高考数学选修-不等式
高考数学选修 不等式
课 题: 第01课时 不等式的基本性质 一、引入:
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题:a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么
分析:起初的糖水浓度为a b ,加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++,只要证m a m b ++>a
b
即可。怎么证呢
二、不等式的基本性质:
1、实数的运算性质与大小顺序的关系:
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:
0>-?>b a b a
0=-?=b a b a 0<-?
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质:
①、如果a>b ,那么bb 。(对称性)
②、如果a>b ,且b>c ,那么a>c ,即a>b ,b>c ?a>c 。 ③、如果a>b ,那么a+c>b+c ,即a>b ?a+c>b+c 。
推论:如果a>b ,且c>d ,那么a+c>b+d .即a>b , c>d ?a+c>b+d . ④、如果a>b ,且c>0,那么ac>bc ;如果a>b ,且c<0,那么ac
n b a >
(n ∈N ,且n>1)
⑥、如果a>b >0,那么n
n b a > (n ∈N ,且n>1)。
三、典型例题:
例1、已知a>b ,c
b
c a c >。 选修4_5 不等式选讲
课 题: 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 一、引入:
在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即??
?
??<-=>=0000
x x x x x x ,如果,如果,如果。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间(-a ,a ),如图所示。
a - 图1-1 a
如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<}
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。
–a a 图1-2
同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题:
例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 方法1:分域讨论
★方法2:依题意,x x ->-213或213-<-x x ,(为什么可以这么解) 例3、解不等式52312≥-++x x 。 例4、解不等式512≥-+-x x 。
解 本题可以按照例3的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x 到1,2
的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所以x 在2的右边,与2的距离大于等于2(=(5-1)
)2÷;或者x 在1的左边,与1的距离大于等于2。这就是说,4≥x 或.1-≤x
例5、不等式 31++-x x >a ,对一切实数x 都成立,求实数a 的取值范围。 四、练习:解不等式
1、 .1122>-x
2、01314<--x
3、 423+≤-x x .
4、 x x -≥+21.
5、 1422<--x x
6、 212+>-x x .
7、 42≥-+x x
8、 .631≥++-x x
9、 21<++x x 10、 .24>--x x
选修4_5 不等式选讲
课 题: 第02课时 含有绝对值的不等式的证明 一、引入:
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤-
(3)b a b a ?=? (4)
)0(≠=
b b
a
b
a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理 实际上,性质
b a b a ?=?和
)0(≠=
b b
a
b
a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明
b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大
显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 例1、证明 (1)b a b a +≥+, (2)b a b a -≥+。 证明(1)如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+ 如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( (2)根据(1)的结果,有b b a b b a -+≥-++,就是,a b b a ≥++。 所以,b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 思考:如何利用数轴给出例3的几何解释 (设A ,B ,C 为数轴上的3个点,分别表示数a ,b ,c ,则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ,B 之间时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c =0(即C 为原点),就得到例2的后半部分。) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式b a b a +≥+的几何解释 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。 例4、已知 2 ,2c b y c a x <-< -,求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ (1) 2 ,2c b y c a x <-< -Θ, ∴c c c b y a x =+<-+-2 2 (2) 由(1),(2)得:c b a y x <+-+)()( 例5、已知.6,4a y a x << 求证:a y x <-32。 证明 6,4a y a x <<Θ,∴2 3,22a y a x <<, 由例1及上式,a a a y x y x =+<+≤-2 23232。 注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向 相同的不等式。 四、练习: 1、已知.2,2c b B c a A <-< -求证:c b a B A <---)()(。 2、已知.6 ,4c b y c a x <-<-求证:c b a y x <+--3232。 链接:不等式的图形 借助图形的直观性来研究不等式的问题,是学习不等式的一个重要方法,特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式,往往能使问题变得直观明了,帮助我们迅速而准确地寻找 到问题的答案。