《勾股定理》章末重难点题型汇编
《勾股定理》章末重难点题型汇编
【考点1 利用勾股定理求面积】
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系. 【例1】在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ?的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )
A ．5
B ．25
C ．7
D ．10
【分析】根据勾股定理得到225AD AE DE +=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =，
225AD AE DE ∴=+=， 四边形ABCD 是正方形，
∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，
故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )
A ．24
B ．56
C ．121
D ．100
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++
100=；
即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式1-2】如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=， 2222111
()()()222228
AC BC AC BC ππππ?+?=?+=， 解得，2216AC BC +=， 则22216AB AC BC =+=， 解得，4AB =， 故选：C ．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．
【变式1-3】如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于
( )
A ．25
B ．31
C ．32
D ．40
【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题． 【答案】解：如图，由题意得：
21213AB S S =+=，
23418AC S S =+=， 22231BC AB AC ∴=+=， 231S BC ∴==．
故选：B ．
【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点． 【考点2 判断直角三角形】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 【例2】在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( ) A ．4a =，5b =，6c = B ．::5:12:13a b c =
C ．2a 3b =5c =
D ．4a =，5b =，3c =
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【答案】解：A 、222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选
项不符合题意； C 、(
22)(
+23)(
=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A ．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【变式2-1】a 、b 、c 为ABC ?三边，不是直角三角形的是( )
A ．::3:4:5A
B
C ∠∠∠= B ．54a =
，1b =，34
c = C ．222a c b =-
D ．8a k =，17b k =，15c k =
【分析】利用勾股定理的逆定理判断B 、C 、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断A 选项．
【答案】解：A 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=， 180A B C ∠+∠+∠=?，即345180x x x ++=?，解得，15x =?， 55157590x ∴=??=?
B 、2226810+=，222a b c ∴+=，故本选项正确；
C 、222a b c =-，222a c b ∴+=，故本选项正确；
D 、22281517k k k +=，222a b c ∴+=，故本选项正确．
故选：A ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． 【变式2-2】下列说法中，正确的有( )
①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ?是直角三角形； ②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ?是直角三角形；
③ABC ?为直角三角形；
④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ?是直角三角形； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度； ②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90?的角；
③，，则有2271017x +=； ④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个． 故选：C ．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90?来判定． 【变式2-3】如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、
F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )
A ．点A 、点
B 、点C
B ．点A 、点D 、点G
C ．点B 、点E 、点F
D ．点B 、点G 、点E
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【答案】解：A 、213637AB =+=，2162541AC =+=，21910BC =+=，371041+≠，不可以构成直角三角形；
B 、2161632AD =+=，293645AG =+=，2145DG =+=，32545+≠，不可以构成直
角三角形；
C 、2361652BE =+=，2252550BF =+=，2112EF =+=，50252+=，可以构成直角
三角形
D 、225934BG =+=，2361652B
E =+=，29110GE =+=，341052+≠，不可以构成直
角三角形． 故选：C ．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【考点3 利用勾股定理求最短路径】
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.
【例3】如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且3
5
PC BC =，则最短路线长为( )
A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm
【分析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．
【答案】解：
如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，
则90
C
∠=?，
1
105
2
AC cm cm
=?=，
20
BC cm
=，
3
5
PC BC
=，
12
CP cm
∴=，
由勾股定理得：2222
51213()
AP AC CP cm
=+=+=，
即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．
【变式3-1】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +?，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ， 由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++?=， 解得17x =． 故选：B ．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
【变式3-2】如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )
A ．12cm
B ．11cm
C ．10cm
D ．9cm
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '， 则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=， 根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故选：C ．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平
面”，用勾股定理解决．
【变式3-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )
A ．73厘米
B ．10厘米
C ．82厘米
D ．8厘米
【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．
【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，
