集合知识点总结材料及习题
集合
123412n x A x B A B A B A n A ∈???
?????
∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n
A A A
B
C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ???????????
???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????
??
??
????
??????????
????????
???????????????????????
?????????????????????=???????
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示
元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示
（2）若a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;
若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a?A;
4.集合的表示方法：列举法与描述法。
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
的方法
格式：{ a,b,c,d }
适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示
（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：{x |x满足的条件}
例如：{x R| x-3>2} 或{x| x-3>2}
适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}
正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}
整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}
有理数集Q
实数集R
有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示
例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
A?（或B?A）
记为B
注意：①B
A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
②符号∈与?的区别
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B
定义：如果A B 同时 B A 那么A=B
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
3.真子集:如果A B,且存在元素x∈B,但x?A,那么就说集合A是集合B
的真子集，记作A B(或B A)
4.性质
①任何一个集合是它本身的子集。A A
②如果 A B, B C ,那么 A C
③如果A B 同时 B A 那么A=B
5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算
类型
交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元
素所组成的集合,叫做A,B
的交集．记作A I B（读作
‘A交B’），即A I B=
｛x|x∈A，且x∈B｝．
由所有属于集合A或属
于集合B的元素所组成
的集合，叫做A,B的并
集．记作：A Y B（读作
‘A并B’），即A Y B
={x|x∈A，或x∈B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，
由S中所有不属于A的元素组成的集
合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作A
C
S
，即
C S A=}
,
|
{A
x
S
x
x?
∈且
A I A=A
A I Φ=Φ A I B=
B I A A I B ?A A I B ?B A
B ﹤＝﹥A I B=A
A Y A=A A Y Φ=A A Y B=
B Y A A Y B ?Ａ A Y B ?B
A B ﹤＝﹥A Y B=B
第一章：集合与函数的概念
第一课时：集合 集合的含义与表示
集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a 属于集合A ，记做a ∈A ，反之，元素a 不属于集合A ，记做a ?A 。 集合中的元素的特征：
①确定性：如世界上最高的山；
②互异性：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}；
③无序性：如集合{a 、b 、c}和集合{b 、a 、c}是同一个集合。 集合的分类：
①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。 ②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。 本节精讲：
一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，
即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组
对象就能够组成一个集合。
例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。
（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；
（2）方程x2=4的实数根；
（3）平面内所有的直角三角形；
（4）正方形的全体；
（5）∏的近似值的全体；
（6）平面集合中所有的难证明的题；
（7）著名的数学家；
（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。
解：
练习：
考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：
（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；
（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；
（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；
（4）平面内两边之和小于第三边的三角形
（5）x2,x2+1,x2+2；
（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；
（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；
（8）新华书店中意思的小说全体。
二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。
例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）
A、2∈A，且2∈B
B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B
C、2∈A，且（3,10）∈B
D、（3,10）∈A，且2∈B
解：C
练习：
Q；∏ Q； 0 R+； 1 {（x,y）|y=2x-3}； -8 Z；
三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性
例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。
解：n是不等于1且不等于2的整数。
练习:
1.已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。
2. 已知集合A={x ，
x
y ,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010
的值为 ，A=B= . 3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2
-4}求实数a 的值； (2)若m
m +-11 ∈{m},求实数m 的值。
4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2
}，且M=N,求a,b 的值。
5.已知集合A={x|ax 2
+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。
四．集合的表示法：三种表示方法 练习；
1. 用列举法表示下列集合。
（1） 方程 x 2
+y 2=2d 的解集为 ； x-y=0
（2）集合A={y|y=x 2
-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ；
（3）集合B={
x
+18
∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ； （4）集合C={x|=a
a ||+
b b |
|，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ；
2.用描述法表示下列集合。 （1）大于2的整数a 的集合； （2）使函数y=
()()
111
+-x x x 有意义的实数x 的集合；
（3）{1、22
、32
、42
、…}
3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：
（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；
（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。
五．有关集合的分类：
六．集合概念的综合问题： 练习 1. 若
{}t t
t
∈+-13，则t 的值为 _____________； 2. 设集合A={y|y=x 2
+ax+1，x ∈R},B={(x,y)|y= x 2
+ax+1, x ∈R },试求当参数a=2时的集合A 和B ； 3. 已知集合A={x|ax 2
-3x+2=0,a ∈R},求（1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一
个元素，求a 的值，并写出集合A ；（3）若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围。
课后作业：
1.判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式320x +>的整数解的全体； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21y x =-上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。
2.用符号∈或?填空：
（1）2______N （2______Q
（3）0______
{}0
（4）b ______{},,a b c （5）0______*
N （6）{x x <
（7）{}
2
*
3____1,x x n n =+∈N （8）(){
}2
1,1____y y x
-=
（9）()(){}2
1,1____
,x y y x -=
3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是素数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合
4.用适当的方法表示： （1）(x ＋1)2
＝0的解集； （2）方程组??