关键是在遇到相关问题时,能否准确地把握不等式的图形,从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1.解不等式121+≤-+-x x x 。 题意即是在数轴上找出到11=ξ与22=ξ的距离之和不大于到点13-=ξ的距离的所有流动点x 。 首先在数轴上找到点11=ξ,22=ξ,13-=ξ(如图)。 3ξ 1x 1ξ 2ξ 2x x -1 0 1 2 3 从图上判断,在1ξ与2ξ之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到1ξ与2ξ的距离和正好是1,而到3ξ的距离是)21(1)1(2≤≤+=-+x x x 。 现在让流动点x 由点1ξ向左移动,这样它到点3ξ的距离变,而到点1ξ与2ξ的距离增大,显然,合乎要求的点只能是介于13-=ξ与11=ξ之间的某一个点1x 。 由),1()2()1(111--≤-+-x x x 可得.3 2 1≥ x 再让流动点x 由点2ξ向右移动,虽然这种点到1ξ与2ξ的距离的和及到3ξ的距离和都在增加,但两相比较,到1ξ与2ξ的距离的和增加的要快。所以,要使这种点合乎要求,也只能流动到某一点2x 而止。 由),1()2()1(222--≤-+-x x x 可得.42≤x 从而不等式的解为.43 2 ≤≤x 2.画出不等式1≤+y x 的图形,并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于: 0≥x ,0≥y ,1≤+y x . 其图形是由第一象限中直线x y -=1下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式1≤+y x 的图形是以原点O 为中心,四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究:利用不等式的图形解不等式 1. 111<--+x x ; 2..12≤+y x A 组 1.解下列不等式: (1) 2 1 32≤ -x (2) 1743<+ 122 <- 2.解不等式: (1)112-<-x x (2) 11 2 >-+x x 3.解不等式: (1)321>+++x x (2).0312>+--+x x 4.利用绝对值的几何意义,解决问题:要使不等式34-+-x x ,3,3s c C s b B s a A <-<-< - 求证: (1)s c b a C B A <++-++)()(;(2).)()s c b a C B A <-+--+ 6.已知 .,a y a x << 求证: .a xy < 7.已知 .0,>> .h y x < B 组 *****8.求证 .111b b a a b a b a ++ +≤ +++ *****9.已知 .1,1< .11<++ab b a 10.若βα,为任意实数,c 为正数,求证:.)11()1(22 2 βαβ αc c +++≤+ (βαβαβ α22 22 ++≤+,而2 112 2 2 2 βαβαβαc c c c +≤ ? =) 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第03课时 指数不等式的解法 二、典型例题: 例1、解不等式)1(33 2)2 1 (2 2--- 222 2---- ∴)1(3322 --<--x x x 整理得:062 <-+x x 解之,不等式的解集为{x |-3 例2、解不等式293183 1 >?+-+x x 。 解:原不等式可化为:0183293 32>+?-?x x 即:0)233)(93(>-?-x x 解之:93>x 或323< x ∴x >2或3 2 log 3 2 log 3 ≠>>+-a a a a x x x 且 (当a >1时),4()1,(+∞?--∞∈x 当04) 2 1(3 2 (-1 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第04课时 对数不等式的解法 二、典型例题: 例1、解不等式2)1(log 3≥--x x 。 解:原不等式等价于 ?????-≥->->-2)3(11301x x x x 或?? ? ??-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得:4 ∴原不等式的解集为{x |4 例2、解关于x 的不等式: )1,0(,2log )12(log )34(log 2 ≠>>---+a a x x x a a a 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2 ->-+x x x a a 当a >1时有2212 34121)12(23403401222 <? ?? ????<<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x (其实中间一个不等式可省) 当0 <? ?? ????>-<<<->??????-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a >1时不等式的解集为? ?? ???<<221x x ; 当0 42< Ⅰ:?? ???≥-+>-≥+0 log 5)log 1(log 50 log 12 x x x x a a a a 或 Ⅱ:???≤+≥-01log 0log 5x x a a 解Ⅰ:1log 1<≤-x a 解Ⅱ:1log -≤x a ∴1log 4log a x x x x a >。 解:两边取以a 为底的对数: 当0 9 )(log 2 - 4log 21 < 9)(log 2 ->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ∴ 2 1log 4log <>x x a a 或∴a x a x <<>04 或 ∴原不等式的解集为}10,|{4 <<< 四、练习: 解下列不等式 1.)102(log )43(log 3 12 3 1+>--x x x (-2 2.当10<x a a (a 12(log >-x b a 4.)1,0(,011log ≠>>-+a a x x a (-1 a a a (2log ,22 a x a >>;2log ,212 a x a <<<;φ∈=x a ,2) 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第05课时 无理不等式的解法 一、引入: 1、无理不等式的类型: ①、 ?????>?? ??≥≥?>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域 型 ②、 ? ? ?≥?? ??>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0 )()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、 ?? ? ??<>≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题: 例1、解不等式0343>-- -x x 解:∵根式有意义 ∴必须有:30 30 43≥??? ?