2020直线的倾斜角和斜率习题与答案

直线的倾斜角和斜率

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是（）

（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα （B ）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为（）

（A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3

3．直线y =x cosα+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是（）

（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π

]∪[4

3π,π)

4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（）

（A ）4π （B ）54π （C ）4π或54

π （D ）－4π

5．已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－5

，则直线l 的斜率为（）

（A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－3

二．填空题：

7．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .

9．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 .

10．若经过点A (1－t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .

提高卷

一．选择题：

1．已知，A (－3, 1)、B (2, －4)，则直线AB 上方向向量AB 的坐标是（）（A ）(－5, 5) （B ）(－1, －3) （C ）(5, －5) （D ）(－3, －1) 二．填空题：

6．若直线k 的斜率满足－3

，则该直线的倾斜角α的范围是 .

7．若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .

8．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为；倾斜角为 .

9．已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .

三．解答题：

11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。 12．已知{a n }是等差数列，d 是公差且不为零，它的前n 项和为S n ，设集合A ={(a n , n

S n

)| n ∈N }，若以A 中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率。

综合练习卷

一．选择题：

1．下列命题正确的是（）

（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应（B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα

2．过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－2

，则a 等于（）

（A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）4

3．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为4

，则b 的值是（）

（A ）－1 （B ）1 （C ）－5 （D ）5

4．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（）（A ）k 1

5．已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（）

（A ）21(π+α+β) （B ）21

(α+β)

（C ）21(α+β－π) （D ）2

(β－α)

二．填空题：

7．已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2

)在同一直线上，则m 的值为 .

8．已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .

9．若α为直线的倾斜角，则sin(

－α)的取值范围是 . 10．已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 . 三．解答题：

11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。

1、直线013=++y x 的倾斜角中

（）

A ． 6

π B ． 3

π C ． 3

2 π

D ．6

5π

2、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围

3、△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率。

1、已知点M （2，2）和N （5，－2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。

2、直线l 上有两点M （a ，a+2），N （2，2a-1），求l 的倾斜角θ。

3、两个定点),(111y x P

、),(222y x P 和一个动点P （x ，y ），若P 与1P 、2P 三点共线，那么x 、y 应满足什么关系？

直线的倾斜角与斜率(教学设计)

2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计方案 2014年11月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案【授课对象】计算机网络专业二年级学生【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率【授课类型】课堂教学【授课时间】1课时【教材分析】直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。【学情分析】教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。【教学目标】根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标：（一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。（二）能力目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。（三）情感目标通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。【教学重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；难点：斜率公式的推导。

突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。【教学策略】 1．教学方法：问题探究法课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。【教学设备】多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。【设计思路】首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。

直线的倾斜角与斜率的关系

课件1 直线的倾斜角与斜率的关系课件编号：ABⅡ－3－1－1．课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系．课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O．（2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）．图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）．图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P.

（5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）．图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色．（8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”．图4

沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案

直线的倾斜角和斜率【教学目标】 1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想．【教学重点】斜率概念理解与斜率公式【教学难点】斜率概念理解与斜率公式【课时安排】 1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入： 1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。 3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。提问：

（1）哪些条件可以确定一条直线？（2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？（3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？（4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0

直线的倾斜角和斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的： 1.了解“坐标法” 2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角 5.培养学生“数形结合”的数学思想. 教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程. 教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一.知识背景与课题的引入 1.从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课 1问题1 对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗? 分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角. 注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0° 问题2

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法与手段：计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索

专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点知识讲解

专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点

直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即基础卷一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为（A ）3 （B ）－3 （C ） 33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为

(完整版)直线的倾斜角与斜率教学设计

普通高中课程标准实验教科书（北师大版）数学必修2第二章第二节直线的倾斜角和斜率

尝试探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可）思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？（让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、直线斜率的概念一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化升高量

尝试探究形成概念对取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于情况由左向右上升垂直于x 轴由右向左上升的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率, 比较两种方法解题思路不同. 0 x y

