条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题

一、知识点

①只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A)，即可类比套用概率满足

的三条公理及其它性质

②在古典概型中---

P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A)

③在几何概型中---

P(B A) P( AB) (AB)

P(A) (A) 事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数

区域AB的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A的几何度量(长度，面积，体积等)

条件概率及全概率公式

.对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B).

答：不是?有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P(A) > P(A| B), 这种猜测是错误的?事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明.

在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令

A=｛抽到一数字是3的倍数｝; B=｛抽到一数字是偶

数｝; B2=｛抽到一数字大于8｝,那么

P(A)=3/10, P(A| B i)=1/5, P(AB)=1. 因此有P(A) >

P(A| B i), P(A) v P(AB).

.以下两个定义是否是等价的?

定义1. 若事件A、B满足P(A^=P(A)P(B), 则称A、B相互独立.

定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立?答：不是的?因为条件概率的定义为

P(A B)=P(AB?/ P(B)或P(B| A)=P(A^/ P(A)

自然要求P(A)丰0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上，若P(A)=0 由0W P(AB) < P(A)=0 可知P(AB=0 故P(AB=P(A)P(B).

因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.

. 对任意事件 A 、B, 是否都有P(AB < P(A < P(A+B) < P(A)+P(B).

答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)

因为P(AB >0,故P(A+B) < P(A)+P(B).

由P(AE)=P(A)P(B| A), 因为OW P(B| A) < 1,故P(A0 < P(A)；

同理P(AB) W P(B), 从而P(B)-P(AB >0,由(*)知P(A+B) > P(A).

原命题得证.

.在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率：P(A| B), P(B|A), P(AB. 从事件的角度去考察，在A、B相容的情况下，它们都是下图中标有阴影的部分，然而从概率计算的角度看，它们却是不同的?这究竟是为什么？

答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别

p(A| B)的计算基于附加样本空间Q B；0

P(B| A)的计算基于附加样本空间Q A；

P(AB?的计算基于原有样本空间Q . 出y

■J—丿在n个事件的乘法公式：

P( AA…A)=P( A) P(A>| A i) P(A AA)…P(A AA…A-i)

中，涉及那么多条件概率，为什么在给出上述乘法公式时只提及P(AA…")>0 呢？

答：按条件概率的本意，应要求P(A)>0, P(AA)>0,…，P(AA—A V2)>0, P(AA …A

n-l)>0.

事实上，由于AAA…A-2二：AAA…A n-2Ai-i,从而便有P(AA…A n-2) >P(AA??Ai)>0.这样,除

P(AA…牛)〉。作为题设外,其余条件概率所要求的正概率，如P(AA…A-2)>0,…，P(AA) >0, P(A i)>0便是题设条件P(AA…A-i)>0的自然结论了.

.计算P(B)时，如果事件B的表达式中有积又有和，是否就必定要用全概率公式?

答：不是.这是对全概率公式的形式主义的认识，完全把它作为一个”公式”来理解是不对的? 其实，我们没有必要去背这个公式，应着眼于A,A,…，A的结构.事实上，对于具体问题，若能设出n 个事件A,使之满足

1(*)

就可得 5 = 5Q = BA X十血［十…+陆(**)

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式?

因此,能否使用全概率公式,关键在于(**)式，而要有(**)式，关键

又在于适当地对Q进行一个分割，即有(*)式?

.设P(A)工0, P(B)工0,因为有

(1)若A B互不相容,则A、B 一定不独立.

(2)若A B独立，则A、B 一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确.

答：不正确.原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)工0, P(B)工0的前提下,事

件A、B既互不相容又独立是不存在的,并不能推出“ A、B既不独立又不互不

相容是不存在的” ?事实上，恰恰相反，既不互不相容又不独立的事件组是存在的，下面举一例.

5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个,无放回抽取三次,记A=｛第i次取到新球｝, i =1,2, 3. 因为是无放回抽取，故A、A、A互相不独立，又

AAA=｛三次都取到新球｝, 显然是可能发生的,即A、A、A可能同时发生，因此A、A、A不互不相容.

.事件A B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系？事件A B “独

立”与“互不相容”又有什么区别和联系？

答：“对立”与“互不相容”区别和联系，从它们的定义看是十分清楚的

大体上可由如下的命题概括：“对立” 一“互不相容”，反之未必成立.

至于“独立”与“互不相容”的区别和联系，并非一目了

然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事

件的关系，丝毫未涉及它们的概率，其关系可借助图直观

显示.

事件的独立性是由概率表述的,即当存在概率关系P(A| B)=P(A)或

P( B| A)= P( B)时，称A B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括：对于两个非不可能事件A、B, 则有“ A B 互不相容” 一“ A、B 不独立”.其等价命题是：在P(A)>0与P(B)>0下，则

有“ A、B独立”A B不互不相容”(相容).注意，上述命题的逆命题不

成立.

