解直角三角形应用
中考真题（解直角三角形应用）
1、小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
2、（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）
3、随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．
4、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C。
经测量，C 位于A 的北偏东60O 的方向上，C 位于B 的北偏东30O 的方向上，且AB=10Km 。
（1）求景点B 与C 的距离；
（2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备
由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不
考虑其他因素，求出这条最短公路的长。（结果
保留根号）
5、下图为某区域部分交通线路图，其中直线123l l l ，直线l 与直线123l l l 、、都垂直，，垂足分别为点A 、点B 和点C ，（高速路右侧边缘），2l 上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM
千米，3l 上的点N 位于点M 的北偏东α
方向上，且cos 13α=
MN=A 和点N 是城际线L 上的两个相邻的站点。
（1）求23l l 和之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，
际火车从站点
A 到站点
N
6、图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）
7、2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
8．在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军
舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）
（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少
海里？
（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻
军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位
于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距
离为多少海里？
（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠
近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？
9．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态
化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经
过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前
往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？
（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，
=1.732，=1.414）
10、如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．
11．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在
自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，
并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．
（结
果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
12．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从
地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，
tan50°≈1.2）
（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；
（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．
13、如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一条直线上，小明在地面D 处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12m ，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）
．参考数据：≈1.73
，≈1.41
14、为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB 的度数；
（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
15、.图1，,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB =75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE=60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732,2≈1.414）
图1 图2
16、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）
17、某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距
离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
18、某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
19、如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
解直角三角形典型应用20例子
解直角三角形.典型应用题20例 1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点 D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求 山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）? 2?已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以 每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732） 3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC ? 4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地 面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） ? A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶 D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE = AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB 测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面 北 A
5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚 一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）. 5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长 的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m .问路灯高度为多少米 ？ 运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求 III A 沿坡角为30°的山坡A B 行走400m ，到达 6.已知：如图，在一次越野比赛中, 到达B 点，然后再沿北偏西 北 n
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题
解直角三角形的应用 一、仰角、俯角、方向角： 1．在离地高为30米的高楼窗台处测得地面花坛中心标志物的俯角为60°，那么这一标志物离高楼的距离为 米．2．如果在距离某一大楼100米的地面上，测得这幢大楼顶的仰角为30°，那么这幢大楼高为米． 3．如果某飞机的飞行高度为m千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为α，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是（）． （A） α sin m （B） α cos m （C）α tg ⋅ m（D）α ctg ⋅ m 4．如图，飞机P在目标A的正上方1100m处，飞行员测得地面目标B的俯角30 α=，那么地面目标B A、之间的距离为米（结果保留根号）． 5．如图，小明用一块有一个锐角为304米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米） 6．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30，旗杆底部B点的俯角为45．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离9 BE=米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）． 7．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？ α B （第4