?=+=-0
1
y x y x 的解集；
（3）方程3x －2y ＋1＝0的解集； （4）不等式2x －1≥0的解集； （5）奇数集；
（6）被5除余1的自然数组成的集合。 5.集合{1，a 2
}中a 的取值范围。 集合间的基本关系
子集：一般地，两个集合A 和B ，如果 集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”） 。如右图示。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A 中的元素1、2、3都属于集合B ，所以，集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）。
集合相等：如果集合A ?B 且B ?A 时，集合A 中的元素与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记做A=B 。或A ?B 。
真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，我们称集合A 是集合B 的真子集。记作：A B （或B A ） 也可记作：B A ?（或A B ?）
空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做?，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集） 本节精讲：
一． 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：
① 若集合A ?B 且B ?A 时，则A=B ；反之，如果A=B ，则集合A ?B 且B ?A 。这就给出了我们证明两个集
合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明A ?B 和B ?A 都成立就行了。 ② 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。
③ 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中
的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。 例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围. 解： 练习：
1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ?，求实数p 、q 所满足的条件.
2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-
3. 已知集合P ＝｛x|x 2
＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q ≠?
P ，求a 的取值组成的集合A 。 二． 有关子集以及子集个数的问题： 例1：判定以下关系是否正确
(1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠
(4)0∈{0} （5）Φ={0} （6）Φ∈{0}
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．
例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个． 解：含有0个元素的子集有：Φ
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
例3：已知{a 、b}?A ?{a 、b 、c 、d},则满足条件集合A 的个数为________．
分析：A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a 、b 、c 、d}。 解：共3个．
例4：设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 。
A A
B B A B
C A B
D A B ．＝．．．≠≠
???
解：A
例5：已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ． 分析:逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7． 答:C ＝{4}或{7}或{4，7}． 练习：
1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，≠
??
2}{120} 01{x|x {12}}???，，④∈⑤∈，写法正确的个数有
A ．1个 个 个 个
2A ={(x y)|y
x
=1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是
A A =
B B A B
C A B
D A B ．．．．≠≠
???
3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠
??M 是
A ．8个 个 个 个
4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则: ①0________A ②{0}________B ③C I A________C I B
④⑤⑥1
C B C A A
B I I ?
5．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为 ． 6.已知集合A={1,3，a},B={1,a 2
-a+1},且A ?B ，求a 的值。
7．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}，
A P
B P ??≠
，求满足条件的集合．
8．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B 。
课后作业：
A 组
1.写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??，则≠A ?。其中正确的有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3.设{}?
?????