≥-≥-x x x 又有 ∵ 原不等式可化为343-> -x x 两边平方得:343->-x x 解之:21> x ∴}3|{}2 1 |{}3|{>=>?>x x x x x x 例2、解不等式x x x 34232->-+- 解:原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集: Ⅰ:?? ???->-+-≥-+-≥-2 22 )34(230230 34x x x x x x Ⅱ:???<-≥---0340232x x x 解Ⅰ:??? ? ???≤<<<≤≤345623 562134x x x x 解Ⅱ:234≤ 例3、解不等式24622+<+-x x x 解:原不等式等价于?? ? ??+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x }10102|{100212≤<<≤??? ? ??<<->≤≥?x x x x x x x 或或 特别提醒注意:取等号的情况 例4、解不等式1112-+> +x x 解 :要使不等式有意义必须:211 2 101012-≥??????-≥- ≥????≥+≥+x x x x x 原不等式可变形为 1112+> ++x x 因为两边均为非负 ∴2 2)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 2 1-≥x 例5、 解不等式)0(112>≤-+a ax x 例6、解不等式1123>-+ -x x 解:定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为:3211->--x x 两边立方并整理得:)1(41)2(->-+x x x 在此条件下两边再平方, 整理得:0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{>< 四、练习:解下列不等式 1.655332->-+-x x x )2(>x 2.33333++<++ -x x x x )3(-≥x 3.x x ->--214 ( 12 13 5≤<+-x )s 4.02)1(2≥---x x x )12(-=≥x x 或 5.112>+--x x )2 5 11(-≤ ≤-x 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第06课时 含有参数不等式的解法 二、典型例题: 例1、解关于x 的不等式 a x x a log log < 解:原不等式等价于 x x a a log 1 log < 即: 0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ∴1log 01log <<- 若a >1 a x a x <<< <110或,若0 <<>x a a x 或。 例2、解关于x 的不等式 )22(223x x x x m --<- 解:原不等式可化为02)1(2 4<+?+-m m x x 即:0)2)(12 (22<--m x x s 当m >1时 m x <<221 ∴m x 2log 2 1 0< < 当m =1时 0)12 (22<-x ∴x φ 当0 m ∴0log 2 1 2< 当m ≤0时 x <0 例3、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x 解:原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时 )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时 0|6|>+x ∴x 6 当03<+m 即3- 例4、解关于x 的不等式 )2 0(,1) (cot 2 32π θθ≤ <<-+-x x 解:当1cot >θ即 (0, 4 π)时 0232 <-+-x x ∴x >2或x <1 当1cot =θ即=4 π 时 x φ 当)1,0(cot ∈θ即(4π,2 π)时 0232 >-+-x x ∴1 例5、满足13-≥-x x 的x 的集合为A ;满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B 。 1 、若A B 求a 的取值范围 2 、若A B 求a 的取值范围 3 、若A ∩B 为仅含一个元素的集合,求a 的值。 解:A =[1,2] B ={x |(x -a )(x -1)≤0} 当a ≤1时 B =[a ,1] 当a >1时 B =[1,a ] 当a >2时 A B 当1≤a ≤2时 A B 当a ≤1时 A ∩B 仅含一个元素 例6、方程)0,10(,02 1 cos 21sin 2 π≤≤<<=-++ x a a x x a 有相异两实根,求a 的取值范围。 解:原不等式可化为01cos cos 22 =--x x a ,令:x t cos = 则]1,1[-∈t 设12)(2 --=t at t f 又∵a >0 ???? ????????????? ? ≥?-<>≥≥->?<<-≥-=≥=->+=?1414110811 411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或 五、作业: 1.01log )1 (log 2 12 21<++ -x a a x ? ??? ? ? ??∈±=<<-<<<<<<<->φx a x a a a x a a a a a a 时时或当时或当1,)21()21(110)21()21(0111 1 2.}13|{-≥-=x x x A }0,|1||{>>-=a a x x B 若φ=?B A 求a 的取值范围 (a ≥1) 3.)0(,322>+>-a a x x a )02 (<<-x a 4.)0(,21 log >>+a x a x x a )01,10(2222 --<<>><<< a 或时当时当 5.当a 在什么范围内方程:01log 4 1)4(log 2 222 =-+ --a x a x 有两个 不同的负根 ?? ? ? ??)24,4()4 1,0( 6.若方程05)2(2 =-+-+m x m x 的两根都大于2,求实数m 的范围。 (]()4,5- 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第07课时 不等式的证明方法之一:比较法 一、引入: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质: 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-? 二、典型例题: 例1、设b a ≠,求证:)(232 2 b a b b a +>+。 例2、若实数1≠x ,求证:.)1()1(32 24 2 x x x x ++>++ 证明:采用差值比较法: 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(23 4 +--x x x =)1()1(22 2 ++-x x x =].4 3)2 1[()1(22 2++-x x ,04 3 )21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ ∴ ,0]4 3)21[()1(222 >++-x x ∴ .)1()1(32 24 2 x x x x ++>++ 讨论:若题设中去掉1≠x 这一限制条件,要求证的结论如何变换 例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于b a ,对称,不妨设.0>≥b a )(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a Θ,从而原不等式得证。 