2018年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案
1 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质
量检测
数学试卷（理工类） 2018.1
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是
A. {}|12x x <<
B.{}|02x x <<
C. {}|0x x >
D.{}|2x x >
2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =
A.3
B. 4
D.10
3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是
A.(00)，
B.(20)-，
C.(01)-，
D. (02)，
4.“sin α=是“cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，
则该四棱锥的体积为
A. 4
B. 43
D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为 C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于
,A B 两点，点 A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是
正视图侧视图俯视图
温馨推荐
您可前往百度文库小程序
享受更优阅读体验
不去了
立即体验
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 圆的一部分
7. 已知函数()f x x x a =?-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是
A.2a <-
B.2a ≤-
C.20a -≤<
D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中
，AD =.点E 在AB 边上，
CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成
1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ() 0180∈
，
时，
①存在某个位置，使1CE D A ⊥；
②存在某个位置，使1DE AC ⊥；
③任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ②③
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C
则双曲线 C 的渐近线方程为 .
10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.
ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+
（,x y ∈R ），则+=x y _________.
12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1
n
n i i S a ==∑，
则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）
13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.
一位
A
同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：
22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.
证明思路：
（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可
表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d
+≤++. 当且仅当
,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.
14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶 B 及旗杆顶 A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶 B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且 C ，1P ，
2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA
的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)
已知函数 2
1
()sin cos sin 2
f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，
且02
A π
<<，求()f B 的取值范围.
P 2
1B
C
b
b
c
d
a
c c
b
D
C B
A
为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）
表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）
根据表中数据回答下列问题：
（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；
（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气
质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；
（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角
1A A B C --的余弦值.
18. (本小题满分13分)
已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2
x π
=
处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax
=++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求 a 的取值
范围.
A
C
B
B 1
C 1
A 1
D