幸福感数模论文

百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2011 年河南科技大学数学建模竞赛选拔
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反 选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）：
A
队员签名 ：1
日期：2011 年 8 月 19 日
1

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2011 年河南科技大学数学建模竞赛选拔
编号专用页
评阅编号（评阅前进行编号）： 评阅记录（评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
2

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幸福感的评价与量化模型
摘要
幸福感是一种，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又 是对于生活的和程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种 积极心理体验。幸福指数，就是衡量这种幸福感具体程度的主观指标数值。
本文中首先根据附表给出的网上调查数据，通过调查大量文献、事实资料和 参考研究这方面的权威人士的理论，建立了比较合理的指标体系，该指标体系具 有普遍推广性。利用贝叶斯数学思想和依据上述指标前提下建立衡量幸福指数的
1
Z (1/ 2m)
数学模型一，得出幸福指数公式：
=
m n
ij
((k 1)
/
2m)
，此幸福指数为一个群
体的不同阶段幸福感百分比分布，计算结果为感到很不幸福、不太幸福、一
般、比较幸福、非常幸福的网民所占比例依次为 与调查表第一项的调查，相 差很小分析得知，我们的结果还是能较好的评价网民的幸福感的。
其次，以江西地区某校调查教师和学生关于幸福感的相关资料，采用层次分 析法建立模型二，分别求出影响该地教师和学生幸福指数的各因素的权重，通过 模型显示的结果，找出了影响他们幸福感的主要因素。
最后，通过对所建模型特点的：模型优缺点、使用范围、建模思想或方法、 算法特点、结果检验等方面。得出模型一可以在专一人群中较好测出该群的幸福 指数。模型二可以在某些前提下可以推广到更加普遍的人群中。根据我们建立模 型测得的结果，向当地学校管理部门写了一封建议信。
关键词：幸福指数、评价指标体系、贝叶斯、层次分析法、权重
目录
3

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一、 问题重述 二、 问题分析 三、 模型的假设 四、 定义与符号说明 五、 模型的建立与求解
1．问题一的模型 2．问题二的模型 3．问题三的求解 4、给学校领导的一封信 六、 对模型的评价 七、 参考文献 八、 附录
一，问题重述
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背景知识 幸福感是一种，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对
于生活的和程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极 心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。
如果说 GDP、GNP 是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为 一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与 GDP 一样重要，一方面，它可以监 控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为 最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“”，也是社会发展 和民心向背的“”。 问题重述 根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作： 1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评 价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。 2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数 学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。 3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。 4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写 一封短信(1 页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。
二、问题分析
1) 对问题一的分析 要求根据题目给出的网民问卷调查表，建立网民幸福感的评价指标体系，并
利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型，即分析各评价指标因素对幸福感的 影响，我们建立评价幸福感的指标体系并根据指标建立衡量幸福感的贝叶斯估计 模型（模型一）。 2) 对问题二的分析
5

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要求我们分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型， 并 找 出 影 响 他 们 幸 福 感 的 主 要 因 素 。我们选取安徽省某校的教师和学生相关数 据，分别利用层次分析法得出影响教师和学生幸福指数的各个指标的权重大小， 分别建立模型。并根据权重大小确定影响幸福感的主要因素。 3) 对问题三的分析
对我们建立的两个模型（评价网民幸福指数的贝叶斯模型和评价学生教师 幸福指数的层次分析模型），分别进行考虑。一方面，模型一采用贝叶斯模型能 够对网民群体的不同幸福体验估算出比较准确的不同阶段的幸福感比例。并经过 检验之后可以得出比较正确的数值。但本模型的指标的选取没有涉及到其主要组 成的权重因素，因此它不可以推广到更加普遍的人群，但是对于固定单一的人群， 采用此方法是很可取的。另一方面，由于层次分析法具有系统性、简洁性、实用 性，因此采用层次分析法所建立的模型二是可以推广到更加普遍的人群。 4) 对问题四的分析
根据第二个问题中对教师和学生的幸福指数的因素的分析，针对各自的主要 因素，向学校管理部门提出相关意见，旨在校管理部门采取一定措施，提高教师 和学生的幸福指数，共 同 营 造 美 好 和 谐 校 园 。
三、模型假设
1) 模型一 在指标的采取中只考虑网民主观因素的影响，忽略现实的客观因素。 假设统计表格都是调查者的真实结果，而且忽略各地区的影响。 在提取主成分的过程中，不考虑信息量损失对模型结果的影响。 调查问卷是随机的，网民分布均匀。
2) 模型二 需要尽可能多的了解一定范围内人们认为影响幸福的主要因素。 将对象视作系统，安装分解、比较、判断 、综合的思维方式进行决策系 统分析
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四 名词解释与符号说明
1、名词解释
? 贝叶斯分析方法：提供了一种计算假设概率的方法，是基于假设的先验概率、 给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身而得出的。其方法
为，将关于未知参数的先验信息与样本信息综合，再根据贝叶斯公式，得出
后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数的方法。
? 层次分析法：又称 AHP，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结 构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较，判断，计算各个评价
项目的相对重要系数，即权重。
2、 符号说明
序号 符号
符号的说明
1
HI
幸福指数
2
ci
3
xi
4
CI
影响幸福指数的各因素的权重(i=1,2,…,18) 影响幸福指数各因素的量化分值(i=1,2,…,18) 一致性指标
5
CR
一致性比例
6
RI
平均随机一致性指标
五、模型的建立与求解
一、 问题一的分析与求解 1、贝叶斯估计模型指标的量化
在用此模型前我们首先必须对网民调查指标量化处理。如下：
表一：幸福程度量化值
内容
非常幸福 比较幸福 一般 不太幸福
量化值（分数）
5 4 3 2
7