.设A、B为两个事件,若

0< P(A)<1, 0< P(B)<1.(*)

则A B相互独立,A、B互不相容,.,这三种情形中的任何两

种不能同时成立.

答：在条件(*)下

当A B相互独立时,有P(AB=P(A)P(B);

当A B互不相容时，有P(AB

当时,有P(AE)>P(A)P(B).

在条件(*)下，上述三式中的任何两个不能同时成立.因此， A、B相互独立，A、B互不相容，____ :」.一:这三种情形中的任何两种不能同时成立.

此结论表明：在条件(*)下，若两个事件相互独立时，必不互不相容，也不

一个包含另一个，而只能是相容了.

.证明：若P( A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.

答：若P(A)=0,又工三二三，故OW P(AB) < P(A)=0.

于是P(AB)=O=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.

若P(A)=1,贝U j .由前面所证知，」与任何事件B相互独

立. 再由事件独立性的性质知，」与B相互独立，即A与B相互独立.另种

方法证明：由P(A)=1知= 0 , 进而有F(刁酊=0 .

又二上一二且AB 与二互不相容,故

= P⑻=尸僅再)+ P(A8)=尸僅罚

即A与B相互独立.

.设A B 是两个基本事件,且00, L ' ■■- ■- | ■-, 问事件A与B是什么关系？

F (血).F(辰)

［解1］由已知条件 "门-可得

.

由比例性质，得…小一宀丄■...

代乂〕+玖卫)

所以P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.

［解2］由_ - - ■-■- 得

| …■■ : - L'i ■■-'-.

因而- ….

所以P(B|A)=P(B).

因此事件A与B相互独立.

.是不是无论什么情况，小概率事件决不会成为必然事件?

答：不是的?我们可以证明，随机试验中，若A为小概率事件，不妨设P( A)= ￡ (0 <￡< 1为不论多么小的实数),只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1.

事实上,设A={A在第k次试验中发生},则P(A)= ￡,「珀；-I ，在前n次试验中A都不发生的概率为：

二」二厂、-<.

于是在前n次试验中，A至少发生一次的概率为

= 1-^(4)^). 7=(4)= 1-(!-^".

如果把试验一次接一次地做下去，即让n—x,由于0<￡< 1,则当

mx时，有Pn — 1.

以上事实在生活中是常见的，例如在森林中吸烟，一次引起火灾的可能性是很小的，但如果很多人这样做，则迟早会引起火灾?

.只要不是重复试验，小概率事件就可以忽视.

答：不正确?小概率事件可不可以忽视，要由事件的性质来决定，例如在森林中擦火柴有1%勺可能性将导致火灾是不能忽视的，但火柴有1%勺可能性擦不燃是不必在意的.

.重复试验一定是独立试验，理由是：既然是重复试验就是说每次试验的条

件完全相同，从而试验的结果就不会互相影响，上述说法对吗？答：不对?我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的?

一个罐子中装有4个黑球和3个红球，随机地抽取一个之后，再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球，这种手续反复进行，显然每次试验的条件是相同的.每抽取一次以后，这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验，此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率?

.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.

答：不一定?例如某射手每次击中目标的概率是P,现在连续向一目标进行

射击，直到射中为止?此试验只有两个可能的结果：A=｛命中｝；J =｛未命中｝，

且P(A)=p.并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验(伯努利概型)，设Xk=｛第k

次射中｝，人显然是一个随机变量，但

p(X<=k)=q k-1p，k=1,2,…，其中q=p-1，

可见X<是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.

.某人想买某本书，决定到3个新华书店去买，每个书店有无此书是等可能的?如

有，是否卖完也是等可能的?设3个书店有无此书，是否卖完是相互独立的.求此人买

到此本书的概率.

答：(37/64).

.在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是；若乙机未被击落，就进行

还击，击落甲机的概率是，则再进攻乙机，击落乙机的概率是.在这几个回合中，

(1)甲机被击落的概率是多少？

(2)乙机被击落的概率是多少？

答：以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”，以B表示事件“第二次攻击中乙

击落甲”，以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.

(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能，故甲机被击落的

概率为

F［茲)=\A) =(1 -0.2) xQ.3 = 0.24

(2)乙机被击落有两种情况.一是第一次攻击中甲击落乙，二是第三次攻击中甲击

落乙，故乙机被击落的概率是

+ ABC) = + F (卫頁 U)

=+ P(A}P(§ | A) P(C \ AS)

.某个问题，若甲先答，答对的概率为；若甲答错，由乙答，答对的概率为? 求问

题由乙答出的概率?