2)商值比较法:设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a Θ .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。 注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。 例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m 行走,另一半时间以速度n 行走;乙有一半路程以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走。如果n m ≠,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,t t 。要回答题目中的问题,只要比较21,t t 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,t t ,根据题意有 S n t m t =+2211,222t n S m S =+,可得n m S t +=21,mn n m S t 2) (2+=, 从而mn n m S n m S t t 2)(221+- +=-mn n m n m mn S )(2] )(4[2++-=mn n m n m S )(2)(2+--=, 其中n m S ,,都是正数,且n m ≠。于是021<-t t ,即21t t <。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果n m =,甲、乙两人谁先到达指定地点 例5、设.1,0,12)(2 =+>+=q p pq x x f 求证;对任意实数b a ,,恒有 ).()()(qb pa f b qf a pf +≥+ (1) 证明 考虑(1)式两边的差。 ).()()(qb pa f b qf a pf +-+ =]1)(2[)12()12(2 2 2 ++-+++qb pa b q a p =.14)1(2)1(22 2-++--+-q p pqab b q q a p p (2) ,0,1>=+pq q p Θpqab pqb pqa 422)2(22-+=∴.0)(22≥-=b a pq 即(1)成立。 五、作业: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1)2x 与12+-x x ;(2)12++x x 与2 )1(+x . 2.已知.1≠a 求证:(1);122 ->a a (2).1122 <+a a 3.若0>≥≥c b a ,求证.)(3 c b a c b a ab c c b a ++≥ 4.比较a 4 -b 4 与4a 3 (a-b)的大小. 解: a 4 -b 4 - 4a 3 (a-b)=(a-b)(a+b)(a 2 +b 2 ) -4a 3 (a-b)= (a-b)(a 3 + a 2 b+ab 2 +b 3 -4a 3 ) = (a-b)[(a 2 b-a 3 )+(ab 3 -a 3 )+(b 3 -a 3 )]= - (a-b)2 (3a 3 +2ab+b 2 ) = - (a-b)2 0323322 ≤??? ?????+???? ??+b b a (当且仅当d =b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3 (a-b)。 5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 6.已知x ≠0,比较(x 2 +1)2 与x 4 +x 2 +1的大小. 7.如果x>0,比较 ( )2 1-x 与 ( ) 2 1+x 的大小. 8.已知a ≠0,比较( )() 121222 +-++ a a a a 与()()1122+-++a a a a 的大小. 9.设x ≥1,比较x 3 与x 2 -x+1的大小. 说明:“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 阅读材料:琴生不等式 例5中的不等式)()()(qb pa f b qf a pf +≥+有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系,也是琴生(Jensen )不等式的特例。 琴生在1905年给出了一个定义: 设函数)(x f 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数21,x x ,都有 .2) ()(22121x f x f x x f +≤ ?? ? ??+ (1) 则称)(x f 为[a,b]上的凸函数。 若把(1)式的不等号反向,则称这样的)(x f 为[a,b]上的凹函数。 凸函数的几何意义是:过)(x f y =曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。 其推广形式是:若函数)(x f 的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数n x x x Λ,,21,都有 .) ()()(2121n x f x f x f n x x x f n n +++≤ ?? ? ??+++ΛΛ (2) 当且仅当n x x x ===Λ21时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。 更为一般的情况是:设)(x f 是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点21,x x ,有 ),()()(2121qx px f x qf x pf +≥+ 其中1,,=+∈+ q p R q p ,则称)(x f 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向,即有 ),()()(2121qx px f x qf x pf +≤+则称)(x f 是[a,b]上的凹函数。 其推广形式 ,设1,,,,2121=+++∈+ n n q q q R q q q ΛΛ,)(x f 是[a,b]上的凸函数,则对任意 ],,[,,,21b a x x x n ∈Λ有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ΛΛ, 当且仅当n x x x ===Λ21时等号成立。 若)(x f 是凹函数,则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen )不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数,可以推出许多著名不等式。 