第3章多维随机变量及其分布习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.
2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=-∞),(y F 0 .
3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+),0(y x F ),(y x F
4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+∞),(x F )(x F X
5、设随机变量),(Y X 的概率密度为
?
?
?<<<<--=其它
04
2,20)
6(),(y x y x k y x f ,则=k
8
1
. /
6、随机变量),(Y X 的分布如下,写出其边缘分布.
>
7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度,)(x f X 是X 的边缘分布密度,则=?
∞+∞
-)(x f X
1 .
8、二维正态随机变量),(Y X ,X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .
,
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为
X
1
2
3
《
1
61 91 181 2
3
1
α β 则βα,应满足的条件是 18
=
+βα ;若X 与Y 相互独立,则=α 184 ,=β 182 .
10、设Y X ,相互独立,)1.0(~),1,0(~N Y N X ,则),(Y X 的联合概率密度
{
=),(y x f 2
2
221y x e +-
π
,Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z
4
22
2x e
-
π .
12、 设 ( ) 的 联 合 分 布 函 数 为
()()()()
??
???
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22则 A =__1___。 二、证明和计算题
1、袋中有三个球,分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为X ,第二次取的球上标的数字Y ,求),(Y X 的联合分布律.
解:031
}1,1{?=
==Y X P 31
131}2,1{=?===Y X P
31
2132}1,2{=?===Y X P
3
1
2132}2,2{=?===Y X P
《
2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中,设X 为投入1号信箱的信数,Y 为投入2 号信箱的信数,求),(Y X 的联合分布律.
X Y 1 2
,
1
31 2
3
1 3
1
解:X 的可能取值为0,1,2,3
Y 的可能取值为0,1,2,3
33
1
}0,0{===Y X P
33
3
}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P
33
1
}3,0{=
==Y X P 333}0,1{=
==Y X P 33
23}1,1{?===Y X P 33
1
3}2,1{?===Y X P 0}3,1{===Y X P 32
33}0,2{C Y X P ===
333
}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33
1
}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P
X ( Y
0 1 2 3 0
271 273 273 271 ~ 1
273 276 273
0 2 273 273
0 0
* 3
27
1
0 0 0 3、设 函 数 F(x , y) = ??
?≤+>+1
20
121y x y x ;问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
联 合 分 布 函 数 并 说 明 理 由 。
解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < 2, 0 < 1}= F(2 , 1)
- F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)
= 1- 1- 1 + 0 =
-
1 < 0 。
故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设?+∞=≥0
1)(,0)(dx x g x g 且,有?
????+∞<≤++=其它,
0,0,][)
(2),(2
222y x y x y x g y x f π 证明:),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
证明:易验证)
,(y x f 0≥,又=
?
?
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ),(dxdy y
x y x g ??
∞+∞
+++0
2
222)
(2π
=
??
?
∞+∞
+==020
1)()
(2
dr r g rdr r
r g d π
θπ
符合概率密度函数的性质,可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。
5、在[ 0,π] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ,求0){cos(<+Y X P }的值。
解:??
?
??≤≤=其它,0,0,1
),(2ππy x y x f ,0){cos(<+Y X P =43)232{=<+<ππY X P
6、设随机变量),(Y X 的密度函数为?