2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''+÷+-+=，
最短路程为10PA cm '=． 故选：B ．
【点睛】此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【考点4 勾股数相关问题】 【方法点拨】勾股数的求法：
（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a 2=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；
（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数. 【例4】（2018秋?新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5）
【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案． 【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数
∴勾股数有2组，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形．
【变式4-1】勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数） 【分析】根据勾股定理解答即可． 【答案】解：2221c n n =++，21a n =+ 222b n n ∴=+，
故答案为：222n n +
【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键． 【变式4-2】观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26?? 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(1)n +，第二个是：(2)n n +，第三个数是：2(1)1n ++．根据这个规律即可解答．
【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．
所以第⑦组勾股数：16，63，65． 故答案为：16，63，65．
【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的
关键．
【变式4-3】探索勾股数的规律：
观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)?可发现，231
42
-=，
251122-=，271
242
-=?请写出第5个数组： ． 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【答案】解：①3211=?+，242121=?+?，2521211=?+?+； ②5221=?+，2122222=?+?，21322221=?+?+； ③7231=?+，2242323=?+?，22523231=?+?+； ④9241=?+，2402424=?+?，24124241=?+?+； ⑤11251=?+，2602525=?+?，26125251=?+?+， 故答案为：11，60，61．
【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
【考点5 利用勾股定理求长度】
【例5】如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．
【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD 的长． 【答案】解：90ACB ∠=?，3AC cm =，4BC cm =， 5AB cm ∴=．
根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC
CD cm AB
=
=． 在Rt ACD ?中，22 1.8AD AC CD cm -．
【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
【变式5-1】在等腰ABC ?中，已知AB AC =，BD AC ⊥于D ． （1）若48A ∠=?，求CBD ∠的度数；
（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得CBD ∠的度数；
（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长． 【答案】解：（1）在等腰ABC ?中，AB AC =，BD AC ⊥， ABC C ∴∠=∠，90ADB ∠=?， 48A ∠=?，
66ABC C ∴∠=∠=?，42ABD ∠=?， 24CBD ∴∠=?；
（2）BD AC ⊥，
90BDC ∴∠=?， 15BC =，12BD =， 9CD ∴=，
设AB x =，则9AD x =-， 90ADB ∠=?，12BD =，
22212(9)x x ∴+-=， 解得，225
18
x =， 即225
18
AB =
． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式5-2】如图，在ABD ?中，90D ∠=?，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．
【分析】先设CD x =，则9BD BC CD x =+=+，再运用勾股定理分别在ACD ?与ABD ?中表示出2AD ，列出方程，求解即可．
【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+． 在ACD ?中，90D ∠=?， 222AD AC CD ∴=-，
在ABD ?中，90D ∠=?，
222AD AB BD ∴=-，
2222AC CD AB BD ∴-=-，
即22221017(9)x x -=-+， 解得6x =，
22210664AD ∴=-=， 8AD ∴=．
故AD 的长为8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键． 【变式5-3】如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，16AB cm =，
正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ⊥于点D ，求BD 的长．
【分析】根据正方形的面积公式求得12BC cm =．然后利用勾股定理求得20AC cm =；则利用面积法来求BD 的长度．
【答案】解：正方形BCEF 的面积为2144cm ， 14412BC cm ∴=，
90ABC ∠=?，16AB cm =，
∴2220AC AB AC cm =+=．
BD AC ⊥，
∴11
22
ABC S AB BC BD AC ?==， ∴48
5
BD cm =
． 【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式． 【考点6 利用勾股定理作图】
【例6】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形； （2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为5的线段； （3）请你在图3中画一个以格点为顶点，5为直角边的直角三角形．
【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可； （2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可； （3）先画出边长为5的线段，再画出直角三角形即可． 【答案】解：（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式6-1】在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，
请在图中以格点为顶点，画出一个周长为25210
+的ABC
?，并求它的面积．
【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．
【答案】解：ABC
?是一个周长为25210
+三角形，
ABC
?的面积
111 342413135
222
=?-??-??-??=．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
【分析】（1）根据正方形的面积为101010可；
（2）①22210
②5510
【答案】解：（1）如图①所示： （2）如图②③所示．
【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．
【变式6-3】如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个三边长分别为3，22，5的三角形，
一共可画这样的三角形 个．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可； （2）由勾股定理容易得出结果． 【答案】解：（1）22345+=，
ABC ∴?即为所求，
如图1所示： （2）如图2所示：
222222+=22125+ ABC ∴?，DBC ?，?，
都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个； 故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键． 【考点7 勾股定理的证明】
【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.