选修4_5 不等式选讲 课 题: 第08课时 不等式的证明方法之二:综合法与分析法 一、引入: 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”, 后一种是“执果索因”。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是“综合法”;而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法”。 以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的,AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。 二、典型例题: 例1、b a ,都是正数。求证: .2≥+a b b a 证明:由重要不等式AB B A 222≥+可得 .22=≥+a b b a a b b a 本例的证明是综合法。 例2、设0,0>>b a ,求证.2 233ab b a b a +≥+ 证法一 分析法 要证2 233ab b a b a +≥+成立. 只需证)())((2 2 b a ab b ab a b a +≥+-+成立,又因0>+b a , 只需证ab b ab a ≥+-22成立,又需证022 2≥+-b ab a 成立, 即需证0)(2 ≥-b a 成立.而0)(2 >-b a 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法 ab b ab a b ab a b a ≥+-?≥+-?≥-2 2 2 2 2 020)( 注意到0,0>>b a ,即0>+b a , 由上式即得)())((2 2 b a ab b ab a b a +≥+-+,从而2 233ab b a b a +≥+成立。 议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗 例3、已知a ,b ,m 都是正数,并且.b a <求证: .b a m b m a >++ (1) 证法一 要证(1),只需证)()(m b a m a b +>+ (2) 要证(2),只需证am bm > (3) 要证(3),只需证a b > (4) 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 m a b ,>是正数,所以am bm > 两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+两边同时除以正数)(m b b +得(1)。 读一读:如果用Q P ?或P Q ?表示命题P 可以推出命题Q (命题Q 可以由命题P 推出),那么采用分析法的证法一就是 (1)).4()3()2(??? 而采用综合法的证法二就是 ).1()2()3()4(??? 如果命题P 可以推出命题Q ,命题Q 也可以推出命题P ,即同时有P Q Q P ??,,那么我们就说命题P 与命题Q 等价,并记为.Q P ?在例2中,由于m b m b +,,都是正数,实际上 ).4()3()2()1(??? 例4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L ,则周长为 L 的圆的半径为π2L ,截面积为22?? ? ??ππL ;周长为L 的正方形为4L ,截面积为2 4??? ??L 。所以本题只需证明2 242?? ? ??>??? ??L L ππ。 证明:设截面的周长为L ,则截面是圆的水管的截面面积为2 2??? ??ππL ,截面是正方形的水管的截面面 积为2 4??? ??L 。只需证明:2 2 42?? ? ??>??? ??L L ππ。 为了证明上式成立,只需证明1642 2 2L L >π π。 两边同乘以正数 2 4L ,得:41 1>π。因此,只需证明π>4。 上式显然成立,所以2 2 42?? ? ??>??? ??L L ππ 。 这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例5、证明:ca bc ab c b a ++≥++2 22。 证法一 因为 ab b a 22 2≥+ (2) bc c b 22 2≥+ (3) ca a c 22 2≥+ (4) 所以三式相加得)(2)(22 2 2 ca bc ab c b a ++≥++ (5) 两边同时除以2即得(1)。 证法二 因为,0)(2 1 )(21)(21)(2222 22≥-+-+-= ++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以(1)成立。 例6、证明:.)())((2 2 2 2 2 bd ac d c b a +≥++ (1) 证明 (1)?0)())((2 2 2 2 2 ≥+-++bd ac d c b a (2) ?0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a (3) ? 022222≥-+abcd d a c b (4) ? 0)(2≥-ad bc (5) (5)显然成立。因此(1)成立。 例7、已知c b a ,,都是正数,求证.33 33abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立 分析:本题可以考虑利用因式分解公式 ))((32 2 2 3 3 3 ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++着手。 证明: abc c b a 33 33-++ =))((2 2 2 ca bc ab c b a c b a ---++++ = ].)()())[((2 1 222a c c b b a c b a -+-+-++ 由于c b a ,,都是正数,所以.0>++c b a 而0)()()(2 2 2 ≥-+-+-a c c b b a , 可知033 33≥-++abc c b a 即abc c b a 33 33≥++(等号在c b a ==时成立) 探究:如果将不等式abc c b a 33 33≥++中的3 3 3 ,,c b a 分别用c b a ,,来代替,并在两边同除以3,会 乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.一、公式:设有n个数x1,x2,…,x n,那么: ①平均数为: 12 ...... n x x x x n; ②极差: 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围,用这种方法得到的差称为极差,即:极差=最大值-最小值; ③方差: 数据1x、2x……, n x的方差为2s,则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差:方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s,则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大,这组数据的波动越大,越不稳定。 设∠A是Rt△ABC的任一锐角,则∠A的正弦:sinA=,∠A的余弦:cosA =,∠A的正切:tanA=.并且sin2A+cos2A=1. 