答：

.有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次，一周内某天借书的可能性相

答：(1)(1/7 5)；

5

7

⑵(6 /7 )；

5

⑶(1-1/7 ).

二、例题

解.设事件A 表示“甲取到的数比乙大”， 设事件B 表示“甲取到的数是5的倍数” 则显

然所要求的概率为P(A| B).

2.掷三颗骰子,已知所得三个数解.设事件A 表示“掷出含有1

的点数 (1)5 个人都在星期天借书的概率 (2)5 个人都不在星期天借书的概率 (3)5 个人不都在星期天借书的概率

1.从1, 2, 3,…,15中，甲、乙 两人各任取一数(不重复),已知 甲取到的数是5的倍数，求甲数 大于乙数的概率.

根据公式

'

都不一样，求含有1点的概 设事件B 表示“ 率.

表示“掷出的三个点数都不一 样”

而

P(B)=3/15=1/5 ,

P(A B)=9/14.

=1/2.

P (A )

则显然所要求的概率为P(A| B).

P(A| B)=1/2.

1解.设事件A 表示“第i 次取到白球” (i=1,2,…，“

则根据题意P(A i )=1/2 , 只人|人)=2/3,

3.袋中有一个白球和一 由乘法公式可知

根据公式

个黑球，一次次地从袋中 摸球,如果取出白球，则除

把白球放回外再加进一个 P(AiA ?)= P( A ?| A) P( A)=1/3.

P(A| AA)=3/4 ,

白球,直至取出黑球为止 求取了 N 次都没有取到黑 球的概率.

P (A i AA)= P( A| A 1A 2) P( AA)=1/

由数学归纳法可以知道

P (AA …

A N )=1/( N+1).

解.设事件 A 表示“取到的是甲袋”，则二表示“取到的

是乙袋”，

4. 甲袋中有5只白球，7只 红球；乙袋中有4只白球，2只 红球.从两个袋子中任取一袋， 然后从所取到的袋子中任取一 球,求取到的球是白球的概 率.

事件B 表示“最后取到的是白球” 根据题意：

P ( B | A )=5/12 ,

…二 2

F(B)=尸3 | A)P(JS) 石昭)

2』十纭-丄)』

12 2 3

2 24 .

解?设事件A 表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”，其中

i =0,1,2 .

甲袋中有3只白 球,2只黑球；乙袋中 有4只白球,4只黑

球.现从甲袋中任取

P(B|A)=2/5 ,

P(B| A i )=1/2 ,

2个球放入乙袋，然厂f 八

后再从乙袋中任取P( B|

A)=3/5 ;

一球，求此球为白球 由全概率公式 的概率.

P( B)= P( B| A P(A)+ P( B| A) P(A i )+ P( B| A) P(A)

=2/5 X 1/10+1/2 X 3/5+3/5 X 3/10=13/25.

解.设事件A 表示“第一次取到的是1号 球”，则亠表示“第一次取到的是非1号

球”； 事件B 表示“最后取到的是2号

球”. 显然 P(A)=1/N

5.有甲、乙两袋 事件B 表示“从乙袋中取到的是白球” 显然A o , A, A 构成一完备事件组,且根据题意

P(A)=1/10 , P(A)=3/5 , P(A)=3/10

6.袋中装有编号为1,2,…,N 的N 个球,先从袋中任取一球，如该球不是 1号球就放回袋中，是1号球就不放 回,然后再摸一次，求取到2号球的概 率.

⑷第

二次取出的是 红球.

.■< L

_ ■

-

? ： I',

尸(瓦冷)W 石FG 1^) =l/5xg/9 =S/45 ,

出的两八球都 ■_：■

I' J

.

是黑球；

亓

(3)要求的是取出一只红球一只黑球

，它包括两种情形，即求事件

(3)取

出的两只球一 一 ?一丄的概率.

且 P(B|A)=1/( N-1),

尸(百)=P{B | 砒(& + F(5 | A)P(A)

(21)/ N

=1/( N-1) X 1/N+1/NX

=(NtN+1)/ M(21).

解.设事件A 表示“第一次取到的是红球”，

7. 袋中装 设事件A 2表示“第二次取到的是红球” 有8只红球, 2只黑球，每次 从中任取一 球，不放回地 连续取两次, 求下列事件的 概率.

(1)取 (1)要求的是事件 AA 的概率. 根据题意

P (A )=4/5,

?一 ■',

F (A z | A )=7/9,

??? P (AA 2)= P (A ) F ( A| A )=4/5 X 7/9=28/45.

⑵要求的是事件的概率.

出的两只球都 是红球；

(2)取

根据题意： -\ : 1

,

-_ 1： 1'=

', 只是红球, 只是黑二二 1

八，",