请说明理由． 8．如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量 湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米，求小岛C 、D 间的距离.（计算过程和结果均不取近似值） 9．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒， B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.414 3 1.732 ==，） 10．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度．（结果精确到0.1米，参考数据： 2 1.41, 3 1.73≈≈） 11．如图8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点 D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01） Q B C P A 450 60︒ 30︒
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。 一、测量高度和距离 直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。 二、解决倾斜和斜率问题 直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。 三、计算不可测量的距离 在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位 直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。例如，航海员可以使 用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。通过测量星体和 地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利 用正弦和余弦函数计算出船只的位置。 五、解决工程问题 在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。例如，自 然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾 侵蚀。通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延 的可能性，保护森林资源。 六、解决影子和光线问题 在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线 的问题。通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。这对于照明设计师来说非常 重要，以确保正确照亮目标物体。 总结起来，直角三角形在实际生活中具有广泛的应用。无论是测量 高度和距离，解决倾斜和斜率问题，计算不可测量的距离，导航和定位，解决工程问题还是解决影子和光线问题，直角三角形都能为我们 提供准确的解决方案。因此，了解和掌握直角三角形的性质和应用是 非常重要的。
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型 直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。下面列举一些常见的直角三角形应用题型。 1. 求斜边长 已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。 例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。 解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。 2. 求角度 已知直角三角形两个角度，求第三个角度。由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。 例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。 解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。 3. 求高
已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。 例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。 解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。 4. 求面积 已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。 解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。 以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？ 解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？ 解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx
28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？ 解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？ 解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题 直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。 一、三边比例与角度多少 在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。 根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组： sin A = a / c cos A = b / c tan A = a / b 通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。 二、三角形上一点对角度的影响 已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。这就是典型的直角三角形应用题。 首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到： AD×CD/2 = BC×CD/2
AD = BC×CD/AC 将已知数据代入，化简得到： CD=2AC/(1+√5) 接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式： tan B = BD/AB = AD/AB sin C = BD/BC = AD/AC 代入已知的数据，得到： tan B = (2AC / (1+√5)) / c sin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2) 通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。 三、海伦公式 海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) 其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即： p = (a+b+c)/2 在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。已知直角三角形的两个直角边的长度a和b，求斜边c。由勾股定理可得： c = √(a^2 + b^2) 代入海伦公式中，可以得到：
直角三角形的应用题解题技巧
直角三角形的应用题解题技巧直角三角形是初中数学中的基础知识之一，它的应用广泛且重要。 在解题过程中，我们需要掌握一些解题技巧。本文将介绍直角三角形 应用题的解题技巧。 一、勾股定理 直角三角形的应用问题中，勾股定理是最常见且重要的定理之一。 勾股定理表达为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在解题中，当我们已知直角三角形的斜边和一条直角边时，可以通 过勾股定理求解另一条直角边的长度。反之，当我们已知直角三角形 的两条直角边时，可以通过勾股定理求解斜边的长度。 例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可 以使用勾股定理计算另一条直角边的长度。根据勾股定理：$$3^2 + x^2 = 5^2$$ 解方程得到$x$的值，即可求得另一条直角边的长度。 二、相似三角形定理 在一些应用问题中，我们会遇到两个直角三角形的边长比例相等或 相似的情况。此时可以使用相似三角形定理来解题。 相似三角形定理指出，两个直角三角形的角相等并且对应边的比例 相等，则这两个三角形相似。
在解题时，如果我们已知一个直角三角形的边长比例，并且已知一 个边长的具体值，可以通过相似三角形定理计算其他边长的值。 例如，已知直角三角形ABC与直角三角形DEF相似，且已知直角 三角形ABC的斜边长为5，三角形DEF的斜边长为10。我们可以通过相似三角形定理计算出直角三角形DEF的另一条直角边的长度。 三、特殊直角三角形 在应用题中，有时会碰到特殊的直角三角形，如45-45-90三角形和30-60-90三角形。这些特殊直角三角形有一些固定的边长比例关系， 在解题时可以直接使用这些关系进行计算。 例如，已知一个直角三角形的两条直角边相等，我们可以判断这是 一个45-45-90三角形。在这种三角形中，两条直角边的长度相等，斜 边的长度等于直角边的长度乘以$\sqrt{2}$。 同样地，已知一个直角三角形的两条直角边的长度比为1： $\sqrt{3}$，我们可以判断这是一个30-60-90三角形。在这种三角形中，最短直角边的长度为1，较长的直角边的长度为$\sqrt{3}$，斜边的长 度为2。 四、解题实例 为了更好地理解直角三角形的应用题解题技巧，我们将通过一个具 体的解题实例进行说明。 例题：已知一个直角三角形的斜边长为7，一条直角边的长度为24，求另一条直角边的长度。
解直角三角形的应用(方位角)
