2020年贵州省黔南州中考数学试卷及答案解析
2020年贵州省黔南州中考数学试卷一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．?1
3D．
1
3
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数约为93400人，将93400用科学记数法表示为（）
A．934×102B．93.4×103C．9.34×104D．0.934×105 4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（）
A．（a3）4＝a12B．a3?a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2 6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）
A．30°B．45°C．74°D．75°
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）
A．tan55°=
6
x?1B．tan55°=
x?1
6
C．sin55°=x?1
6D．cos55°=
x?1
6
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（）
A．7.4元B．7.5元C．7.6元D．7.7元
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22
10．（3分）已知a=√17?1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝．
12．（3分）若单项式a m﹣2b n+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝．13．（3分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为．14．（3分）函数y＝x﹣1的图象一定不经过第象限．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=?4
3x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥
CD，若sin∠ACB=1
3，则AD长度是．
17．（3分）已知菱形的周长为4√5，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为 ． 18．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为10，点A 的坐标为（﹣8，0），点B 在y 轴上，若反比例函数y =k
x
（k ≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的解析式为 ．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
20．（3分）对于实数a ，b ，定义运算“*“，a *b ={a 2?ab(a ＞b)ab ?b 2(a ≤b)例如4*2，因为4＞2，
所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣8x +16＝0的两个根，则x 1*x 2＝ ．
三、解答题（本题7小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（?12）﹣1﹣3tan60°+|?√3|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：{3?x
2≤1
3x +2≥4
．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 在线段BC 上，且OC =3
2，以O 为圆心．OC 为半径的⊙O 交线段AO 于点D ，交线段AO 的延长线于点E ． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）在研究过程中，小明同学发现
AD DE
=
DE AE
，回答小明同学发现的结论是否正确？如果
正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
23．（14分）勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，
求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为，第五个图中y的值为．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为，当x＝48时，对应的y＝．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
2020年贵州省黔南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．?1
3D．
1
3
【解答】解：根据相反数的定义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误．
B、不是中心对称图形，故本选项错误．
C、不是中心对称图形，故本选项错误．
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数约为93400人，将93400用科学记数法表示为（）
A．934×102B．93.4×103C．9.34×104D．0.934×105
【解答】解：93400＝9.34×104．
故选：C．
4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（）
A．（a3）4＝a12B．a3?a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3?a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）
A．30°B．45°C．74°D．75°
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α=1
2∠DEG=
1
2
×150°＝75°，
故选：D．
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）
A．tan55°=
6
x?1B．tan55°=
x?1
6
C．sin55°=x?1
6D．cos55°=
x?1
6
【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°=AE
AD，cos55°=
DE
AD，tan55°=
AE
DE
=x?16，
故选：B．
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（）
A．7.4元B．7.5元C．7.6元D．7.7元
【解答】解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：12×0.8﹣x＝2，
解得：x＝7.6．
故选：C．
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：D．
10．（3分）已知a=√17?1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【解答】解：∵4＜√17＜5，
∴3＜√17?1＜4，
∴√17?1在3和4之间，即3＜a＜4．
故选：C．
二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
12．（3分）若单项式a m﹣2b n+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝9．
【解答】解：∵a m ﹣
2b n +7与﹣3a 4b 4的和仍是一个单项式，
∴m ﹣2＝4，n +7＝4， 解得：m ＝6，n ＝﹣3， 故m ﹣n ＝6﹣（﹣3）＝9． 故答案为：9．
13．（3分）若一组数据2，3，x ，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 4 ． 【解答】解：∵2，3，x ，1，5，7的众数为7， ∴x ＝7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、7、7， 则中位数为
3+52
=4；
故答案为：4．
14．（3分）函数y ＝x ﹣1的图象一定不经过第 二 象限．
【解答】解：由已知，得：k ＞0，b ＜0．故直线必经过第一、三、四象限． 则不经过第二象限． 故答案为：二．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y =?4