很不幸福
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1
2、 幸福感指标体系的确立 附表给出了网上调查的一系列数据，首先需要我们对这些数据类型，进行指 标体系的确立，根据大量参考文献，我们筛选出具有公平合理选取指标的基本原 则如下： 1 针对性原则。紧扣政府可作为目标，侧重与对提升居民幸福感的政府公共 管理可作为的方面环节筛选指标。 2 科学性原则。既能科学反映现阶段居民幸福感的内涵，又与构建指标体系 的目标相一致，能借助与所选取指标的指标值统计表现，反映一定问题，为提升 政府服务效能提供依据。 3 可行性原则。能组织实施所构建指标体系设计的调查，所选取指标容易被 认知，能为被访者接受并有效反馈。 4 简洁性原则。指标选取紧扣目标，避繁就简，依据所建指标体系所要开展 的调查，既能服务与调研预期目的，又尽可能节约成本。 依据以上原则，我们建立的指标体系如下：
表二：
一级指标（5 个）
身心健康 自我实现
人际适应体验 环境舒适
8
网民幸福感的评价指标体系 二级指标 业余生活 身体状况 生活工作压力 生活态度 其他 个人成就感
事业上的前途 自己是什么样的人
其他 和家人的关系 和邻居的关系 和同事的关系
其他 和朋友的关系 城市出行方便
分值 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5 1-5

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物质保障
城市社会治安
1-5
城市环境
1-5
生活节奏
1-5
其他
1-5
经济发展状况
1-5
住房条件
1-5
收入状况
1-5
其他
1-5
上表列出网民各指标的设定，其实我们利用贝叶斯模型只需利用二级指标即 可，推导如下：
jn
设 Zia = Zij ,（i=1……K）。Zia 表示为选择分数为 i 的所有指标的总投票数， j1
其中 n 为二级指标个数， Zij 表示为第 j 个指标分数为 i 的票数。
由贝叶斯估计算法，
Xi= 1 m
Zia ，其中 Xi 为贝叶斯估计值。
则由贝叶斯估计幸福指数：
=E （ , x ）= ( , x)d
= Xi (1/ 2m) n ((k 1) / 2m)
即化简公式可得幸福指数：
1 Z (1/ 2m)
=
m n
ij
((k 1)
/
2m)
，此幸福指数为一个群体的不同阶段幸福感百分比
分布。
3、模型的检验分析： n =18 m =1977 K=5，量表采用 5 级量表。 Zia =[4852 12923 12990 4681 2117]；
带入方程
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1
Z (1/ 2m)
=
m n
ij
((k 1)
/
2m)
，（i=1……K）680、1977
用
=[ ]（依次为“非常幸福”……“很不幸福”的比例）。
而与附件表求的总体幸福感 P 表=[ ] 两者比较如下：
表一调查数据值和模型计算值比较图 35
34.59%
34.58%
34.40%
30
25
表一网民总幸福值 模型计算值 20
12.44%
12.46%
15
34.39%
12.89% 12.92%
幸 福 指 数 （ %）
10 5.66%
5.64%
5
0
1
2
3
4
5
很不幸福
不太幸福
一般
比较幸福
非常幸福
量化幸福程度值
由表中可看出该模型的计算结果与附件中表一网民总幸福感的统计值
几乎一致，误差不到%，由此证明本模型用贝叶斯模型的可行性与准确
度，而且由结果分析 =[ ];表明网民中如下图
10

