相似三角形知识点梳理及经典练习

相似三角形知识点梳理及经典练习

知识点1：有关相似形的概念

1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2：比例线段的相关概念

1.线段比：如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段

写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

2.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段

d c b a ,,,叫做成比

例线段，简称比例线段．

d 叫比例后项，

d 叫第四比例项.如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有

2b ad =。

3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，

注：①黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形。②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。

知识点3：比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0） 1.基本性质： （1）bc ad d c b a

=?=::；

（2）2::a b b c

b a

c =?=?．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，可化为：

d c b a ::=，d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=， c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：

注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关

比例计算变形中一种常用方法．

②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

知识点4：比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:

①重要结论：平行于三角形一边,并且和其它两边相交的直线,所截三角形三边与原三角形三边对应成比例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD∥BE∥CF,

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5:相似三角形的概念

1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，

而相似要求对应边成比例．

知识点6：三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

1.相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． （2）对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

（3）传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? 2.三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形： 用数学语言表述是：BC DE // ，∴ ADE ?∽ABC ?．

知识点7：三角形相似的判定方法

1.定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2.平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4.判定定理2：如果一个三角形两边与另一个三角形两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5.判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6.判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。

(3)

B

(2)

B

C

知识点8：相似三角形常见的图形

1.下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

（3）如图：称为

“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

（4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

B

E

A

C D

1

2

A

B

C

D E

12A

A

B

B

C

C D

D

E

E

124

1

2

B

(D )

(3)

B

(2)

2.几种基本图形的具体应用：

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形），则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt △CBD且AC2=AD·AB，

CD2=AD·BD，BC2=BD·AB。

（3）满足①AC2=AD·AB，②∠ACD=∠B，③∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

知识点9：全等与相似的比较：

知识点10：相似三角形的性质

1.相似三角形对应角相等，对应边成比例．

2.相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

3.相似三角形周长的比等于相似比．

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

知识点11：相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法

1.证明四条线段成比例的常用方法：

(1)线段成比例的定义

(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系 2.证明题常用方法归纳：

（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相

似的，

则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字

母，但这几个字

母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 ①

)(,为中间比n

m n m d c n m b a ==②'',,n n n m

d c n m b a ===

③),(,'''

'''n

m n m n n m m n m d c n m b a =====或 (4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.

以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

知识点12 相似多边形的性质

1.相似多边形周长比、对应对角线比都等于相似比．

2.相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

3.相似多边形面积比等于相似比的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点13 ：位似图形有关的概念与性质及作法

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这两个图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点连线相交于一点.

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.

3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注：位似图形具有相似图形的所有性质.

4. 画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）

③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）

（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

类型一、相似三角形的概念

1．判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形

B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形

D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

类型二、相似三角形的判定

2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.

【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.

【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

举一反三：

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

类型四、相似三角形的应用

7．我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，

你有什么方法？

【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

类型五、相似三角形的周长与面积

8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF ∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【变式2】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

类型六、综合探究

9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E.

(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)请探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.

10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；

(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.