=--=-=-=∈123),(,23),(,,x y y x B x y y x A R y x ，则A ，B 的关系是_____________ 4.已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=a x a x B ，A B ?，求实数a 的取值范围。 5.已知集合{}12,3,1--=m A ,集合{}2,3m B =，若A B ?，则实数m 的值。
6.设集合{}31≤≤=x x A ，{}
0≥-=a x x B ，若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围。 7.用适当的符号填空：
① {}c b a a ,,____ ② {}0____02
=x x ③ ?______{}
012
=+∈x R x
④ {}N ____1,0 ⑤ {}{}
x x x =2
_____0 ⑥ {}{}
023_____1,22
=+-x x x
8.判断下列两个集合之间的关系：
①{}4,21，A =,{
x x B =是8的约数
} _________________
②{}N k k x x A ∈==,3，{}
N z z x x B ∈==,6 __________________ ③{}
+∈==N m m x x A ,20,{
x x B =是4与10的公倍数
} __________________
9.设集合{}
042=+=x x x A ，{}
R x a x a x x B ∈=-+++=,01)1(222，若A B ?，求实数a 的
值。
10.下列选项中的M 与P 表示同一集合的是（ ） A 、{}
001.02=+∈=x R x M ，{}
02==x x P
B 、{
}
R x x y y x M ∈+==,2),(2
，{
}
R y y x y x P ∈+==,2),(2
C 、{
}
R x x y y M ∈+==,12
，{
}
R y y x x P ∈+-==,1)1(2
D 、{}
Z k k y y M ∈==,2，{}
Z k k x x P ∈+==,24 11.试写出满足条件
M
{}210，，的所有集合M 12.写出满足条件{}M
?0{}210，，的所有集合M
13.已知{
}x ,1{}
6,1,122
-+x
x ，求x
14.已知集合{}b a b a a A 2,,++=,{
}2
,,ac
ac a B =，若A=B ，求c 的值。
15.已知集合{
}
21<<=ax x A ,{
}
11<<-=x x B ，求满足A B 的实数a 的取值范围。
16.设集合{}a A ,8,2=,{}
43,22
+-=a a B ,且B
A ，求a 的值。
B 组
1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ，
则≠
A 其中正确的是（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
2.已知集合{
}4,3,2,1?A ，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有（ ） A 、13个 B 、12个 C 、11个 D 、10个 3.设集合????
??
∈-+=
=Z k k x x M ,42πππ，?
??
???∈+==Z k k x x N ,24ππ，则（ ）
A 、M=N
B 、M
N C 、N M ? D 、N
M
4.已知集合{}
23<≤-=x x A ,{}
1212+≤≤-=k x k x B ，且B
A ，则实数k 的取值范围是
_________________。
5.已知集合{
}
R a a x ax x A ∈=++=,022
,若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（ ） A 、1 B 、1- C 、0，1 D 、1-，0，1
6.设R b a ∈,，集合
{}?
??
???=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （ ） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2-
7.已知{
}4,3,2,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________ 8.已知{
}3,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________ 9.已知集合{}21，
A -=,{}
022=+-=b ax x x B ，若≠B 且B
A ，求实数b a ,的值。
10.如果数集{}2,1,0+x 中有3个元素，那么x 不能取哪些值
11.不等式组???≤->-0
630
12x x 的解集为A ，R U =，试求A 及A C U
12.已知集合{}
52≤≤-=x x A ,{}
121-≤≤+=m x m x B （1）、若A B ?，求实数m 的取值范围。 （2）、若Z x ∈，求A 的非空真子集的个数。
集合的基本运算
并集：一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作A ∪B,(读作“A 并B ”).即 A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}。如图1-3-1所示。 例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∪B. 解: A ∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
再比如说，设集合A={x|-1 U C U A A 图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3 交集：一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B,(读作“A 交B ”),即A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}。如图1-3-2所示。 例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∩B. 解: A ∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8} 再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A ∩B. 解:A ∩B={x|x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集. ，如图1-3-3所示。 例如，设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}； CuB={1,2,7,8} . 集合中，一些常用的运算性质： B C CuA B A Cu B C CuA B A Cu B A A C B A C B A U A Cu A A B B A A A A A A A B A B A B B A A B A A B B A A A A A u )()()13(;u )()()12(); ()11();())(10(;)()9(;)8(;)7(;)6(; (5);,(4);(3);(2); (1)Y I I Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y I I I I I I I ==?====?==???=?=?=则 本节精讲 一． 有关两个集合的并集、交集的问题 1．已知集合M ＝{直线}，N ＝{圆}，则M ∩N 的元素个数为( )个．( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 2．