【例7】下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．
【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案． 【答案】解：选择的是图2，
证明：2S c =大正方形，21
44()2S S S ab b a =+=?+-大正方形小正方形，
221
4()2
c ab b a ∴=?+-，
整理，得22222ab b ab a c +-+=， 222c a b ∴=+．
故答案为：2，
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．
【变式7-1】我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定
理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上． （1）求证：90ABE ∠=?；
（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．
【分析】（1）由全等三角形Rt ACB Rt BDE ???的判定于性质解答；
（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理． 【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE ???， CAB DBE ∴∠=∠． 90CAB ABC ∠+∠=?， 90ABC DBE ∴∠+∠=?，
1809090o o ABE ∴∠=?-=．
（2）由（1）知ABE ?是一个等腰直角三角形， 21
2
ABE S c ?∴=．
又21()2ACDE S a b =+梯形，21
2
ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c ???=++=+梯形，
∴
2211
()22
a b ab c +=+，即222a b c +=． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底?高2÷，和梯形的面积公式：（上底+下底）?高2÷证明勾股定理．
【变式7-2】如图，将Rt ABC ?绕其锐角顶点A 旋转90?得到Rt ADE ?，连接BE ，延长DE 、
BC 相交于点F ，则有90BFE ∠=?，且四边形ACFD 是一个正方形．
（1）判断ABE ?的形状，并证明你的结论； （2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积； （3）求证：222a b c +=．
【分析】（1）利用旋转的性质得出90BAE BAC CAE CAE DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?，AB AE =，即可得出ABE ?的形状；
（2）利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案； （3）利用四边形ABFE 面积等于Rt BAE ?和Rt BFE ?的面积之和进而证明即可． 【答案】（1）ABE ?是等腰直角三角形，
证明：Rt ABC ?绕其锐角顶点A 旋转90?得到在Rt ADE ?， BAC DAE ∴∠=∠，
90BAE BAC CAE CAE DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=?，
又AB AE =，
ABE ∴?是等腰直角三角形；
（2）四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，
∴四边形ABFE 的面积等于：2b ．
（3）BAE BFE ACFD S S S ??=+正方形 即：11
22()()22
b c b a b a =++-，
整理：222()()b c b a b a =++- 222a b c ∴+=．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出BAE BFE ACFD S S S ??=+正方形是解题关键．
【变式7-3】ADE ?和ACB ?是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB ∠=?，求证：222a b c +=．
【分析】连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据ACD ABC ADB DCB
ADCB S S S S S ????=+=+四边形即可求解．
【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-． 211
22ACD ABC ADCB S S S b ab ??=+=+四边形．
又()211
22
ADB DCB ADCB S S S c a b a ??=+=+-四边形
∴
221111
()2222
b ab
c a b a +=+- 222a b c ∴+=
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 【例8】如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=?．
（1）连结AC ，求AC 的长； （2）求ADC ∠的度数； （3）求出四边形ABCD 的面积
【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据三角形的面积公式解答即可．
【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，
七年级下重难点题型汇总(精华版)
七年下重难点题型汇总（精华版） 1.已知二元一次方程x+y=1，下列说法不正确的是（）． A．它有无数多组解 B．它只有一组非负整数解 C．它有无数多组整数解 D．它没有正整数解 2. 3.下列命题中， ①长为5cm的线段AB沿某一方向平移10cm后，平移后线段AB的长为10cm ②三角形的高在三角形内部；③六边形的内角和是外角和的两倍； ④平行于同一直线的两条直线平行；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等。真命题个数有（） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 5.
6. 7.小明与爸爸的年龄和是52岁,爸爸对小明说:“当我的年龄是你现在的年龄的时候,你还要16年才出生呢.”如果设现在小明的年龄是x岁,爸爸的年龄是y岁,那么下面方程组正确的是( ) 8.已知一个三角形中两条边的长分别为a,b,且a＞b,那么这个三角形的周长l的取值范围是（） A.3a＞l＞3b． B.2(a+b)＞l＞2a． C.2a+b＞l＞2b+a． D.3a-b＞l＞a+2b． 9.如图所示，已知 A 地在 B 地的左边， AB 是一条长为 400 公里的直线道路，在距 A 地 12 公里处有一个广告牌，之后每往右 27 公里就有一个广告牌．若某车从此道路上距离 A 地 19 公里处出发，向右直行 320 公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离 A 地的公里数是（）． A 309 B 316 C 336 D 339 10.已知△ABC的三边a,b,c的长度都是整数，且a≤b＜c,如果b=5,则这样的三角形共有( ) A．8个B．9个 C．10个D．11个 11.已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 12.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、
勾股定理常见题型
专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S， 则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理练习题及答案
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
(完整版)专题：二次根式重难点综合题型