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很不幸福 5.64%
不太幸福 12.46%
非常幸福 12.92%
一般 34.58%
比较幸福 34.40%
认为很不幸福的仅有%，认为很幸福的为%。指数大于 2 的要占 80%以上，因此总 体上看网民对自己的生活比较满意
4、模型的进一步分析
那么指数小于 2 的网民中，主要因为什么而感到不幸福呢？我们以第一指标继续 讨论： 下表为各指标中，得分小于三的，各指标票数
网民幸福感的评价指标体系
一级指标（5 个） 身心健康 自我实现
人际适应体验
二级指标 业余生活 身体状况 生活工作压力 生活态度 个人成就感 事业上的前途 自己是什么样的人 和家人的关系 和邻居的关系 和同事的关系
一分
118 10 69 61 151 70 50 36 179 49
两分
200 59 140 201 311 185 228 94 429 71
11

环境舒适 物质保障
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和朋友的关系 城市出行方便 城市社会治安
城市环境 生活节奏 经济发展状况 住房条件 收入状况
41 116 85 298 44 447 109 330
73 189 270 354 205 189 253
626
身心健康 自我实现 人际适应体验 环境舒适 物质保障
由饼状图得知，在物质保障和环境舒适两方面，网民投低分的票数较多，所以我 认为，政府应当努力发展经济，改善城市环境，以增强人民幸福感！
二、 问题二的分析与求解：
(一) 模型的准备 我们将决策问题化为三个层次：目标层、准则层、方案层，每层都有若干 元素，各层之间的关系用直线将其连起，通过一一比较得出各层对目标的权重及 若干元素在上层中的权重，并将这两种权重组合确定对幸福度目标的。运用层次 分析模型，大致分为 4 个基本步骤。
(二) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下分 解成若干层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时 又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量互相独 立。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可 以有一个或几个层次，通常为准则层或目标层。当准则过多时应进一步分解出子 准则层。
12

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(三) 构造成对比矩阵 从层次结构模型的第二层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因 素，用成对比较法和 1-9 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
表 1 1-9 尺度 的含义
尺度
1
3
5
7
9
含义
相同
稍强
强
很强
绝对强
心理学家认为，进行成对比较的因素太多，讲超出人的判断能力，最多大
致在 7+-2 范围。如以 9 个为限，用 1-9 尺度表示它们之间的差别正合适。
对比矩阵

1 1
A

a 21
1

a
2
n
a 21 a1n
1
a
2n


1 a 2n
1
具有以下三个特点：
①
a ij 0
(i, j 1,2 n) ；②
a ij
1 a ji
；③ a ii
1；
具有上述三个特点的矩阵称为正负反矩阵。
(四) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及特征向量，利用一致性指标、随机 一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量归一化后即为权 向量；若不通过，需要重新构造成对比较阵。 对于这 3 个层次的决策问题，若第 1 层只有 1 个因素，第 2,3 层分别有 n,m 个因素，记第 2,3 层对第 1,2 层的权向量分别为
13

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w (2) =(w (2) ,…, w ) (2) T
1
n
w (3) =( w (3) ,…, w (3) ) T ,k=1,2, …n
k
k1
km
以 w (3) 为列向量构成矩阵 k
W (3) =[ w (3) ,…, w ] (3)
1
n
则第 3 层对第 1 层的组合权向量为
w = W w (3)
(3) (2)
更一般地，若共有 s 层，则第 k 层对第 1 层（设只有 1 个因素）的组合权向量 满足
w = W (k )
(k )
w (k1) ，k=3,4,
…,s
其中 W (k) 是以第 k 层对第 k-1 层的权向量为列向量组成的矩阵，于是最下层（第
s 层）对最上层的组合权向量为
w = W W …W w (s)
(s)
( s 1)
( 3)
( 2)
(五) 计算组合权向量并做组合一致性检验 组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比 较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是 否可以作为最终的决策依据.
组合一致性检验可逐层进行，若第
p
层的一致性指标为
CI
( 1
p
)
，…，CI
( p) n
（n
是第
p-1
层因素的数目），随机一致性指标为
RI
( 1
p)
，…，RI
( p) n
，定义
CI
(
p
)
＝[CI
( 1
p
)
，…，CI
(p n
)
]
w ( p1)
RI
(
p
)
＝[RI
( 1
p
)
，…，RI
(p n
)
]
w ( p1)
平均随机一致性指标
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0
0
则第 p 层的组合一致性比率为
CR ( p) ＝ CI (p)
RI (P)
，p=3,4…，s
第 p 层通过组合一致性检验的条件为 CR ( p) <
14

