数学二次函数综合(定值)问题与解析

成都市中考压轴题（二次函数）精选

【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题．

分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；

②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未

知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入进行计算即可得解．

解答：

（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），

则AO==m2+1，

∵直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴， ∴点M 的纵坐标为﹣2， ∴AM=m 2﹣1﹣（﹣2）=m 2+1，

∴AO=AM；

（3）解：①k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，点A 、B 在x 轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴+=+=1；

②k 取任何值时，设点A （x 1，x 12﹣1），B （x 2，x 22﹣1）， 则+=+==， 联立，

消掉y 得，x 2﹣4kx ﹣4=0，

由根与系数的关系得，x 1+x 2=4k ，x 1?x 2=﹣4， 所以，x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2=16k 2+8， x 12?x 22=16，

∴+===1，

∴无论k 取何值，+的值都等于同一个常数1．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距

离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A 、B 的坐标，然后用含有k 的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．

【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象

限内，且AB sin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；

（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ?，△QNR 的面积QNR S ?，求QMN S ?∶QNR S ?的值.

解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，

35AB =Q 5sin 5

OAB ∠=

， 5

sin 3535

BD AB OAB ∴=∠==g ． 又由勾股定理， 得22

22(35)36AD AB BD =

-=-=．

1064OD OA AD ∴=-=-=．

Q 点B 在第一象限内， ∴点B 的坐标为(43)，．

∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分

设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为 2(0)y ax bx a =+≠．

由11643810010054

a a

b a b b ?

=?+=-?????+=??=-??，．

∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为215

84

y x x =

-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．

①Q 点(43)C -，

不是抛物线215

84

y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．

则直线1CP 的函数表达式为3y =-．

y F

P 3

B

E

C D A P 2

P 1

O

对于215

84

y x x =

-，令34y x =-?=或6x =． 1143x y =?∴?=-?，；2263x y =??

=-?，

．

而点(43)C -，，1(63)P ∴-，

． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．

∴点1(63)P -，

是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =． 将点(43)C -，代入，得143k =-．13

4

k ∴=-

． ∴直线CO 的函数表达式为3

4

y x =-．

于是可设直线2AP 的函数表达式为13

4

y x b =-

+． 将点(100)A ，代入，得131004b -?+=．115

2

b ∴=．

∴直线2AP 的函数表达式为315

42

y x =-+．

由2231542

46001584y x x x y x x ?

=-+???--=?

?=-??

，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =?∴?=?，；22612x y =-??

=?，；

而点(100)A ，，2(612)P ∴-，

． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △

中，由勾股定理，得220AP ===．

而5CO OB ==．

∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．

∴点2(612)P -，

是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．

将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ?

+==?????+=-??=-?，

．

∴直线CA 的函数表达式为1

52y x =

-． ∴直线3OP 的函数表达式为1

2y x =．

由2212

1401584y x x x y x x ?=???-=?

?=-??

，即(14)0x x -=． 1100x y =?∴?=?，；22

147x y =??

=?，

． 而点(00)O ，，3(147)P ∴，

． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得

3OP =

==

而CA AB ==

∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．

∴点3(147)P ，

是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，

，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．

①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．

即22

310y ax akx ak =--2

234924a x k ak ??=-- ???

．

如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．

3(20)(50)02Q k R k G k ??

- ???

Q ，，，，，，

22349(010)24N ak M k ak ??

-- ???

，，，，

3

||2||7||2

QO k QR k OG k ∴===，，，

22749

||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．

2311

7103522QNR S QR ON k ak ak ∴==??=g g △．

QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形

111

()222

QO ON ON GM OG QG GM =++-g g g g g 222211493

1749210102242224k ak ak ak k k ak ??=??+?+?-?? ??? 331494921

2015372884

ak ak ??=++?-?= ???． 3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ??

∴== ???

△△． ················ 2分

②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．

同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．

【例三】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5

4

y x m =

+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2

y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究

2112

P P

M M M M ? 是否为定值，并写出探究过程．

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），

∴0=+m，解得m=，

∴直线解析式为，C（0，）．

∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），

∵抛物线经过C（0，），

∴=a?3（﹣5），解得a=，

∴抛物线解析式为y=x2+x+；

（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则AC∥EF且AC=EF．如答图1，

（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵，∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO=，即y E=，

∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），

∴E（2，），S

=；

?ACEF

（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，

=．

同理可求得E′（+1，），S

?ACE′F′

（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．

如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．

∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，

∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．

令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，

联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．

根据两点间距离公式得到：

M1M2===

∴M1M2===4（1+k2）．

又M1P===；

同理M2P=

∴M1P?M2P=（1+k2）?=（1+k2）?=（1+k2）?=4（1+k2）．

∴M1P?M2P=M1M2，

∴=1为定值．

【例四】（2013?成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x

﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点；

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x

﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．

ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴，解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．

（2）i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．

∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），

则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．

解方程组：，

解得，

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则

PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ==AP0．

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．

解方程组，得：，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．

如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．

过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3，

∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．

解方程组，得：，

∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

ii）存在最大值．理由如下：

由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′==．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．

∴的最大值为=．

点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．