??>>=+-其它00
,0),()43(y x ke y x f y x
,
(1)确定常数k (2)求),(Y X 的分布函数
(3)求}20,10{≤<≤ 解:(1) ? ?∞∞ +-=0 0)43(1dx e k dy y x ??∞ ∞ ∞ -∞---=-?-=0003043412 ]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y 12=∴k (2)??--+---?==y x y x v u e e dudv e y x F 0043)43()1)(1(121 1212),( )1)(1(43y x e e ----= 0,0>>y x 0),(=y x F (3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤< 95021.00)1)(1(83=+--=--e e 7、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤+=其它 2 0,103 /),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P ~ 解:???? ≥+-+ == ≥+1 10 212)3 (),(}1{y x x dy xy x dx dxdy y x f Y X P ?= ++=1 03272 65 )65342(dx x x x 8、设随机变量),(Y X 在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D <<<<=内服从均匀分布, (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量Y X ,是否独立 解:(1)根据题意可设),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<=其它 ,),(d y c b x a M y x f ? ? ??∞+∞ -∞+∞ ---===b a d c c d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1 \ 于是))((1 c d a b M --= ,故? ? ?<<<<--=其它 0,))(/(1),(d y c b x a c d a b y x f ?? ∞+∞ --=--==d c X a b c d a b dy dy y x f x f 1 ))((),()( 即??? ??<<-=其它 1)(b x a a b x f X ? ? ∞+∞ --=--==b a Y c d c d a b dx dx y x f y f 1 ))((),()( 即?? ?<<-=其它 ) /(1)(d y c c d y f Y (2)因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=,故X 与Y 是相互独立的. 9、随机变量),(Y X 的分布函数为? ??≥≥+--=----其它,00 ,0,3331),(y x y x F y x y x 求: (1)边缘密度;(2)验证X,Y 是否独立。 解:(1))33(3ln ),(y x x x y x F ----?=??,,3 3ln ),(22y x y x y x F --?=?? 0,0>>y x . > ?? ?<>?=--其它0 0,033ln ),(2y x y x f y x ?????>?=?=---+∞ ?其它0033ln 3 3ln )(20x dy x f x y x X , ?????>?=?=---+∞ ?其它0 0,33ln 3 3ln )(20y dx x f y y x Y (2) 因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=,故X 与Y 是相互独立的. 10、一电子器件包含两部分,分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记),设),(Y X 的分布函 数为? ? ?≥≥+--=+---其它 00,01),() (01.001.001.0y x e e e y x F y x y x (1)问X 和Y 是否相互独立 (2)并求}120,120{>>Y X P ( 解:(1)???<≥-=+∞=-000 1),()(01.0x x e x F x F x X ? ? ?<≥-=+∞=-0 00 1),()(01.0y y e y F y F y Y 易证),()()(y x F y F x F Y X =,故Y X ,相互独立. (2)由(1)Y X ,相互独立 }]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-?≤-=>?>=>>Y P X P Y P X P Y X P 091.0)]120(1)][120(1[42==--=?-e F F Y X 11、设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 F x y A B arctg x C arctg y (,)()()=++23 求: ( 1 ) 系 数 A , B 及 C 的 值 , ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。 解:( 1 ) F A B C (,)()()+∞+∞=++=ππ 22 1 & F A B C (,)()()-∞+∞=-+=ππ 220 F A B C (,)()()+∞-∞=+-=ππ 220 由 此 解 得 A B C ===122ππ ,, ( 2 ) ?π(,)()() x y x y =++6 49222 12、设),(Y X 相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 试写出),(Y X 的联合分布律. 解: X Y 2- 1- 【 21 2 1- 81 61 241 61 1 161 121 | 481 121 3 16 1 12 1 48 1 12 1 13、设Y X , 求Y X Z +=的分布律. Y 2 1- 1 3 k P 2 1 、 4 1 4 1 X 2- 1- 21 k P 4 1 { 3 1 121 3 1 X 1 & 2 k P 21 21 Y 1 2 k P 21 2 1 解: ,2,1,0}{===k P k X P k ,2,1,0}{===γγγ q Y P Y X Z +=的分布律为 ,2,1,0}{===-i q P i Z P k i k Z 的全部取值为2,3,4 4 12121}1{}1{}1,1{}2{=?= =======Y P X P Y X P Z P }1,2{}2,1{}3{==+====Y X P Y X P Z P 2 121212121}1{}2{}2{}1{=?+?= ==+===Y P X P Y P X P 4 1 2121}2{}2{}2,2{}4{=?========Y P X P Y X P Z P 14、 X,Y 相互独立,其分布密度函数各自为 ?? ???<≥=0 002 1)(2 1 x x e x f x X ?? ???<≥=0 003 1)(3y y e y f y Y 求Y X Z +=的密度函数. 解:Y X Z +=的密度函数为? ∞+∞ --= dx x Z f x f Z f Y X Z )()()(, 由于)(x f X 在0≥x 时有非零值,)(x Z f Y -在0≥-x Z 即Z x ≤时有非零值, 故)()(x Z f x f Y X -在Z x ≤≤0时有非零值 ? ? -- ---=?=Z Z x Z x Z x Z dx e e dx e e Z f 0 6 3 3 26 13 121)( )1(][6 3 63 Z Z Z x Z e e e e - -- --=-= 当0≤Z 时,0)(=Z f 故?? ???≤>-=--0 00) 1()(63 Z Z e e Z f Z Z Z