专题：二次根式重难点综合题型 题型一：二次根式的性质 1．写出下列各式有意义时x 的取值范围. (1)12--x ; (2) ． 2．已知：,x y 为实数，且311+-+- ※课后练习 1．若53+的小数部分是a ，5-3的小数部分是b ，求a +b 的 值。 2．已知411+=-+-y x x ，则xy 的平方根为______． 3．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x 3y ＋xy 3的值． 6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 .09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长． 7 ．已知：11a a +=221 a a +的值。 8．化简： 9．已知：x,y,z 满足关系式： y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20122012223，试求x ，y ， z 的值。 10．求值： 2004 20031431321211++ ++++++Λ x x x x x 1399413+-a a b b a a a 2129122+-+) 23(623 24b a a b b a ab b -?-÷2 310253b a b a ÷- ? 勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容： 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： ３.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?， 则 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6 "不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐 3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 二年级数学重、难点题型汇总及答案 1、二年级一班的小朋友排成一排，从左往右数，小明站在第10个，从右往左数，小明站在第11个，问这个班共有多少个小朋友？ 2、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 3、小刚在超市买了两件衣服，两条裤子。请帮小刚算一算，有( )种不同的穿法。 4、 下图长方形A的周长是30厘米，正方形B的周长是16厘米，那么由A和B拼成的图形的周长是多少厘米？ 5、往一只篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，4分钟后篮子就满了，请问在什么时候是半篮子鸡蛋? 6、将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出。 7、冬冬到文化用品商店买铅笔和本子，全部的钱可以买6支铅笔和11本本子，或者8支铅笔和7本本子，如果全部买本子，可以买多少本？ 8、一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。原来梨筐里有多少个梨？ 9、二（1）班学生练团体操，李教师让他们平均排成8行，每行5人，还余下学生不能参加，你知道二（1）班的学生数最多是多少人？最少是多少人？ 10、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10 倍，又知一张桌子比一把椅子多288 元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 参考答案 1、方法一： 小明左边有个小朋友，小明右边有个小朋友，所以共有 9+1+10=20个小朋友。 方法二： 小明从左往右数了一次，从右往左也被数了一次，所以被数了两次，要减去一次，所以有个小朋友。 【小结】排队问题中注意不要算重复了。 2、妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁， 那么爸爸的年龄也是孩子的4倍， 把孩子的年龄作为1倍数， 已知三口人年龄和是72岁， 那么孩子的年龄为72÷（1+4+4）=8（岁）， 妈妈的年龄是8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁。 3、有4种不同的穿法。 【解析】选择衣服的情况有2种，选择裤子的可能性有2种。选择一件衣服，一条裤子的可能性有2×2=4(种) 4、正方形的边长是：16÷4=4(厘米)， 由A和B拼成的图形的周长是：30+16-4×2=38(厘米)。 《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？ 解： （1）边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形，如右 图：AC =4，BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×2 1×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 （2）如图（图见题干中图） S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2 1×4×7=121－56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 解： ①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形， （2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形. ②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面 小学数学基础知识及重难点题型集锦 数学可谓就是陪伴我们一起成长的了,无论在小学、初中、高中,甚至就是上了大学,数学都会一直在我们身边。小学数学难点不多,但就是却就是为将来打基础的关键所在。 今天小编为大家梳理了小学数学的基础知识与重难点题型讲解,希望能对您的孩子有所帮助哦。 行程问题 关于走路、行车等问题,一般都就是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度与、速度差等概念,了解她们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律: 同时同地相背而行:路程=速度与×时间。 同时相向而行:相遇时间=速度与×时间 同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程=速度差×时间。 例题: 甲在乙的后面28 千米,两人同时同向而行,甲每小时行16 千米,乙每小时行9 千米,甲几小时追上乙？ 分析:甲每小时比乙多行(16-9)千米,也就就是甲每小时可以追近乙(16-9)千米,这就是速度差。 已知甲在乙的后面28 千米(追击路程),28 千米里包着几个(16-9)千米,也就就是追击所需要的时间。列式 2 8÷(16-9=4(小时) 流水问题 一般就是研究船在“流水”中航行的问题。它就是行程问题中比较特殊的一种类型,它也就是一种与差问题。它的特点主要就是考虑水速在逆行与顺行中的不同作用。 相关概念: 船速:船在静水中航行的速度。 水速:水流动的速度。 顺水速度:船顺流航行的速度。 逆水速度:船逆流航行的速度。 顺速=船速＋水速 逆速=船速－水速 解题关键: 因为顺流速度就是船速与水速的与,逆流速度就是船速与水速的差,所以流水问题当作与差问题解答。解题时要以水流为线索。 解题规律: 船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2 勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1 5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1） 勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 专题 01 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】 变式 1-1】（ 2018秋?绍兴期末）如图，△ ABC ≌△EDC ，BC ⊥CD ，点 A ，D ，E 在同一条直线上，∠ ACB ＝ 20°，则∠ ADC 的度数是（ ） A ．55° B ．60° C ． 65° D ． 70° 变式 1-2】（2018秋?厦门期末）如图，点 F ，C 在 BE 上，△ ABC ≌△ DEF ，AB 和 DE ，AC 和 DF 是对 应边， AC ，DF 交于点 M ，则∠ AMF 等于（ ） A ．2∠ B B ．2∠ACB C ．∠ A+∠ D D ．∠ B+∠ ACB 变式 1-3】（ 2018秋?