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定义最下层（第 s 层）对第 1 层的组合一致性比率为
CR * ＝ s CR( p) p2
对于重大项目，仅当 CR * 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性
检验。
利用公式 w (s) = W (s)
W …W (s1)
( 3)
w (2) 计算最下层对目标的组合权向量，并
酌情作组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策， 否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 CR 较大的成对比较阵.
(六) 对学生幸福感因素的求解 1) 学生幸福感的求解 （1）我们将我们建立的模型应用于解决对安徽某校学生幸福指数衡量，用层次 分析法确立在幸福指数中各个指标所占的比重。
影响幸福的指标
一级指标
二级指标
和家人的关系
家庭因素 家人对自己的影
响
健康状况
个人因素
外貌因素 生活可支配费
自身性格
恋人相处
恋爱状况
发展愿望
爱恋程度
非学校内人员
人际交往 班级寝室同学
校内教师
对毕业后的目标
自我实现
专业发展
价值
未来的期望
人生价值
学生幸福指数指标的递阶层次模型
该模型的最高层为总目标层 A：确定影响学生幸福指数的因素权重。第二层次设 计为方案评价的准则层，它包括五个准则层：B1：家庭因素；B2：自身因素；B3：恋爱 状况；B4：人际交往；B5：自我价值体现；最底层为方案层，它包括 P1 ~ P16 种方案， 其分别为：
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学 生 百度文库 - 让每幸个人平等地提升自我 福 指 数
家
个
恋
人
自
庭
人
爱
际
我
因
因
状
交
价
素
素
况
往
值
观
和 家 健 外 生 自恋 发 爱 非
校 对专 未 人
家 人 康 貌 活 身人 展 恋 学
内 毕业 来 生
人 对 状 因 可 性相 愿 程 校
教 业发 的 价
关 自 况 素 支 格处 望 度 内
师 后展 期 值
系己
配
人
的
望
的
费
员
目
影
标
P1 ：响和家人的关系； P2 ：家人对自己的影响； P3 ：健康状况；
P4 ：外貌因素； P5 ：生活可支配费； P6 ：自身性格； P7 ：恋人相处； P8 ：发展
愿望；
P9 ：爱恋程度； P10 ：非学校内人员； P11 ：班级寝室同学； P12 ：校内教师；P13：
对毕业后的目标；P14：专业发展；P15：未来的期望；P16：人生价值；根据上面的分层， 建立如图 2 的层次结构模型：
图 2 影响学生幸福指数权重的递阶层次结构图
评价总指标 Bi 级评价指
标
Pi 级评价指标
得票率（%） Max 重要性 与重要性排序 (Pi) 排序
主 观
1、家庭因素
1、和家人的关系 2、家人对自己的影响
2 1
3
幸 福
3、健康状况
2、个人因素
4、外貌因素 5、生活可支配费
3 2
1 3
感
6、自身性格
1
指
7.、恋人相处
1
数
3、恋爱状况 8、发展愿望
3
2
9、爱恋程度
2
A
16

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10、非学校内人员
1
4、人际交往 11、班级寝室同学
2
5
12、校内老师
3
13、对毕业后的目标
2
5、自我实现 14、专业发展
价值
15、对未来的期望
1 4
2
16、人生价值
3
（2）构造比较判断矩阵
设以 A 为比较准则，B 层次各因素的两两比较判断矩阵为 A—B；类似地，以每一
个 Bi 为比较矩阵，P 层次各因素的两两比较判断矩阵为 Bi — P 。可得到 4 个比较判断
矩阵。
对于总目标 A，有
对目标层 A 的比较判断矩阵
A-B
B1
B2
B3
B4
B5
B1
1
1/5
2
7
2
B2
5
1
3
8
7
B3
1/2
1/3
1
5
3
B4
1/7
1/8
1/5
1
1
B5
1/3
1/7
1/3
1
1
对准则层 B1 的比较判断矩阵表
B1-P
P1
P1
1
P2
3
对准则层 B2 的比较判断矩阵表
B2-P
P3
P4
P3
1
1/3
P4
3
1
P5
1
1/3
P6
5
3
对准则层 B3 的比较判断矩阵表
P2
1/3
1
P5
P6
1
1/5
3
1/3
1
1/5
5
1
17