3
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在第二象限，若BC ＝OC ＝OA ，则点C 的坐标为 （?√5，2） ．
【解答】解：∵直线y =?4
3
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4）． 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，如图所示． ∵BC ＝OC ＝OA ， ∴OC ＝3，OE ＝2， ∴CE =√OC 2?OE 2=√5，
∴点C的坐标为（?√5，2）．
故答案为：（?√5，2）．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥
CD，若sin∠ACB=1
3，则AD长度是10．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB=AB
AC
=13，
∴AC＝2÷1
3
=6．
在Rt△ADC中，
AD=2+CD2
=√62+82
＝10．
故答案为：10．
17．（3分）已知菱形的周长为4√5，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为4．【解答】解：如图所示：
∵两条对角线的和为6，
∴AC+BD＝6，
∵菱形的周长为4√5，
∴AB=√5，AC⊥BD，AO=1
2AC，BO=
1
2BD，
∴AO+BO＝3，
∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，
即AO2+BO2＝5，AO2+2AO?BO+BO2＝9，∴2AO?BO＝4，
∴菱形的面积=1
2AC?BD＝2AO?BO＝4；
故答案为：4．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，
若反比例函数y=k
x（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为y=
12
x．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB=√AB2?AO2=√100?64=6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO ＝∠CBE ， 又∵∠AOB ＝∠BEC ＝90°， ∴△ABO ≌△BCE （AAS ）， ∴CE ＝OB ＝6，BE ＝AO ＝8， ∴OE ＝2， ∴点C （6，2），
∵反比例函数y =k
x
（k ≠0）的图象过点C ， ∴k ＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y =12x
， 故答案为：y =12
x ．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8 ．
【解答】解：根据题意得：{5x +2y =10
2x +5y =8．
故答案为：{5x +2y =10
2x +5y =8
．
20．（3分）对于实数a ，b ，定义运算“*“，a *b ={a 2?ab(a ＞b)
ab ?b 2(a ≤b)例如4*2，因为4＞2，
所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣8x +16＝0的两个根，则x 1*x 2＝ 0 ．
【解答】解：x 2﹣8x +16＝0，解得：x ＝4， 即x 1＝x 2＝4，
则x 1*x 2＝x 1?x 2﹣x 22＝16﹣16＝0， 故答案为0．
三、解答题（本题7小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（?1
2）﹣
1﹣3tan60°+|?√3|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：{3?x
2≤1
3x +2≥4
．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣3×√3+√3+1 ＝﹣2﹣3√3+√3+1 ＝﹣2﹣2√3+1 ＝﹣1﹣2√3；
（2）解不等式
3?x 2
≤1，得：x ≥1，
解不等式3x +2≥4，得：x ≥2
3， 则不等式组的解集为x ≥1．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 在线段BC 上，且OC =3
2
，以O 为圆心．OC 为半径的⊙O 交线段AO 于点D ，交线段AO 的延长线于点E ． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）在研究过程中，小明同学发现
AD DE
=
DE AE
，回答小明同学发现的结论是否正确？如果
正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点O 作OH ⊥AB 于H ，
∵∠BCA ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB =√AC
2
+BC
2
=√9+16=5，
∵S △ABC ＝S △AOC +S △ABO ， ∴1
2×3×4=
12×3×32+1
2
×5×OH ， ∴OH =32
， ∴OC ＝OH ， 且OH ⊥BA ， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）结论成立，
理由如下：连接CD ，EC ，
∵DE 是直径，
∴∠ECD ＝90°＝∠ACO ， ∴∠ECO ＝∠ACD ， ∵OC ＝OE ， ∴∠CEO ＝∠OCE ， ∴∠ACD ＝∠CEO ， 又∵∠DAC ＝∠EAC ， ∴△DAC ∽△CAE ， ∴
AC AE
=
AD AC ，
∵OC =3
2，
∴DE ＝2OC ＝3＝AC ， ∴
DE AE
=
AD DE
，
故小明同学发现的结论是正确的．
23．（14分）勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调
查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了50名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝32，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是57.6度；（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°×8
50
=57.6°，
故答案为：32，57.6；
（4）400×16+8+4
50
=224（人），
即该校七年級有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x ﹣50）元， 由题意得：
300x
=
4003x?50
，
解得：x ＝30，
经检验，x ＝30是原方程的解且符合实际意义， 3x ﹣50═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y ）瓶， 由题意得：30y +40（40﹣y ）＝1400， 解得：y ＝20， ∴40﹣y ＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼
此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A 1、A 2、A 3…A 48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x 与通电话次数y 之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y 的值为 10 ，第五个图中y 的值为 15 ． （2）通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x 之间的关系式为 y =x(x?1)
2
，当x ＝48时，对应的y ＝ 1128 ．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y 的值为10，第五个图中y 的值为15． 故答案为：10；15． （2）∵1=2×12，3=3×22，6=4×32，10=5×42，15=6×5
2
， ∴y =
x(x?1)
2
， 当x ＝48时，y =48×(48?1)
2
=1128． 故答案为：y =
x(x?1)
2
；1128． （3）依题意，得：x(x?1)2
=190，
化简，得：x 2﹣x ﹣380＝0，
解得：x 1＝20，x 2＝﹣19（不合题意，舍去）． 答：该班共有20名女生．