板书的布局可以很清楚地展现课堂内容的脉络。学生在一面黑板中所得到的信息是一张幻灯片无法实现的。 （三）结合实际，内容灵活 根据课堂教学的实际需要，教师可以很自由地随时确定授课内容并书写相关板书，传统教学既能展示教师本人的授课技艺，又能避免受多媒体教学的程式限制，相对灵活。重点内容的黑板板书，使授 9 4
高等数学归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
关于高等数学课堂教学的思考
关于高等数学课堂教学的思考 一问题的提出 近年来，随着我国高等教育的发展，大学教育不再是面向少数的‘精英’，而是日趋普及化、大众化。作为大学基础课程的高等数学，也不再仅仅是学习数学知识和数学方法，为其他学科提供工具，更重要的是传授数学思想、培养创新能力、提高学生的数学素养。随着科学技术的发展，数学的作用日益突出，不仅自然科学和工程技术离不开数学，人文社会学科的许多领域中数学的应用也越来越广泛。社会对人才的数学素养提出了较高的要求，全国高校大部分专业的学生都在接受不同层次的高等数学教育。但是，高等数学教学质量的问题也凸现了出来，很多院校的教师反映说，学生中无故旷课、迟到早退、课堂上不认真听课、抄作业等现象严重;即使考题非常简单，不及格率也在30%左右，有的高达40%以上，而且两极分化现象非常严重[1]。在课堂听课方面，多数大一新生不能适应大学数学教学方式和方法，普遍反映高等数学难学[2]。高等数学课程不及格率居高不下，学生厌学和逃课现象严重。高等数学课堂教学应该教什么？怎么教？如何确保高等数学课堂教学质量，提高课堂教学效率，成为广大教师思考和关注的问题。
二高等数学课堂教学的重要性 大学数学教育是整个学校教育的重要组成部分，而课堂教学是学校最基本的教学组织形式，是人才培养工作的主要环节，是教师传授知识、培养学生良好道德品质的主要途径，也是影响教学质量的基础性因素。课堂教学质量与人才培养质量密切相关，提高人才培养质量首先是提高课堂教学的质量。高等数学课堂教学是高等数学教学的基本的教学组织形式，是学生获得高等数学课程知识的主要渠道，是提高学生数学素质的主要途径，也是提高教学效率的中心环节。作为大学重要的基础课程，高等数学教学时数多、授课时间长、基础性强，大多数高校把高等数学课程放在大学第一学年，授课对象都是刚刚结束高考离开中学的大一新生。对这个阶段的学生而言，课余时间不多，自学能力也较弱，学生没有能力按自身需要进行课后学习，加上高等数学中高度抽象的数学概念、丰富的数学内容和大量抽象的数学符号，增大了学生认知的难度。所以，高等数学的基础知识、基本方法和数学思想主要靠教师在课堂上对学生进行传授、引导和启发获得。课堂学习是学生获取课程知识最快捷有效的途径，课堂也是学生接受数学思维训练的主要场所。大学新生能否学好高等数学，课堂教学起着很重要的作用。高等数学课堂教学效率的高低，教学质量的优劣，直接影响后续课程的学习和专业的发展，影响学生综合素质的培养。提高
大学高等数学教材
大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