解直角三角形的应用 1.居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时. （1）该超市以上的居民住房采光是否有影响？请说明理由。 （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数） 2.学校准备在相距5km的A、B两地之间修筑一条笔直的公路，经测量，在A地的北偏东60°、B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为1.8km的湖泊，计划修筑的这条公路是否会穿过湖泊？请说明理由。 3．如图，海上有一灯塔P，在它周围的3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，航行到A处测得P在它的北偏东60︒方向，继续航行20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45︒方向，若该客轮不改变方向，继续前行有无触礁的危险？请说明理由。 4.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向80m的A处有一所小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50m的范围内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间有多长？ 5.如图，A城气象部门测得今年第九号台风上午8时在A城南偏东22.5°的海面B点生成，并以每小时6 40 千米的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°方向，若台风中心140千米的范围内将受台风影响，则A城是否会受九号台风影响？请说明理由。 6．根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，台风中心现正以15千米/小时的速度沿北偏东30°方向往C移动，但台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到台风的影响？请说明理由。 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？ （3）该市受到台风影响的最大风力为几级？ A B C P A B C E
初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿
初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿 第一篇：初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿 各位老师：大家好! 今天我说课的题目是《解直角三角形及其应用》的第一课时，源自湘教版数学九年级下册第4章第三节。下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程及教学评价四个方面进行阐述。 一、教材分析 (一)、教材的地位与作用 本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。 (二)教学重点 本节先通过一个实例引出在直角三角形中，已知两边，如何求第三边，再引导学生如何求另外的两个锐角，这样一是为了巩固前面的知识，二是如何让学生正确利用直角三角形中的边角关系，逐步培养学生数形结合的意识，从而确定本节课的重点是：由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。 (三)、教学难点 由于直角三角形的边角之间的关系较多，学生一下难以熟练运用，因此选择合适的关系式解直角三角形是本课的难点。 (四)、教学目标分析 1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定
“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。 2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。 3、情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。 二、教法设计与学法指导 (一)、教法分析 本节课采用的是“探究式”教法。在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。 教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。 (二)、学法分析 通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为解直角三角形的问题。 学法设计思路：自主探索、合作交流的学习方式能使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析问题，解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力。 (三)、教学媒体设计：由于本节内容较多，为了节约时间，让学生更直观形象的了解直角三角形中的边角关系的变化，激发学生学习兴
解直角三角形在二次函数中的应用
解直角三角形在二次函数中的应用 解直角三角形在二次函数中的应用 直角三角形是初中数学中比较基础的概念之一，二次函数则是高中数 学中比较重要的一个概念，两者貌似毫无联系，但实际上它们之间却 有着紧密的联系。接下来，我们将通过以下几个方面来探讨解直角三 角形在二次函数中的应用。 一、直角三角形的勾股定理 勾股定理是解直角三角形中最重要的公式之一。根据此定理，我们可 以得到判断一个三角形是否为直角三角形的方法。在二次函数中，我 们可以通过勾股定理来求解关于二次函数的方程。这个过程主要是利 用勾股定理将三角形的边长转化为二次函数表达式中平方项的系数， 从而解出方程。 二、三角函数的基本关系式 三角函数是解直角三角形的重要工具，二次函数中也有许多与三角函 数相关的公式。三角函数中的正弦、余弦函数定义中包含直角三角形 的边长，通过推导，我们可以得到正弦、余弦函数中另一个角度的值。在求解包含三角函数的二次函数中，我们可以通过将其化简成标准形 式后，利用三角函数的基本关系式，将方程转化为仅包含正弦或余弦 函数的方程，从而解出方程。
三、二次函数的最值问题 二次函数的图像是一个带有对称轴的抛物线，它的最值点为对称轴上 的顶点。在计算直角三角形的过程中，我们经常需要求解最大值或最 小值，因此我们可以将这个过程与二次函数的最值问题联系起来。通 过将直角三角形中的某一个角度和对应的边长代入已知的二次函数中，我们可以得到二次函数的顶点坐标。这个过程既可以被用来求解最大 值和最小值的问题，也可以用于计算直角三角形中中位线的长度。 综上所述，在二次函数中，解直角三角形的知识和技能将起到重要的 作用。通过解三角函数和二次函数的方程来确定直角三角形中的角度 和边长，通过二次函数的最值问题来计算直角三角形的某些特殊值， 这些都是我们为了更好地理解和掌握二次函数而应该掌握的重要技巧。
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用 一、基础知识整理 1、锐角三角函数： （1）定义：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. （2）如图,在Rt △ABC 中, ∠C 为直角,其余5个元素之间有以下关系: 1)三边之间关系： （勾股定理） 2)锐角之间的关系：∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) 3)边角之间的关系： 注意： (a)定义是以直角三角形为条件的；没有直角三角形时作辅助线构造，或将角转化； (b)在直角三角形中，首先确定锐角，再分清这个锐角的对边和邻边，最后才是这个锐角的各个三角函数的定义． （3）互余两角的三角函数关系；若α＋β＝90o ，则 sin α＝cos β；cos α＝sin β； （4）同角三角函数关系：sin 2α＋cos 2 α＝1 2、特殊角的三角函数值：见书中表格，知道三角函数值随α的变化情况 3、解直角三角形 （1）直角三角形两个锐角互余； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；（逆命题不成立） （4）勾股定理：即：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2； （5）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三 角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°； （6）边角关系：锐角三角函数； （7）三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底乘高的积的一半； 三角形的面积等于三角形的两边与其夹角正弦乘积的一半； 二、典型例题解析 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，解这个直角三角形。 [点拨]解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 222a b c += a sin ,cos , tan b a b A A A c c = ==
解直角三角形及其应用 【完整版】
解直角三角形及其应用（1） 主备：柴世俊审核：九年级数学备课组 学习目标： 1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。 2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。 学习重难点： 1、重点：会利用已知条件解直角三角形。 2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。 学习过程： 一、复习回顾 ＊直角三角形三边的关系:勾股定理a 2 +b 2 =c 2 . 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=90°. ＊直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 ＊互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB . ＊同角之间的三角函数关系: ＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 二、新课探究： 有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 例1在RT △ABC 中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=,解这个三角形。 A C a b B c a B A ==cos sin c b B A = =sin cos .cos sin tan A A A = 1 sin cos 22=+B A
