【压轴题】数学高考一模试卷(附答案)
【压轴题】数学高考一模试卷(附答案)
一、选择题
1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）
A ． 1.2308?.0y
x =+ B ．0.0813?.2y
x =+ C ． 1.234?y
x =+ D ． 1.235?y
x =+ 2．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）
A ．()D ξ减小
B ．()D ξ增大
C ．()
D ξ先减小后增大
D ．()D ξ先增大后减小
3．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；
③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
4．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22
221x y a b
+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，
使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A ．2,13??
????
B ．1
,
3
2????
C ．1,13??????
D ．10,3
?? ??
?
5．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
6．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-?+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
7．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2
2
112
a b -+-< D ．228a b +> 8．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）
A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
9．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ?=则BC=______ A ．3
B ．7
C ．2
D ．23
10．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A ．3
B ．2
C 3
D ．2
11．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?
??
且1
2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
12．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B
B ．B 与C
C ．A 与D
D ．C 与D
二、填空题
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
14．函数()22,0
26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?
的零点个数是________．
15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1
()tan 2
g x x =
的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．
16．双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直
线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ?=______．
19．设函数2
1()ln 2
f x x
ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.
20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ?-=??+??=?+?
，（t 为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
2cos 3sin 110ρθρθ++=．
（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 22．已知函数2()sin(
)sin 3cos 2
f x x x x π
=--.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[
,]63
ππ
上的单调区间
23．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点.
(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；
(Ⅱ) 求AB 3=，BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ??
<
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
25．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛
1
2
n
n a +｝的前n 项和Tn . 26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，
AC
BD P =，11
A C EF Q =.求证：
（1）D B F E ，，，四点共面；
（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由题意得在线性回归方程?y bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到
a 的值，进而可得所求方程．
【详解】
设线性回归方程?y bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23?y x a =+．
又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =?+， ∴0.08a =，
∴回归直线方程为 1.2308?.0y
x =+． 故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
111()0122222
p p E p ξ-=?+?+?=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=
--+--+--=-++， 1
(0,1)2
∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
221
1
1
(),()(())().n
n
n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时2
2
x y
>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.
考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.
4．C
解析：C 【解析】 如图所示，
∵线段PF 1的中垂线经过F 2，
∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝
1
[,1)3
c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】
由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】
本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2
(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(44(2)0a a a --
， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=?，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
2222
149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-?=-?=-+-=-=
|BC ∴
故选：A 【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故答案选B
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??
?+?= ?
??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
?
=
可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ??
?+?= ???
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
?
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。
12．C
解析：C 【解析】
分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；
在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；
在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；
在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.
二、填空题
13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
?=件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．
14．2【解析】【详解】当x≤0时由f（x）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f（x）=2x﹣6+lnx单调递增则f（1）＜0f（3）＞0此时函数f（x）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2
【解析】
【详解】
当x≤0时，由f（x）=x2﹣2=0，解得x=1个零点；
当x＞0，函数f（x）=2x﹣6+lnx，单调递增，
则f（1）＜0，f（3）＞0，此时函数f（x）只有一个零点，
所以共有2个零点．
故答案为：2．
【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点，
定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐
【解析】 【分析】
画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】
画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1
tan 2y x y
x =??
?=??
，解得π3,3B ?? ? ???，所以133π
π2ABC S ?=??
=.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.
16．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
解析：2 【解析】
试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为
y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类
似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当，，
时为椭圆，当
时为双曲线.
17．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ??=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =???=11111
1201032212AB BC CC =???=?=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
18．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答
解析：2 【解析】 【分析】
过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1
AD AB 12
=
=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1
cos A AC
=
，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ?的值． 【详解】
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．
Rt △ACD 中，1
AD AB 12
==， 可得cosA=11
,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC
=∴?=?=??==2． 故答案为2 【点睛】
本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()1
0,,'f x ax b x
+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x
+-=
.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，
()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1
x a
=-
.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1
1a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660 【解析】 【分析】 【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故
有4012480?= 种；第二类，先选2女2男，有22
6215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有1512180?=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故
答案为660.
三、解答题
21．（1）2
2
:1,(1,1]4
y C x x +=∈-
；:2110l x ++=；（2
【解析】 【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】
（1）由2
2
11t x t -=+得：2
10,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()
2222161t y t =+ ()()22
2116141144111x
x y x x x x x -?
+∴==+-=--??+ ?+??
整理可得C 的直角坐标方程为：2
2
1,(1,1]4
y x x +=∈-
又cos x ρθ=，sin y ρθ=
l ∴
的直角坐标方程为：2110x ++=
（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ
则C 上的点到直线l
的距离d ==
当sin 16πθ?
?+=- ??
?时，d 取最小值
则min d = 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
22．（1）f (x )的最小正周期为π
（2）f (x )在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【解析】 【分析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．
（2）根据[]20,3
x π
π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,
]6
3
ππ
上的单调区
间． 【详解】
解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+
1sin 22sin(2)23x x x π==-，
即()sin(2)3f x x π=-
故函数的周期为22T ππ==，最大值为1． （2）当2[,
]63
x ππ
∈ 时，[]20,3
x π
π-∈，
故当023
2
x ππ
-时，即5[
,]612
x ππ
∈时，()f x 为增函数； 当
22
3
x π
π
π-
时，即52[
,]123
x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
23．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7
- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ?菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ?平面ABEF ，∴AD AG ⊥，
∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ?=，∴AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2
=
， 故()A 000，，，33C 12??- ? ???，，，()D 001，，，3A 002??
???，，， 则3312AC ??=- ? ???
，，，()001AD =，，，3002AG ，，??= ???， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =，，，则11
111133
·022
·0AC n x y z AD n z ?=-+=???==?
， 取13y =，得()
11
30n ，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =，，，则22222233
·10223
·02
AC n x y z AG n x ?=-+=????==??
， 取22y =，得()
2023n ，
，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212
|?|2321
cos θ727·n n n n =
=
=?， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为21-
. 【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往
往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
24．132x x ??-<
?
【解析】 【分析】
由不等式的解集和方程的关系，可知
1
2
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为
1
2
，2； 由根与系数的关系得552
21a a
?-=????-=??解得2a =-．
所以原不等式化为2530x x +-<解得1
32
x -<< 所以不等式解集为132x x ??-<<
????
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）1
12n n
n T -=-- 【解析】 【分析】
（1）运用数列的递推式：11,1
,1
n n n S n a S S n -=?
=?->?，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；
（2）结合（1）求得13
22n n n
a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛
1
2n
n a +｝的前n 项和n T . 【详解】
（1）因为11,1,1
n n n S n a S S n -=?=?->?，()2
5n S n n n N +=-∈
所以114a S ==-, 1n >时,()()2
2
515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈
（2）因为13
22n n n
a n +-=， 所以12121432222
n n n n n T -----=
++???++ 23112143
22222
n n n n n T +----=++???++ 两式作差得：121
1
211322222n n n n T +--=++???+- 化简得11
11222
n n n T +-=--， 所以1
12
n n n T -=--. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证. 【详解】 证明：（1）
EF 是111D B C ?的中位线，
11//EF B D ∴.
在正方体1AC 中，11//B D BD ，
//EF BD ∴.
,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.
（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.
11,Q AC Q α∈∴∈.
又Q EF ∈，Q β∴∈， 则Q 是α与β的公共点，
a PQ β∴?=.
又11,AC R R AC β?=∴∈.
R a ∴∈，且R β∈，
则R PQ ，故P Q R ，，三点共线. 【点睛】
本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题
2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)