一阶RC电路分析
3.3 RC电路的响应
经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。激励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。
3.3.1 RC电路的零输入响应
零输入响应------无电源激励，输入信号为零。在
此条件下，由电容元件的初始状态u C（0+）所产
生的电路的响应。
分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它
的放电过程。如图3.3.1(RC串联电路，电源电压
U0)。
换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。
t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C（0+）=U0；于是电容经过电阻R 开始放电。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程
RCdu C/dt+u C=0 3.3.1
式中i=Cdu C/dt
令式 3.3.1的通解为u C=Ae pt代入3.3.1并消去公因子Ae pt得微分方程的特征方程RCp+1=0 其根为p=-1/RC
于是式3.3.1的通解为u C=Ae-1t/RC
定积分常数A。根据换路定则，在t=0+时，u C（0+）=U0，则A=U0。
所以u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ------ 3.3.3 C
图3.3.1RC放电电路-
+
-U
+
u C
-
t=0+
u C
S
i
R
其随时间变化的曲线如图3.3.2所示。它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。
式3.3.3中，τ=RC 它具有时间的量纲，
所以称电路时间常数。决定u C 衰减的快慢。
当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。以初始点为例〖图3.3.2（a ）〗
du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。
从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是，由于指数曲线开始变化较快，而后逐渐缓慢，
如下表所列 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ e -1 e -2 e -3 e -4 e -5 e -6 o.368
0.135
0.050
0.018
0.007
0.002
所以，实际上经过t=5τ的时间，就足以认为达到稳态了。这时
u C =U 0e -5=0.007 U 0=（0.7%）U 0 τ越大，u C 衰减的越慢（电容放电越慢）如图
36.8%U 0
图3.3.2u C 、u R 、i 的变化曲线
(a)
O
τ-U 0
(b)
-U 0/R 0
t
O
u R
i
u C 、u R 、i
U 0
u C
u C
U 0
t
U 0
u C
3.3.3所示。因为在一定初始电压下，电容越大，则储存的电荷越多；而电阻越大，则放电电流越小。这都促使放电变慢。因此，改变R或C的数值，也就是改变电路的时间常数，就可以改变电容放电的快慢。
至于t≥0时电容的放电电流和电阻上的电压，也可求出即
i=Cdu C/dt=-U0e-t/τ/R；u R=Ri=-U0 e-t/τ上两式负号表示放电电流的实际方向与图3.3.1中所选定的参考方向相反。
所求u C，u R及i随时间变化的曲线画在一起，如图3.3.2（b）所示。
例3.3.1电路如图所示，开关S闭合前电路处于稳态。在t=0时，将开关闭合，试求t≥0时电压u C和电流
i C、i1及i2。
3.3.2 RC电路的零状态响
应
零状态响应-----换路前电容元件未储能，u C（0-）=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应。
分析零状态响应实际上是分析它的充电
过程。图3.3.5为RC串联电路。在t=0时将
开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电
压源接通，对电容开始充电。此时实为输入
一阶跃电压u，如图3.3.6（a）所示。它与
恒定电压图3.3.6（b）不同，其表示式为