解： 例2在△ABC 中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积 （精确到） 解： 三、跟踪练习： (1)在RT △ABC 中，∠C=90°,AC=6,∠BAC 的平分线AD=，解此直角三角形。 (2)如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和△ABC 的面积 (3)如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和 △ABC 的面积. 四、课堂小结： 本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础。 五、作业： 课本125页练习1、2、3题。 A B C 450 300 4cm D C B 4cm ABC S 3 4
解直角三角形的应用经典题型
解直角三角形应用经典 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? (2题图) 17cm （第3题） A B C F 参考数据 cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95 A B 12千 P C D G 60 图1
A B E F Q P 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传 送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45) 第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A 和B 之间的距离. N M 东 北 B C A l
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用 解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解. 类型1 仰角、俯角问题 1.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部 的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高 1. 732,结果保留小数点后一位)？ 2.如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确 到1 1.732)
3.在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A 正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7) 类型2 方位角问题 1.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6) 2.(2014·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数， 1.41， 2.45)
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用： 1．为线段、角的计算提供新的途径． 解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限． 2．解实际问题． 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形． 【例题】 【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ． 【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于 ( ) A ．60° B ．67．5° C ．75° D ．无法确定 注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除． 在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解． 【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程 2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长．
【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面 1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米) 【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求： (1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米? 注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力． 练习巩固 1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=3 4,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 Rt△ABC 两 边两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一边一一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ，
角 锐角、对边 (如∠A ，a) ∠B=90°－∠A ， ， 斜边、锐角(如c ，∠A) ∠B=90°－∠A ， ， 要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图， 坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
解直角三角形及其应用教案
解直角三角形及其应用教案 这是解直角三角形及其应用教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。 解直角三角形及其应用教案第1篇 教学设计 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系sinA=abacosA=tanA= ccb
(2)三边之间关系 a2+b2=c2(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二）探究活动 1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2a=6，解这个三角形． 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=20?B=350，解这个三角形（精确到0.1）． 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演． 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底． 例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三)巩固练习 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，?BAC的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中的应用 山东 李浩明 在现实生活中，有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测 量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利 用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决 •下面举例说明，供大家参考. 一、航空问题 例1. （2008 年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A 、 B 两个村庄抢险， 飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30 ,B 村的俯角为60 （如图1） •求 A 、 B 两个村庄间的距离.（结果精确到米，参考数据 .2 =1.414, 3 =1.732） 分析：要求 A 、B 两个村庄间的距离 ，由题意知 AB=PB ,在 Rt △ PBC 中，可求得 -PBC =60，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得 PB. 解：根据题意得：• A = 30 , ■ PBC =60 ,所以.APB = 60 - 30 ,所以 /APB ^A 所以 AB=PB. 在 Rt BCP 中，.C =90 , ■ PBC =60 , PC=450，所以 所以 AB 二 PB 二 300、3 : 520（米） 答：A 、B 两个村庄间的距离为 520米. 二、测量问题 例2. （2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆 AB 10米的C 处, PB = 450 = 900 sin 60 ■=300 3
用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高（精 确到0.1米）• 分析：要求AB的高，由题意知可知CD=BE ,先在Rt△ ADE中求出AE的长，再利用 AB=BE +AE求出AB的长. AE 解：在Rt△ ADE 中，tan Z ADE =—— DE •/ DE = 10 , - ADE = 40 . ••• AE=DE tan ^ADE =10 tan 40 〜10 0.84=8.4. ••• AB=AE+EB=AE+DC= 8.4 1.5 =9.9. 答：旗杆AB的高为9.9米. 三、建桥问题 例4. （2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC ,沿折线A T C T B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地.一直BC=11km , / A=45° , / B=37° .桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少 走多少路程？（结果精确到0.1km .参考数据：-.2 1.41 , sin37〜0.60 , cos37°~ 0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行 四边形DCBG ,将两条路线路程之差转化为AD • DG - AG ,作高线DH，将△ ADG转化为两个直角三角形，先在在Rt△ DGH中求DH、GH，再在Rt△ ADH中求AD、AH,此题即可得解. 解：如图，过点D作DH _ AB于H , DG // CB交AB于G . 7 DC // AB ,.四边形DCBG为平行四边形.