第1讲 随机抽样

第十章统计、统计案例

第1讲随机抽样

基础知识整合

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N n个个体作

为样本(n≤N)

这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)

(3)抽签法与随机数法的区别与联系

抽签法和随机数法都是简单随机抽样方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N

(2)分段．当N

n

是整数时，取k＝N

n.

(3)在第1l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号09

(l＋k)，再加k得到第3

本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，

从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)

选用分层抽样．

1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．

2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差N

n

的整数倍．

3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．

1．(2019·四川资阳模拟)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为() A．6 B．4

C．3 D．2

答案 C

解析抽取的女生人数为9

×18＝3，故选C.

36＋18

2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()

A．p1＝p2

C．p1＝p3

答案 D

解析随机抽样包括：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率都相等．故选D.

3．(2019·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()

A．15 B．18

C．21 D．22

答案 C

解析系统抽样的抽取间隔为24

4

＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.

4．(2020·郑州摸底)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为()

A．25,25,25,25 B．48,72,64,16

C．20,40,30,10 D．24,36,32,8

答案 D

解析因为抽样比为100

20000＝1

200

，所以每类人中应抽选的人数分别为

4800×1

200＝24,7200×1

200

＝36,6400×1

200

＝32,1600×1

200

＝8.故选D.

5．(2019·广东省七校联考)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000,001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)

84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 76

63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 79

33 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54

答案068

解析由题意，得从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331,455,068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.

核心考向突破

考向一简单随机抽样

例1(1)“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是()

A．系统抽样法B．抽签法

C．随机数法D．其他抽样方法

答案 B

解析30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．故选B.

(2)(2019·江西名校模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()

C．02 D．01

答案 D

解析选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.

(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；

③是不放回抽取；④是等可能抽取．

(2)抽签法与随机数法的适用情况

①抽签法适用于总体中个数较少的情况，随机数法适用于总体中个数较多的情况．

②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．

[即时训练] 1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()

A．180 B．400 C．450 D．2000 答案 C

解析设这个学校高一年级的学生人数约为x，则90

x ＝20

100

，∴x＝450.故选

C.

2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33个数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6个数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为()

C．02 D．17

答案 C

解析从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的号码依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.

考向二分层抽样

例2(1)(2019·江西新八校第二次联考)某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为() A．35,33,30 B．36,32,30

C．36,33,29 D．35,32,31

答案 B

解析先将每个年级的人数凑整，得高一1800人，高二1600人，高三1500

人，则三个年级的人数所占比例分别为18

49，16

49

，15

49

，因此，各年级抽取人数分别

为98×18

49＝36,98×16

49

＝32,98×15

49

＝30，故选B.

(2)(2020·河南百校联盟仿真)2020年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识A“谢谢惠顾”、标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有A，B，C标识的饮料数量之比为3∶1∶2，若顾客购买了一箱(12瓶)该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为()

A．2 B．4

C．6 D．8

答案 B

解析根据题意，得“品牌纪念币一枚”的瓶数占总体的2

3＋1＋2＝1

3

，则一箱

中兑换“品牌纪念币”的数量为1

3×12＝4.

分层抽样的步骤

(1)将总体按一定标准分层．

(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量．

(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．

[即时训练] 3.(2019·广西南宁二中6月份考试)如下饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为()

A．12 B．6

C．4 D．3

答案 D

解析青年教师的人数为120×30%＝36，所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12×30

＝3.故选D.

120

4．(2019·河北五个一名校联盟第一次诊断)经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n

的样本进行调查，其中中年人人数为12，则n＝()

A．30 B．40

C．60 D．80

答案 B

解析由题意，设老年人和青年人人数分别为x，y，由分层抽样，得x∶12∶y ＝1∶3∶6，解得x＝4，y＝24，则n＝4＋12＋24＝40，故选B.

考向三系统抽样

例3(1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是() A．8号学生B．200号学生

C．616号学生D．815号学生

答案 C

＝10.因为46解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1000

100

除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选

C.

(2)(2020·河南部分省示范性高中1月份联考)某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400进行编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2321～2400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码为()

A．416 B．432

C．448 D．464

答案 A

解析设第n组抽到的号码是a n，则{a n}构成以80为公差的等差数列，

所以a3＝a1＋80×2＝160＋a1，

a4＝a1＋80×3＝240＋a1，

所以a3＋a4＝2a1＋80×5＝432，

解得a1＝16，

所以a6＝16＋80×5＝416.故选A.