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小 余角公式:sin(90o-A)=cosA,cos(90o-A)=sinA. 特殊角的三角函数值:sin30o=cos60o=,sin45o=cos45o=, sin60o=cos30o=, tan30o=,tan45o=1,tan60o=. ④斜坡的坡度:i =铅垂高度 水平宽度=.设坡角为α,则i =tan α= 二次函数的有关知识: 1.定义:一般地,如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断. ∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy , 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 初中数学定理公式总结(附带背诵口诀) 1、一元二次方程根的情况 △=b2-4ac(前提必须化成一般形式ax2+bx+c=0) 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; 当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根; 当△<0时,一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质: ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 ③平行四边形的对边相等并且平行,对角相等,邻角互补。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形:①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领形的四条边相等,对边平行,两条对角线互相垂直平分,每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件:定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 矩形与正方形: ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等且平分,四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形,矩形,菱形的所有性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形。 多边形: ①n边形的内角和等于(n-2)180° ②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角,在每个顶点处取这个多边形的一个外角,他们的和叫做这个多边形的外角和 多边形的外角和都等于360度 平均数:对于n 个数x 1,x 2 … x n ,我们把(x 1+x 2+…+x n )/n 叫做这个n 个数的算术平均数,记为12n x x x x n ++???+= 加权平均数:一组数据里各个数据的重要程度未必相同,因而,在计算这组数据的平均数 时往往给每个数据加一个权,这就是加权平均数。 方差公式:2222121()()()n s x x x x x x n ??= -+-+???+-? ?其中x 是n 个数x 1,x 2 … x n 的平均数 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7、平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 9、同位角相等,两直线平行 10、内错角相等,两直线平行 11、同旁内角互补,两直线平行 12、两直线平行,同位角相等 13、两直线平行,内错角相等 14、两直线平行,同旁内角互补 15、定理 三角形两边的和大于第三边 16、推论 三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, . 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<?? x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得: ①当1-x ≤时显然不满足题意; ②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥; ③当2x ≥时,()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. (2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥, 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 基本不等式 【考点梳理】 1.基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号且不为零); (3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)? ?? ??a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x < 54,则f (x )=4x -2+145 x -的最大值为________. (2)函数y = x -1 x +3+x -1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x <5 4 ,所以5-4x >0, =-2+3=1. 当且仅当5-4x =1 5-4x ,即x =1时,等号成立. 故f (x )=4x -2+1 4x -5的最大值为1. (2)令t =x -1≥0,则x =t 2 +1, 所以y = t t 2 +1+3+t = t t 2 +t +4 . 当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y = 1 t +4t +1 , 因为t +4 t ≥24=4(当且仅当t =2时取等号), 所以y = 1t +4t +1 ≤1 5, 即y 的最大值为1 5(当t =2,即x =5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1.若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 [答案] C [解析] 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+ 1 x -2 +2≥2(x -2)× 1 x -2 +2=4,当 初中数学必背公式归纳整理 很多初中同学想要初中的公式,所以整理了一些,希望大家多多理解并进行记忆,以便考个好的数学成绩。 初中数学必背公式归纳乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac0 抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长 柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h 常见的初中数学公式 1.