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B3-P
P7
P8
P7
1
5
P8
1/5
1
P9
1/3
3
P9
3 1/3 1
对准则层 B4 的比较判断矩阵表
B4-P
P10
P11
P12
P10
1
3
5
P11
1/3
1
3
P12
1/5
1/3
1
对准则层 B5 的比较判断矩阵表
B5-P
P13
P13
1
P14
3
P15
1
P16
1/3
P14
1/3 1 1/3 1/5
P15
1 3 1 1/3
P16
3 5 3 1
（3）一致性检验 对于上述个比较判断矩阵，用 MATLAB 数学软件求出其最大的特征值及其对应的 特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权向量， 以及一致性指标 CI 和一致性比率 CR，由 MATLAB 求出其最大的特征值及其对应的特征 向量，求出 RI,CI，
矩阵
层次单排序的权重向量
max CI
A B (0.2101 0.5324 0.1573 0.0434 0.0568)T
B1 P
（ ）T
2
0
B2 P (0.0955 0.2493 0.0955 0.5597)T
B P (0.6370 0.2583 0.1047)T
B4 P (0.6400 0.2583 0.1017)T
B5 P (0.0246 0.6366 0.2436 0.0952)T
RI CR 00
18

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（4）层次总排序 第二层相对于总目标 A 的排序向量为 W（2）（0.2101 0.5324 0.1573 0.0434 0.0568）T
（5)结论 基于以上的分析可知，在影响学生幸福指数的众因素中，个人因素（），家庭因 素（）是最主要的两个要素;
(七) 老师幸福感的求解 1) 一级测量指标 本文附录中的调查问卷中包括了多个测量指标，通过查阅幸福心理学资料，反复 论证后，本文最终选择了 5 个一级测量指标来评价和分析老师幸福感指数，分别
为：身心健康 B1 ，家庭生活 B2 ，工作情况 B3 ，人际关系 B4 ，社会局势 B5 .
2) 二级测量指标 针对一级测量指标的选定，又选择了 17 个二级测量指标： 表1
C层
二级指标
C1
身体健康
C2
心理健康
C3
业余生活
C4
休闲时间
C5
家庭和睦
C6
住房条件
C7
生活环境良好
C8
收入丰厚
C9
工作环境良好
C10
个人价值实现
C
个人发展前景良好
11
C12
与朋友关系融洽
C13
与同事关系融洽
19

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C14
与邻居关系融洽
C15
社会经济环境
C16
社会治安
C17
所在城市环境
3) 多层次模型的建立
依据层次分析法，我们将评价总目标 A=主观幸福感指数的评价与分析，分解成 5
个层次（见图 1）， A B1, B2, B3, B4, B5。
评价总目标 A 层 主观幸福感指数的评价与分析
身心健康
B1
家庭生活
B2
工作情况
B3
人际关系
B4
社会局势
B5
健 健 丰 充 与 住 良 丰 良 自 良 与 与 与 社 社所
康 康 富 足 家 房 好 厚 好 我 好 朋 同 邻 会 会在
的 身 体
的 心 理
的 业 余 生
的 休 闲 时
人 的 关 系
条 件 很 好
的 生 活 环
的 收 入
的 工 作 环
价 值 的 实
的 个 人 发
友 的 关 系
事 的 关 系
居 的 关 系
经 济 环 境
治 安 良 好
城 市 环
活间融
境
境现展融融融良
境
洽
前洽洽洽好
4) 权重向量的确定
景
权重向量的确定，利用了附录调查问卷中关于各幸福因子在评价项目中的重要性
排序，依据层次分析法常用的 1-9 尺度，建立主观幸福感指数 A ，身心健康 B1 ，
家庭生活 B2 ，工作情况 B3 ，人际关系 B4 ，社会局势 B5 的成对比较矩阵。
首先 A 的成对比较矩阵： 由于此调查问卷中对重要性排序的调查不够科学和严密，现在为了计算的简便，
取一级指标 Bi 下的二级指标 Ci 中重要性最高（即票数最多）的代表其重要性。 调查问卷中数据见表 3.
表2
C17
C16 C15 C14 C13 C12 C11
C10 C9 C8 C7 C6
C5 C4 C3 C2 C1
20