直线的倾斜角斜率知识点例题

直线的倾斜角和斜率（一）一、知识点： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率王新敞 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____王新敞因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是___________王新敞倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率王新敞二、范例：例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率. 例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4 3π 例3、判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）

A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4 π 2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 . 4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 . 5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 . 6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考：如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为

直线的倾斜角与斜率教学设计)

3.1.1倾斜角和斜率一、教学目标： ⒈知识与技能目标： (1)正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性； (2)理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系； (3)理解直线的斜率的存在性； ⒉过程与能力目标： ⑴经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想； ⑵经历代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法； ⑶初步体验坐标法，感受数形结合的思想。通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。 ⒊情感、态度与价值观目标： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力； (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、教学重难点：教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念；教学难点：斜率概念的学习。三、教学用具：多媒体教学设备、黑板．四、教学方法：启发、引导、讨论.教学过程中，在教师的引导与组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现教学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程。五、教学过程：（一）导入新课：我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线．那么, 经过一点P作直线能作出多少条直线? 如图, 过一点P可以作无数多条直线，显而易见,答案是否定的.这些直线区别在哪呢? x （二）讲授新课：引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同．那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 = 0°.

直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

直线的倾斜角与斜率讲义一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

直线的倾斜角与斜率测试题(含答案)

直线的倾斜角与斜率一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知直线，则该直线的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的倾斜角 2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线平行，则m的值为( ) A.0 B.-8 C.2 D.10 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式 3.已知过点M(2m+3，m)和点N(m-2，1)的直线MN的倾斜角为钝角，则m的范围是( )

A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式 4.若直线沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位，回到了原来的位置，则直线( ) A.斜率不存在 B.斜率为 C.斜率为 D.斜率为-3 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线的斜截式方程 5.设直线的倾斜角为，且，则满足( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜率 6.若点在以，，为顶点的△ABC的内部（不包括边界），则的取值范围是( )

A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜率 7.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线与线段MN相交，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线 8.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

高中数学-直线的倾斜角和斜率教案

3.1.1直线的倾斜角和斜率教案教学目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程；掌握过两点的直线的斜率公式。情感态度与价值观： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：一、直线的倾斜角的概念 1.我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 2.引入直线的倾斜角的概念: 当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°；当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向。因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 二、直线的斜率前进量升高量度比（倾斜程度），即：坡表示倾斜面的“坡度”比” 用“升高量与前进量的日常生活中，我们经常

直线的斜率和倾斜角

教学目的： 1、理解倾斜角与斜率的概念; 2、认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题教学重点教学难点授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：教学过程一、复习 1、直线方程 2、点方向式方程 3二、讲解新课 1、概念引入（1）倾斜角的定义给出一些与x 轴相交的直线（如1,1,y x y x x =-=--倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念. 若直线l 与x 轴相交于点M ，将x 轴绕点M 的最小正角α叫做直线l 的倾斜角. 那么3y =的倾斜角怎么规定呢？当直线l 与x 规定其倾斜角0α=. 根据定义，直线的倾斜角α的取值范围是[0,)π.（2）斜率的定义当2 π α≠ 时，记α的正切值为k ，把tan k α=叫做直线l 的斜率；当2 π α=时，直线l 的斜率k 不存在. 2、概念深化随着倾斜角α在[0,)π内的取值逐渐增大，斜率的值

