第一讲：求直线和圆的方程方法总结

第一讲 求直线和圆的方程方法总结

※求直线方程的若干方法：

直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:

1、直线的方程、方程的直线概念；

2、直线方程形式

（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：1

21

121x x x x y y y y --=

--，它不包括垂直于坐标轴的直线；

（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：

1=+b

y

a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；

直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点.

如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导:

1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；

（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；

（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；

（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.

（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：

λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.

2、具体方法有：

⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法

例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为

4

5

，求直线l 的方程.

解： 4sin 5α=

，3

cos 5

α=± ，∴直线的斜率43k =±

故所求直线的方程为4

33

y x =±

+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）

例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ?取到最小值时，求直线l 的方程.

解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y

令y ＝0解得k

x 1

2-

=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），

∴||||PB PA ?＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822

=?+≥++=k

k

当且仅当12

=k 即1±=k 时，||||PB PA ?取到最小值.又根据题意0

方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21

(,0)k A k

-，

B （0，1-2k ）.∴||||PA PB ?=442)2(2)1(22

2

22222==≥+=k

k k k k k 当且仅当12

=k 即1k =±时，||PA PB ?

取最小值4.

又0k > ∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0. 方法3：设直线l 方程为

1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2

-=a a b

∴||||PA PB ?= 8)2(4)2(428)2(4)2(42

222+--≥+-+

-=a a a a 488=+=（以下略）.

评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1

的情形.

引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使?A O B 的面积最小时的直线l 的方程.

解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21

100a b

a b +=>>()，

即b a

a =

-2

，由b >0，得a >2， 所以S a b a a a A O B

?==?-12122221442(2)22

a a a a -+==?--1

4(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++

-14]42≥= 当且仅当a a -=

-24

2

，即a b ==42，时，S AOB ?取得最小值为4 此时所求直线方程为

x y

42

1+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.

引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：

直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程. 例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ

即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λ

λ--=+，解得λ=-1419

将λ=-

14

19

代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:

利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.

例4、 求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330

-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，

，则 ???????-=?--=++-+?13032230

000x x y

y y y x x ，解得???????++=-+-=5354535

9535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上 所以x y 00

20--=，()()-+--++-=45359535453

5

20x y x y ，即7220x y ++=

5、参数法

例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程． 解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{

{

()1

1

()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，

由（I ）解得A x =

7

31

k -，由（II ）解得B x =72k +， 点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=

即：7

31k -+72

k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.

解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822

t u t t u -+=??=?+-=? , ∴A （-4，2） 由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：10

2140

y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得

A 关于M （0，1）的对称点

B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，

∴2(103)(2)802t t t -+--=?=， 以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：

()()2

2

253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2

l

交于A ，B 两点，由

题意：2

287

253A B k x x k k

++=-

--=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，

思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：

例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.

∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32

.

∴所求直线方程为y －b 1=－

3

2

（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.

解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=， 根据以上两式的结构特点易知：

点

与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0

故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23

练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.

解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=

根据以上两式的结构特点易知：点

与Ba b ()22，的坐标都适合方程x

y +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23

巩固练习：

1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.

解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()

622--， 由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A (

)11316

3

， 由两点式得所求直线方程为0248=--y x .

2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，

求该直线方程.

解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --) 王新敞

因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以??

?=-+-=++06530

640000y x y x ②

①

①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .

3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.

解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为a

y a x +＝1 将点P （2，3）代入得a

a 3

2+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为

5

5y

x +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.

答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.

(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.

5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.

解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，

2

1），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =

13

6)

12(52

1122

2

-=

-++?

-c c ，由题意得

13

6-c =2.所以c =32或c =-20.

所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法 一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：

⑴圆的标准方程：()()2

2

2

x a y b r -+-=.

⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：

{

cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数）

，其中圆心为(,)a b ，半径为r . 圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤

cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤.

⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=

2方法总结：

求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定. 例1、圆C 与圆2

2(1)

1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________

（答：2

2

(1)1x y ++=）；

例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(2

2

=-+-y x 或1)1()1(2

2

=++-y x ）；

例3（以下各题参考数学精编p 63）

求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.

例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.

例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.

例6、半径为1的圆分别与y

轴正半轴和射线()0y x x =≥相切，求圆的方程.

例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到

直线l：x-2y=0.