图3.3.5RC充电电路
--
+
-
U u
+
t=0
i
S
-
+
C u
C
R u R
+ 6V
t=0
2Ω
3Ω
C
S
i
i C
i2
u C
例3.3.1图
5μF
1Ω
0 t ＜0 u=
U t ＞0
根据基尔霍夫电压定律，列出t ≥0时电路中电压和电流的微分方程 U=Ri+u C =RCdu C /dt+u C -----3.3.7
式中 i=Cdu C /dt
式3.3.7的通解有两个部分：一个是特解u C ′，一个是补函数u C ″，即 u C = u C ′+ u C ″=U+Ae -t/RC
在t=0时，u C （0+）=0，则积分常数A=-U 。所以电容两端的电压
u C = U- Ue -t/RC = U （1-e -t/RC ）= U （1- e -t/τ）
所求电压u C 随时间变化的曲线如图3.3.7所示。u C ′不随时间变化，u C ″按指数规律衰减而趋于零。因此，电压u C 按指数
规律随时间增长而趋于稳态值。
当t=τ时，u C = U （1- e -1）= U （1- 1/2.718）= U （1- 0.368）=（63.2%）U
从电路的角度来看，暂态过程中电容两端的电压u C 可视为由两个分量相加而得：其一
是u C ′，即到达稳态时的电压，称稳态分量，它的变化规律和大小都与电源电压U 有关；其二是u C ″，仅存在于暂态过程中，称为暂态分量，它的变化规律与电源电压无关，总是按指数规律衰减，但是它的大小与电源电压有关。当电路中储能元件的能量增长到某一稳态值或衰减到某一稳态值或零
U
图3.3.6（a ）阶跃电压（b）恒定电压
(a)
O
U
（b ）t
O
t
u
63.2%U
图3.3.7u C 的变化曲线
u C ″
-U
-36.8%U
O
τ
t
U
u C
u C
u C ′
值时，电路的暂态过程随即终止，暂态分量也趋于零（在上面所讨论的RC 电路的零输入响应中，稳态分量为零值）。
至于t ≥0时电容充电电路中的电流，也可求出，即
i=Cdu C /dt=Ue -t/τ/R 由此R 上的电压 u R =Ri=Ue -t/τ
u C , u R 及i 的变化曲线如图3.3.8所示。 综上所述，可将计算线性电路暂态过程的步骤归纳如下：
（1） 按换路后的电路列出微分方程； （2） 求微分方程的解，即稳态分量； （3） 求微分方程的补函数，即暂态分量；
（4） 按照换路定则确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数。 分析较为复杂的电路的暂态过程时，也可以应用戴维宁定理或诺顿定理将换路后的电路化简为一个简单电路（如图3.3.5），而后利用由上述经典法所得出的式子。
例3.3.2如图所示的电路中，U=9V ，R 1=6k Ω，
R 2=3 k Ω，C=1000pF,
u C （0）=0。试求t ≥0时的电压u C 。
解：略
3.3.3 RC 电路的全响应
图3.3.8u C ,u R 及i 的变化曲线
O
U /R
U
u
R
i
t
u C
u C
,u R
,i
U
+
-
C u 1
R 2
R S
0=t C
E
+
-
C u 0
R C
全响应-----电源激励和电容元件的等效电路
初始状态u C（0+）均不为零时电路的响应。也就是零输入与零状态响应两者的叠加。
在图3.3.5的电路中，阶跃激励的幅值为U，u C（0-）=U0。t≥0时的电路的微分方程和式3.3.7相同，也由此得出
u C= u C′+ u C″=U+Ae-t/RC
但积分常数A与零状态时不同。在t=0+时，u C（0+）= U0，则A= U0- U 所以u C= U+（U0- U）e-t/RC----3.3.11
改写为u C= U0 e-t/τ+ U（1- e-t/τ）
显然右边第一项为零输入响应；第二项即零状态响应；有
全响应=零输入响应+零状态响应
这是叠加原理在电路暂态分析中的体现。求全响应时，可把电容的初始状态u C（0+）看作一种电源。u C（0+）和电源激励分别作用时所得的零输入和零状态响应叠加即为全响应。
式3.3.11右边也有两项：为稳态分量；为暂态分量；于是全响应也可表示为：全响应=稳态分量+暂态分量
求出后，就可得出
i=Cdu C/dt, u R=Ri
例3.3.3在图3.3.10中，开关长期合在位置1上，如在t=0时把它合到位置2后，试求电容上的电压u C。已知R1=1kΩ，R2=2 kΩ，C=3uF,电源电压U1=3V和U2=5V。
解：略（见教材）
思考3.3.1 、3.3.2、3.3.6 习题：3.4.2作业：3.3.1、3.3.3、3.4.1、3.4.3