圆锥曲线的基本概念和性质汇总
圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例1．已知P 是椭圆22x y 14
+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=?，求12FPF ?的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12
FPF ?中由余弦定理得
2221212PF PF 2PF PF cos60=+-??
＝2
121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-??
，
解之得：124PF PF 3?=，则12
FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；
（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e ＝a
c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).
考点 利用向量求曲线方程
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：
练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使???,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．
解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得
(1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= .
所以 )1(2x MN MP +=? . 122-+=?y x ， )1(2x NP NM -=? . 于是， NP NM PN PM MN MP ???,,是公差小于零的等差数列等价于
????
?<+---++=-+0
)1(2)1(2)]
1(2)1(2[2112
2x x x x y x 即 ?
??>=+03
22x y x .
所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.
（Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
212
020=-+=?y x PN PM
.(1PM PN =cos 4PM PN PM PN
θ?=
=
?所以 因为 0〈30≤x ， 所以
,30,1c o s 21πθθ<≤≤<,411c o s 1s i n 202x --=-=θθ.
341
411c o s
s i n t a n 02
02
2
y x x x =-=---
==θθθ
1．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3
821-=+λλ时，求Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为
22
22
1x y a b
-=,
由椭圆22
184
x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，
∴对于双曲线:2C c =
，又y 为双曲线C 的一条渐近线
∴b a
解得 22
1,3a b ==，
∴双曲线C 的方程为2
213
y x -=
（2）由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k
-.
12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k
k
k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22
4y λ=-，
又1283
λλ+=-， 12
1123
y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.
将4y kx =+代入2
213
y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.
230k -≠，否则l 与渐近线平行.
212122224483,33k y y y y k k -∴+==
--.
222244833233k k k -∴?=?
--.2k ∴=±
(2,0)Q ∴±.
2.．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=， （1）求椭圆的离心率；
（2）若|AB|15=，求这个椭圆的方程.
解：（1）设椭圆方程为2
2
22
x y 1,(a b 0)a
b
+=>>，焦距为2c ，
则直线AB 的方程为y x c =-， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，
由22
22x y 1a
b y x
c ?+=???=-?
得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，
则2
12222a c x x a b +=+，212122
2
2b c y y x x 2c a b +=+-=-+，
C B
A o
y x
因OA OB OC +=，则2222222a c 2b c C(,)a b a b -++， 又点C 在椭圆上，则22
22222222
4a c
4b c 1(a b )(a b )
+=++， 整理得：2224c a b =+＝222a (a c )+-，即222a 5c =，
所以c e a ==（2）|AB||AF ||BF |=+＝12(a ex )(a ex )-+-＝122a e(x x )-+＝2
22
c 2a c 2a a a b -?+ ＝3a 152
=，
则a 10=
，c =，2b 60=，
椭圆方程为22
x y 110060
+=.
小结：（1）利用向量，可将较复杂的A 、B 、C 三点之间的关系用较简单的形式给出来； （2）焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解； （3）计算复杂是解析几何的通性，要细心.
3.设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x
C(1,0)-的直线交椭圆E 于
A 、
B 两点，且CA 2B
C =，求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+， 由222x 3y t my x 1
?+=?=+?得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则122
4m y y 2m 3
+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②
由①②得：12
8m
y 2m 3
=+，22
4m y 2m 3
-=+， 则AOB 1221m
S |y y |6|
|2
2m 3
?=-=+
＝632|m ||m |
≤
+
，
当23m 2
=
，即m =AOB ?面积取最大值，
此时2
1222
2
2t 32m y y 2m 3
(2m 3)
-==-++，即t 10=，
所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.
