高中数学 3.2立体几何中的向量方法(1)导学案 人教A版选修2-1

3.2立体几何中的向量方法（1）

【学习目标】

1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;

2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．

【重点难点】

直线的方向向量及平面的法向量

【学习过程】

一、自主预习（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）

复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？

复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？

复习3：设a ＝，b ＝，

a ·

b ＝

二、合作探究 归纳展示

探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面

问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

三、讨论交流 点拨提升

新知：

⑴ 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.

⑵ 直线：

① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

② 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.

123(,,)a a a 123(,,)b b b O P OP OP P l P t AP t AB

⑶ 平面：

① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.

② 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那 么向量叫做平面的法向量.

试试： .

1.如果都是平面的法向量，则的关系 .

2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .

反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？

2. 平面的法向量可以是零向量吗？

⑸ 向量表示平行、垂直关系：

设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则

① ∥∥

② ∥

③ ∥∥

四、学能展示 课堂闯关

例1 已知两点,求直线AB 与坐标平面的交点.

变式：已知三点,点在上运动（O 为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.

αααP ,a b α(,)x y OP xa yb =+αn αn αn αn α,a b α,a b n αa αn a ,l m ,a b ,αβ,u v l m ?a b a kb ?=l α?a u ⊥0a u ??=αβ?u v .u kv ?=()()1,2,3,2,1,3A B --YOZ ()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P Q OP QA QB ?Q

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.

例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

※ 动手试试

练1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：

⑴ ；

⑵ .

练2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：

⑴ ；

⑵ .

五、学后反思

※ 学习小结

1. 空间点，直线和平面的向量表示方法

2. 平面的法向量求法和性质.

※ 知识拓展：

求平面的法向量步骤：

⑴设平面的法向量为；

,a b 12,l l 12,l l ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-()()0,0,1,0,0,3a b ==,u v ,αβ,αβ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--()()2,3,5,3,1,4u v =-=--(,,)n x y z =

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；

⑶根据法向量的定义建立关于的方程组；

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

【课后作业】：

1. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量. 2．已知，求平面的一个法向量.

,,

x y z

1111

ABCD A B C D

-

1

DB

1

ACD

()()

2,2,1,4,5,3

AB AC

==ABC