(2010·江西理，2)若集合A ＝{x | |x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2 ，x ∈R }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1} D ．? 3．(09·山东文)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2 }．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2010·福建文，1)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) } ,|{A x U x x A C U ∈∈=且记作 A ．{x |2 B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x <3} D ．{x |x >2} 5．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠?，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ≤2 6．(08·山东文)满足M ?{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．(09·全国Ⅱ理)设集合A ＝{x |x >3}，B ＝? ????? ??? ?x ?? ? x －1 x －4<0，则A ∩B ＝( ) A ．? B ．(3,4) C ．(－2,1) D ．(4，＋∞) 8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{－1,1,6}，则P ＋Q 中所有元素的和是( ) A ．9 B ．8 C ．27 D ．26 9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N * }，B ＝{x |x ＝k ＋3，k ∈N }，则A ∩B 等于( ) A ．B B ．A C ．N D ．R 10．当x ∈A 时，若x －1?A ，且x ＋1?A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,4} C ．{1,3} D ．{0,3} 二、填空题 11．若集合A ＝{2,4，x }，B ＝{2，x 2 }，且A ∪B ＝{2,4，x }，则x ＝________. 12．已知A ＝{x |x 2 ＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2 ＋p (x －1)＋q ＝x ＋1}，当A ＝{2}时，集合B ＝________. 13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A ＝{x |x 2 －px ＋15＝0}，B ＝{x |x 2 ＋qx ＋r ＝0}且A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，则p ＝______；q ＝______；r ＝______. 三、解答题 14．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5} (1)若A ∩B ＝?，求a 的取值范围． (2)若A ∪B ＝B ，a 的取值范围又如何 15．设集合M ＝{1,2，m 2 －3m －1}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，求m . 16．已知A ＝{1，x ，－1}，B ＝{－1,1－x }． (1)若A ∩B ＝{1，－1}，求x . (2)若A ∪B ＝{1，－1，1 2}，求A ∩B . (3)若B ?A ，求A ∪B . 当x ＝12时，A ∪B ＝{1，1 2 ，－1}． 17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人 18．已知集合A ＝{x |3x －7>0}，B ＝{x |x 是不大于8的自然数}，C ＝{x |x ≤a ，a 为常数}，D ＝{x |x ≥a ，a 为常数}． (1)求A ∩B ； (2)若A ∩C ≠?，求a 的取值集合； (3)若A ∩C ＝{x |7 3 (4)若A ∩D ＝{x |x ≥－2}，求a 的取值集合； (5)若B ∩C ＝?，求a 的取值集合； (6)若B ∩D 中含有元素2，求a 的取值集合． 二． 有关全集、补集、空集的问题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}?；(2){1，2，3}＝{3，2，1}；(3){0}??≠ ；(4)0∈{0} 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ??________． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠? ? 例7 下列命题中正确的是 [ ] A ．U (U A)＝{A} B A B B A B C A {1{2}}{2}A ．若∩＝，则．若＝，，，则≠??? D A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈? 例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ． 例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________． 例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值． 例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24}Z ∈+= κπ κπ,24x x 则 [ ] A ．M ＝N B M N C M N ．．≠≠?? D ．M 与N 没有相同元素 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 -- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由. 集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标． 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义 选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 集合概念 一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有 A?（或B?Ａ） 包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 集合类型题 一、有关参数类集合关系问题 1、已知集合{x A =|}0232=+-x ax 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 2、（2013山西运城模拟题） （1）已知A=｛x |-3 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言: (1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0? 集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020 辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式高考文科数学知识点总结
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