(1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体，样本容量也较大．

(2)各个个体被抽到的机会均等．

(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样，一旦起始编号确定，其他编号也就确定了．

(4)若总体容量不能被样本容量整除可以先从总体中随机地剔除几个个体，使总体容量能被样本容量整除．

(5)样本容量是几就分几段，每段抽取一个个体．

[即时训练] 5.将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()

A．26,16,8 B．25,17,8

C．25,16,9 D．24,17,9

答案 B

解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k ，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，－1)≤300，得k≤103

4

得103

4

6．(2019·湖北名校4月模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中采用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中来自相邻的两个组的学生的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．

答案32

解析样本间隔为23－14＝9，则来自第一组的学生的编号为5，来自第四组的学生的编号为23＋9＝32.

课时作业

1．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为________时不需要剔除个体()

A．3 B．4

C．5 D．6

答案 B

解析当总体容量524能被抽样间隔整除时，不需要剔除个体，显然524能

被4整除，不能被3,5,6整除．故选B.

2．(2020·陕西榆林二中月考)某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()

A．①系统抽样，②分层抽样

B．①分层抽样，②系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样

D．①分层抽样，②简单随机抽样

答案 C

解析由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.

3．(2019.河南十校联考)有一批计算机，其编号分别为001,002,003， (112)

为了调查计算机的质量问题，打算抽取4台入样．现在利用随机数表法抽样，在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始，向右读，那么抽取的第4台计算机的编号为()

C．077 D．058

答案 B

解析依次可得到需要的编号是076,068,072,021，故抽取的第4台计算机的编号为021.

4．(2019·衡水调研)某班共有学生54人，学号分别为1～54号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()

A．10 B．16

C．53 D．32

答案 B

解析该系统抽样的抽样间距为42－29＝13，故另一同学的学号为3＋13＝16.

5．(2019·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝()

A．54 B．90

C．45 D．126

答案 B

解析依题意得3

3＋5＋7

×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

6．(2019·临川模拟)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为()

A．10,14,16 B．9,13,18

C．8,14,18 D．9,14,17

答案 A

解析抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为25

25＋35＋40

×40＝10，

35

25＋35＋40

×40＝14，

40

25＋35＋40

×40＝16.故选A.

7．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为1

3

，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()

A.1

4 B.

1

3 C.

5

14 D.

10

27

答案 C

解析根据题意，9

n－1＝1

3

，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为10

28

＝5

14.

8．(2019·惠州模拟)某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取．若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b＝a＋c，则二车间生产的产品数为() A．800 B．1000

C．1200 D．1500

答案 C

解析因为2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的1

3

，根

据分层抽样的性质可知二车间生产的产品数占总数的1

3，即为3600×1

3

＝1200，故

选C.

9．某学校有教师1221人，现采用系统抽样方法抽取37人进行问卷调查，将1221名教师按1,2,3,4，…，1221随机编号，则抽取的37名教师中，编号落入区间[529,858]的人数为()

A．12 B．11

C．10 D．9

答案 C

解析将1221名教师按1,2,3,4，…，1221随机编号，则编号落入区间[529,858]的有330人．使用系统抽样方法从1221人中抽取37人，分段间隔为1221

37

＝33，

所以抽取的37名教师中，编号落入区间[529,858]的人数为330

33

＝10.故选C.

10．某高中的三个兴趣小组的人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)：

中按小组采用分层抽样的方法抽取60人，已知围棋组被抽出16人，则x的值为()

A．30 B．60

C．80 D．100 答案 B

解析由题意，知16

60＋20＝60

240＋x

，解得x＝60，故选B.

11．(2019·河北衡水中学高一期中)某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人、女生20人，乙班有男生25人、女生25人，现在需要各班按男女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生的人数是________．答案11

解析根据题意，知两个班共抽取男生的人数为30×20%＋25×20%＝11.

12．从编号为1,2，…，59,60的60个产品中，用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最大的两个编号为51,57，则第一个入样的编号为________．答案 3

解析由最大的两个编号为51,57，知分段间隔为57－51＝6，即共抽取了60

6＝10个产品，设第一个入样的编号为x，则x＋(10－1)×6＝57，解得x＝3.

13．(2019·浙江五校联考)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．

答案60

解析由题意，设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，

a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有30

a2

＝150

1000

，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋

a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400，∴

n

400

＝150

1000

，解得n＝60.

14．(2020·厦门模拟)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．

答案45

解析依题意，分组间隔为64

＝8，因为在第1组中随机抽取的号码为5，所

8

以在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.