过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等 4.同角或等角的余角相等 5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9.同位角相等,两直线平行 10.内错角相等,两直线平行 11.同旁内角互补,两直线平行 12.两直线平行,同位角相等 13.两直线平行,内错角相等 14.两直线平行,同旁内角互补 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 基本不等式 基础梳理 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥????a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a + b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥????a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 解析 ∵x >0,∴y =x +1x ≥2, 当且仅当x =1时取等号. 答案 C 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1x 2+1≥1,其中正确的个数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3 解析 ①②不正确,③正确,x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1 -1≥2-1=1. 答案 B 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.12 B .1 C .2 D .4 解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2, ∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤12 . 答案 A 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x +1x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2 +2≥2 (x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2 (x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3. 答案 C 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________. 解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2,当且仅当t =1时取等号. 答案 -2 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10. (2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( ) 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质,能利用不等式的性质,特殊值法等判断不等式的正误; 2、熟练的解一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式,对数不等式,指数不等式,含根式的不等式; 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式; 4、掌握恒成立问题,存在性问题; 5、掌握利用基本不等式求最值的方法; 6、掌握线性规划解决最优化问题; 7、掌握利用线性规划,基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中,不等式无处不在,不论是不等式解法还是线性规划,基本不等式,一般单独出现的是线性规划或基本不等式,而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知:当时,为正确选项,故选C. 2、已知,,则() A. B. C. D. 【答案】A 3、,设,则下列判断中正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令,则,故选B 4、若,且,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个,黑球个().从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个,此时从中任取个球是红球的概率记为;若将红球、黑球个数各减少个,此时从中任取个球是红球的概率记为,则() A. B. C. D. 【答案】D 6、若,,则下列不等式错误的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为,,所以,,故A、B正确;由已知得, ,所以,所以C错误;由,得,,所以 成立,所以D正确.故选C. 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则 a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b > >(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0< <<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______(答:12,2? ?-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较 21log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22 a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或4 3 x >时,1+3log x >2log 2x ;当 413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3log x =2log 2x ) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方 针。 【例】(1)下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-(答:C ); (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (答:; (3)正数,x y 满足21x y +=,则y x 1 1+的最小值为______ (答:3+; 4.常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞)初中数学重要公式总结
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