高考圆锥曲线基本性质综合复习
第一节焦点三角形 一、焦点三角形的周长 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则21F PF ?的周长恒为c a 22+； （2）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，l 过焦点1F 且与椭圆交于B A ,两点，则2ABF ?的周长恒为. 4a 例1，已知21,F F 分别为椭圆1:22 22=+b y a x E 的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点，且22,,BF AB AF 成等差数列，求E 的离心率.变式1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为2 2，过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ?的周长为16，求椭圆的方程.二、焦点三角形的面积 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，则21F MF ?的面积为)(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ；（2）已知21,F F 分别为双曲线1-22 22=b y a x 的左、右焦点，M 是双曲线上的动点，则21F MF ?的面积为).(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ
例2，已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为_______. 变式2，已知双曲线1:22=-y x C 的焦点为21,F F ，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则21PF PF ?=___________. 三、焦点三角形的角平分线 知识点：（1）在ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，则CD BD AC AB =；（2）已知点P 是椭圆122 22=+b y a x 上的动点，21,F F 为椭圆的两个焦点，21F PF ?的内切圆的半径为r ，则). (21c a r S F PF +=?例3，已知21,F F 为椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，点)3,2(A 在椭圆上，求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程. 变式3，已知21,F F 分别为双曲线127 9:2 2=-y x C 的左右焦点，A 为C 上一点，点M 的坐标为)0,2(-，AM 为21AF F ∠的角平分线，则._____2=AF
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
第五讲 圆锥曲线及其几何性质
回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义． 2．圆锥曲线的标准方程及其推导． 3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练 1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点， 左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D， QF⊥OA于F．给出下列比值： 其中为离心率的有_________________． 2．若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点，且 12 8 F F=，则m的 值为． 3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1，则 11 A FB ∠=____________． 4．经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________． 5．过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标 原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA u u u r u u u r 同向，则离心率e=_________． 6．椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若 2 ABF ?的内切圆周长为π， ()() 1122 A x,y, B x,y，则 12 y y -=____________． ☆典型例题 1．椭圆的定义 例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点， 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点． ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程； ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB 的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF 的中点为O，证明： 9 5 OC<． 2．中点弦问题 例3．直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点，点() 04 B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点，则直线l的方程是_________________． 3．椭圆的几何性质 例2．已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点，右准线l，离心率e． ⑴若P为椭圆上的一点，且 12 F PF ∠=θ，则 12 PF F S ? =_____________． ⑵若椭圆上存在一点P，使得 12 PF PF ⊥，则e的范围是_____________． ⑶若椭圆上存在一点P，使得 12 PF ePF =，则e的范围是_____________． ⑷若在l上存在一点P，使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F，则e的范围是___________． ⑸若P为椭圆上的一点，线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q，则e=________． ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=，则k=___． 4．最值问题 例4．已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上，(,(2,0) A B． ⑴若2 PA PB +取最小值，则点P的坐标为____________； ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ，且0 PM BM= u u u u r u u u u r g，则| |的最小值是； ⑶PA PB +的取值范围是________________________． 例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 两条准线间的距离为6．椭 圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C． ⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB λ = u u u r u u u r ；⑶求MBC ?面积S的最大值． ☆方法提炼 1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论． 2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”． 3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑． 4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算． 5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理． P H E F G 第 1 页
圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0
圆锥曲线的经典性质总结
椭圆 必背的经典结论 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角 形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A B 是椭圆 2222 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + .
高二数学 圆锥曲线的几何性质练习
圆锥曲线的几何性质 一、选择题（' ' 6636?=） 1. .设22221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60 B ，75 C ，90 D ，120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q 两点，交l 于R 点，则（ ） A ，PFR QFR ∠>∠ B ，PFR QFR ∠=∠ C ，PFR QFR ∠<∠ D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ） A ，(,0][4,)-∞+∞ B ，(,0]-∞ C ，[4,)+∞ D ，[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任 意一点，若 2 12 PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A ，(1,)+∞ B ，(1,2] C ， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）
圆锥曲线经典性质总结及证明!!!
Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)
圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。
圆锥曲线的定义及几何性质
圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2 ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是（ ）A ．(01)， B ．1(0]2 ， C ．(02 D ．1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=°，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．12 D ．1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ?= ，2 12AF AF c ?= ，则椭圆的离心率e = （ ） A ． 3 B ． 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ，为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点，若 120 PF PF ?= ， 121tan 2 PF F ∠= ，则此椭圆的的离心率为（ ） A ． 12 B ． 23 C ．1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为（ ） A ．3 B ． 253 或3 C ． D 8. 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 4 C 2 D 4 10. 设12F F ，分别是椭圆 222 2 1x y a b + =（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2 :a l x c = 上存在P （其 中c =），使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．0, 2? ?? B ．0, 3? ? ? C ．,12????? D ．,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||AB AF =，则椭圆的 离心率e =（ ） A ．2-+ B ． C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 13. A ．02? ? ? B ．102? ? ?? ?， C ．)11 ， D ．112 ???? ??， 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为 椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为 （ ） 224416. 在ABC △中，A B B C =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离 心率e = ． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为 半径作圆M ．若过点20a P c ?? ? ?? ，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ． 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________． 19. 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点，若12 21 2PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________． 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若 2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2， 当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴．
又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形． 又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c ,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x ,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e 证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x 圆锥曲线的性质 、基础知识 （一）椭圆： 1定义和标准方程： （1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和 2 2 PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2） a b 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃?爲=1 a b 0 a b （1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b （4）通径：焦点弦长的最小值 ①焦点弦：椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=—— a 说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以 = (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率：e = c ，因为c a ，所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2 tan ；(其中n 1 证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ，最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%，所以2 =c y o ，由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义：平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点 圆锥曲线 一、椭圆 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>，e 越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线 数学 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭圆必背的经典结论 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. x 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的 轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. x 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. x 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x 5.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=上，则过 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x x y y a b +=. x 6.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=外，则过Po作椭圆的两条切线切点 为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. x 7. 椭圆 2 2 22 1x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为 122tan 2 F PF S b θ ?=. x 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+, 20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). x 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的一个 顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. x 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交 于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上 的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0圆锥曲线几何性质总汇
圆锥曲线性质
圆锥曲线知识点总结
Song神圆锥曲线的性质整理 (1)
圆锥曲线知识点整理