高二数学试题(文数)
高二上学期数学试题
数学（文科）
一．选择题（每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案填在答题卡上）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．直线的倾斜角α=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．在等差数列{a n}中，a20l5=a2013+6，则公差d等于（）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量∥，则x=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
5．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）
A．B．C．D．
6．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S6
7．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．
其中正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
8．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）
A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣
C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1
10．函数f（x）=a x-1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）
A．4 B．5 C．6 D．
11．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的
值是（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
12．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）
A．一定为等差数列B．一定为等比数列
C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列二．填空题（共4小题，每小题5分，请将正确答案填在答题卡上）
13．不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为．
14．已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为．
15．已知变量x，y满足，则的取值范围是．
16．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．三．解答题（共6小题，共70分,解答过程必须写出正确计算、推理过程）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，
P ；
（1）若命题p的解集为P、命题q的解集为Q，当a=1时，求Q
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．
19．（12分）等差数列{a n}中，a2=8，S6=66
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）设b n=，T n=b1+b2+b3+…+b n，求T n
20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1=S n+3n（n∈N*）．
（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．
21．（12分）已知向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0），令f（x）=，且f（x）的周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若时f（x）+ m≤3，求实数m的取值范围．
22．（14分）已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．
数学(文科)参考答案
一．选择题（每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案填在答题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
B
A
D
D
C
A
D
D
D
C
二．填空题（共4小题，每小题5分，请将正确答案填在答题卡上）
[]
3
1625,4515
2
314
3,213
??
????-
三．解答题（共6小题，共70分, 解答过程必须写出正确计算、推理过程）
17．(10分)解：解：（1）若a=1，由x 2﹣4x+3＜0得：1＜x ＜3，)3,1(=∴P -----------------------2
分 由
得：2＜x≤3；
(]3,2=∴Q -----------------------------------------------------------------------4分
∴ =?Q P （2，3）
---------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）￢q 为：实数x 满足x≤2，或x ＞3；
￢p 为：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2≥0，并解x 2﹣4ax+3a 2≥0得x≤a ，或x≥3a --------------------------7分
￢p 是￢q 的充分不必要条件，所以a 应满足：a≤2，且3a ＞3，解得1＜a≤2--------------------------9分
∴a 的取值范围为：（1，
2]------------------------------------------------------------------------------------------10分
18．（10分）解：（1）∵asin2B=
bsinA ，
∴2sinAsinBcosB=sinBsinA ，
-------------------------------------------------------------------------------------2分 ∴cosB=，
∴B=
．----------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）∵cosA=，∴sinA=
-------------------------------------------------------------------------------------7分
∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB==
．-----------------------------10分
．
19．（12分）解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则有
----------------------2
分
解得：a 1=6，d=2，
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ∴a n =a 1+d （n ﹣1）=6+2（n ﹣1）=2n+4 -----------------------------------------------------6分 （2）b n =
=
=
﹣
--------------------------------------------------9分
12311111
1112334122224
n n n T b b b b n n n n ??????∴=+++
+=-+-+
+-=-= ? ? ?
++++??????--12分
20．（12分）证明：（1）∵a n+1=S n +3n （n ∈N *），
∴S n+1=2S n +3n --------------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴S n+1﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）
---------------------------------------------------------------------------------------------3分 ∵a 1≠3，
∴数列{S n ﹣3n }是公比为2，首项为a 1﹣3的等比数列；----------------------------------------------------5分
（2）由（1）得S n ﹣3n =（a 1﹣3）×2n ﹣
1，
∴S n =（a 1﹣3）×2n ﹣
1+3n ，
------------------------------------------------------------------------------------------6分
n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（a 1﹣3）×2n ﹣
2+2×3n ﹣
1，------------------------------------------------------------8分
∵{a n }为递增数列，
∴n≥2时，（a 1﹣3）×2n ﹣
1+2×3n ＞（a 1﹣3）×2n ﹣
2+2×3n ﹣
1，---------------------------------9分
∴n≥2时，，
∴a 1＞﹣9，
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分 ∵a 2=a 1+3＞a 1，
∴a 1的取值范围是a 1＞﹣
9．---------------------------------------------------------------------------------------12分
21．（12分）解：（1）∵向量=（
，cos2ωx ），=（sin2ωx ，1），（ω＞0）
∴=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
----------------------------------------------------------3分
∵函数的周期T==π，
∴ω=1----------------------------------------------------------------------------------5分
即函数f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）；-----------------------------------------------6分（2）当时，2x+∈[，]-----------------------------------------8分
∴﹣≤sin（2ωx+）
≤1-----------------------------------------------------------------------------------------9分
因此，若时，f（x）∈[﹣1，2]
∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1----------------------------------------------------------11分
即实数m的取值范围是（﹣∞，
1]．----------------------------------------------------------------------------12分
22．（14分）解：（1）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，
又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，
所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b=0的两根，
由，解得a=1，b=﹣12；
----------------------------------------------------------------3分
（2）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，
由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，
令g（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；
①，即得a≤﹣6；------------------------------------------------------4分
②，即；---------------------------------------------5分
有，解得a∈ ；
------------------------------------------------------------6分
③，即，解得a≥20；--------------------------------------------7分综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20．---------------------------------------8分
（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）=x2+（3﹣a）x+2a﹣10，
则h（x）=（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）=0，--------------------------------------10分
故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1；-----------------------11分
①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11；----------------- 12分
②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4；------------ 13分
综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．-------------------------- 14分