桐梓县校级期中）如图，△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ，∠ ACB ＝ 90°，∠ B ＝ 50°，点 B ′ 在线段 AB 上， AC ， A ′ B ′交于点 O ，则∠ COA ′的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ． 70° D ． 80 ° 考点 1 利用全等三角形的性质求角】 例 1】（2019 春?临安区期中） 如图， △ACB ≌△A ′CB ′，∠ACB ＝70°，∠ACB ′＝100°，则∠ BCA 的度数为（ ） 40° 变式 2-1 】（2019 秋?潘集区期中）在△ ABC 与△ DEF 中，给出下列四组条件： 变式 2-2】（ 2018春?渝中区校级期中）如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，∠ A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，再 添一个条件仍不能证明△ ABC ≌△ DEF 的是（ ） A ．A B ＝DE B ．B C ＝EF C ．∠ ACB ＝∠ DFE D ． AC ＝ DF 变式 2-3】（2018 秋?鄂尔多斯期中）如图，已知 AB ＝AC ，AD ＝AE ，若要得到“△ ABD ≌△ ACE ”，必 须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ） A ．BD ＝CE B ．∠ ABD ＝∠ ACE C ．∠ BA D ＝∠ CA E D ．∠ BAC ＝∠ DAE 考点 3 全等三角形判定的应用】 例 3】（2019春?郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点 A 、B 的距离，因无法直接量出 A 、B 两点的距离，请你设计一种方案，求出 A 、B 的距离，并说明理由． 变式 3-1】（2019春?峄城区期末）如图，点 C 、 E 分别在直线 AB 、DF 上，小华想知道∠ ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先 添加一个 （1）AB ＝DE ，AC ＝DF ， BC ＝EF （3）∠ B ＝∠ E ， BC ＝ EF ，∠ C ＝∠F 其中能使△ ABC ≌△ DEF 的 条件共有（ A ．1 组 B ．2 组 （2）AB ＝DE ，∠ B ＝∠ E ， BC ＝ EF （4）AB ＝ DE ，∠ B ＝∠E ，AC ＝DF ， ） 考点 2 全等三角形的判定条 C ．∠ C ＝∠ D ．∠ B ＝∠ B ．B C ＝E D A ． AB ＝ 《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果 直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形：a 2 = c 2 - b 2， b 2= c 2-a 2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2 ，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+ 中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a 2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13) (6，8，10) (7，24，25) (8，15，17 )(9，40，41 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 3、如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 S 3 S 2 S 1 勾股定理 一．勾股定理证明与拓展 模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？ 例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______. 变式2：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=3，S 3=9，求S 2. （变式2） （变式3） 变式3：如图，Rt △ABC 的面积为10cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． （难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC ＋BC ＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积 模型二 外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________; （一）【2019 ? 江西赣州】 I will never forget May 15, 2011. That night, my car crashed 1 a tree and everything has changed ever since. I lost most of my right 2 , and I was left bleeding with several broken bones. At the hospital, my body was 3 , but my mind was still very clear. I just kept 4 myself to hold on. Life must go on since I was still 5 . Two weeks later, I was allowed to go home. 6 I left the hospital, the fight was far from over. My left leg was badly hurt in that accident as well, as a result, I had to receive different 7 during the next few years. And soon, more of my right leg had to be cut off. This made it harder to wear my artificial leg(假肢) , so I donated it to another girl who couldn’t 8 one. The joy of being able to provide this gift for someone else was 9 than the happiness I felt on any day I could wear it myself. People often tell me they are 10 of me for staying strong. But in my mind, being strong has always been my only 11 . On the day I left the hospital, I made a promise to 12 to make good use of every day to live life to the fullest. I am not only confident but I hope to help those around me. In 2017, I 13 started modeling. My dream is that one day a little girl will see me in a magazine and say, "Wow, she only has one leg but she is beautiful 14 confidence and bravery" My dream is simple: to 15 every man, woman and child to know and believe that they are. 1. A. toward B. over C. upon D. into 2. A. arm B. ear C. eye D. leg 3. A. calm B. strong C. weak D. ill 1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①勾股定理经典例题(教师版)
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