如何变化呢？当2 π α≠ 时，斜率tan k α=存在，作出tan y α=在[0, )(,)22 π π π的图像，正切函数tan y α=在区间[0, )2π 为单调增，在区间(,)2 π π内也是单调增，但在 [0,)(,)22 ππ π内，却不具有单调性. 得到以下结论： (1)02 π α≤< 随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，[0,)k ∈+∞. (2) 2 π απ<< 随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，(,0)k ∈-∞. 反之，0,(0, );0,0;0,(,).22 k k k >∈==<∈π π αααπ时时时 3、直线l 的倾斜角α、斜率k 、方向向量d 之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？（1）已知倾斜角α 当2 π α≠ 时，tan k α=；当2 π α= 时，斜率k 不存在. 方向向量(cos ,sin ),0d r r r αα=≠.特别地，当2 π α≠ 时，显然cos 0r α≠，则 cos sin ( ,)(1,)cos cos r r k r r αα αα =也是直线的一个方向向量. （2）已知斜率k （2 π α≠）当0k ≥时，由[0,)2π α∈，故倾斜角arctan k α=；当0k <时，由(,)2 π απ∈，故arctan k απ=+. 由于2 π α≠ ，直线的一个方向向量(1,)d k =. （3）已知一个方向向量(,)d u v = 当0u =时，直线垂直x 轴，k 不存在，2π α= ；当0u ≠时，(1,)v d u =也是一个方向向量，而k 存在，再由上面的分析知(1,)k 也是方向向量，故v k u =（这个结论

人教版必修二直线的倾斜角和斜率(教案)

直线的倾斜角和斜率(教案) 一、内容和内容解析内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。课本借助“坡度”引出斜率概念。定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。 “坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。教学重点：斜率概念及公式。二．目标和目标解析目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。目标解析： 1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。 2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。 3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。 4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。三．教学问题诊断分析 1．两点确定一条直线是学生知道的。但如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。 2．引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以应将重点放在引导学生体会如何从形转化到数的过程上，知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度。

直线的倾斜角与斜率(老师版)

3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2 在平面直角坐标系中，过定点P 的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同． 1．倾斜角的定义 (1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． (2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠2 2 . 思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°

知识点三直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－α D ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D 解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l 1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l 1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________．答案 60°或120° 解析有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 类型二直线的斜率例2 直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3 ＝0. 由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°. 反思与感悟应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x 轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．跟踪训练2 (1)若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m ＝________. (2)经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m ≥1)．答案 (1)2 (2)0°<α≤90° 解析 (1)tan 45°＝2－3 1－m ，得m ＝2.

《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)

《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标 (一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上．

∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角

直线的倾斜角与斜率练习题

直线的倾斜角与斜率练习题．直线的倾斜角与斜率练习题分得评卷人

一．选择题（共16小题）2﹣3x﹣1=0的两根，则l与l的位置关系是1．直线l、l的斜率是方程x2121）（．垂直D．相交但不垂直 B．重合 A．平行C）的倾斜角为（ x+y﹣1=02．直线． B． D． A．C3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为 α，则α的值是（） C．．A B．D．4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）C．120° D．150°A．30° B．60° 5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于）（ A．2 B．3 C．9 D．﹣96）．直线的倾斜角是（ A．30°D．120°．60°．45°B C7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°） B．[0°，180°） C．[90°，180°） D．（90°，180°）8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l 的斜率为（）．D． B．﹣ CA．﹣），则此直线的倾斜角为（）9．若直线过点M（1，2），N（4，2+．90°D．60°．45° CA．30° B10．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）．2 D．2 C1或﹣．﹣1 A．B页）10页（共2第 11．若直线l：ax+2y+a+3=0与l：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为：21）（ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或212．直线L：ax+3y+1=0，L：2x+（a+1）y+1=0，若L∥L，则a的值为（）212123或﹣2 D．3 B．2 C．﹣3或A．﹣13．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）3．1或﹣1 D．﹣1 B．1 C．A2﹣1=0垂直，则a=y+a（）ax+2y+6=0：与直线l：x+（a ﹣1）14．若直线l212．﹣1 D． CA．2 B．．以下四个命题：15①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④16．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）．垂直B．平行 A D．与a，b C．斜交，θ的值有关

2020直线的倾斜角和斜率习题与答案

直线的倾斜角与斜率(教学设计)

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沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案

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直线的斜率和倾斜角

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