高一数学必修一三角函数的概念及公式

三角函数的概念及公式

教学目标

1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积；

2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值；

3、同角三角函数的基本关系；

4、掌握诱导公式及应用。

重瞬占分析

重点:''1、角度、弧度的转化；

2、同角三角函数基本关系；

3、诱导公式。

难点：1、角度的表示；

2、同角三角函数值的求解；

3、诱导公式的变换。

知识点梳理

1、角度槪念：角可以看成是平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形。

2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角：若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、彖限角：角的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

4、终边相同的角：所有与角&的终边相同的角，连同Q在内，可构成一个集合S=___________________ , 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

6、弧度制与角度制的换算关系式：兀弧度=180°.

7、在弧度制下，弧长公式为l = a?R、扇形而积公式为S = -l?R.(α为圆心角，R为半径)

2

8、一般的，设角Q终边上任意一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为厂，那么

(1)上叫做α的正弦，记作Sina；

r

(2)艺叫做a的余弦，记作COSa ；

(3)上叫做α的正切，记作tana。

X

9、同角三角函数关系的基本关系式

(I)平方关系：sin2 x + cos2 x = l (2)商数关系：UmX =竺上

COSX

10、同角三角函数基本关系式的常用变形

(1) sin2a = ______________ ； cos2a ≡_____________ ；

(2)(Sina+ cosa)2=_________________ ；(Sina_cos&)'=_________________

(3)Sina COSa= =_________________ 。

注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意

(1)注意“同角”，至于角的形式无关重要，如siι√4a+cos2 4a = 1等：

(3)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如: CoSa = ±√l-sin2a,开方时要注意正负。

11、诱导公式：奇变偶不变、符号看彖限。

知识点1：终边角（终边相同、终边在一直线上）的表示

【例U（1）写出与-35°角终边相同的角的集合；

（2）在（1）的集合中，将适合不等式一720° Sα≤ 1080"的角α求出来。

【随堂练习】

1、与610°角终边相同的角可表示为【】

A.k?360° ÷230o , kWZ BW?360° +250o , ?∈Z

Cjt 360° +70° , k∈Z DJt?360° +270o, Λ∈Z

2、与一457。角的终边相同的角的集合是【】

A?{αlα=457o+??360o, k∈Z} B.{αlα=97o÷Λ?360% k∈Z}

C. {αlα=263o+??360o, k∈Z}D?{αlα=-263o÷^360o, k∈Z}

3、与20iσ7终边相同的最小正角是__________ ,绝对值最小的角是 ________________

【例2】若α=??180o+45o, k∈乙则α是第_____ 象限角【】A?一或三 B. 一或二 C.二或四D?三或四

【随堂练习】

1、在0°到360°范围内，与角一60°的终边在同一条直线上的角为____________ ?

知识点2：象限角的表示

【例1】已知α是第二彖限的角，问：

（1）2d是第几象限的角？（2）3是第几象限的角？（3）△是第几象限的角？

2 3

【随堂练习】

1、已知Q为第三彖限角，则△所在的象限是【】

2

A.第一或第二象限

B.第二或第三象限

C.第一或第三象限

D.第二或第四象限

2、若&为第一象限的角，则纟、△分别是第几象限的角？

2 3

【例2】如图，分别写出适合F列条件的角的集合:

（1）终边落在射线OB上；

（2）终边落在直线OA上；

<3）终边落在阴影区域内（含边界）。

知识点3：角度与弧度的转换

【例1】下列转化结果错误的是【】

A. 60。化成弧度是彳

B. 一罟π化成度是一600。

C. -150°化成弧度是一召

D.为化成度是15。

【例2】（1）、一570° = _ 弧度，是第_象限的角；

3

（2）、-π=_______ 度，与它有相同终边的角的集合为_____________ ,在［~2∏ , 0］上的角是

【随堂练习】

TT 4 TT

1、- =____ 度42」=_____ 弧度-—=_______ 度一210。=________ 弧度

6 3

2、三角形三内角的比是7： 8 ：15,各内角的弧度数分别是______ o

知识点4：弧长与扇形面积

【例1】已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为L,而积为S,若α=60o , R=IoCnK求扇形的弧长L和而积S。

【例2】设扇形的周长为6,而积为2,则扇形的圆心角是(单位：弧度)【

A?1B?4

C. πD?1或4

【随堂练习】

1、已知一扇形的中心角是Q ,所在圆的的半径是R O若α = 75?R^?2cnιa求扇形的弧长及该弧所在弓形面积。

2、若扇形的周长为10c∕n,而积为4cm2.求圆心角α?

知识点5：三角函数值

【例1］已知角a的终边过点P(4,-3)侧SilIa= ____ ,COS a =______ 、tana = ____

2

【随堂练习】

IX 已知角α的终边在直线3x+4y = O 上，求Sin a , COSa , tana 的值.

【例2】讣算下列角度的各个三角函数值

【例 3】cos300 = _____ , sin(-150 )= ______

【随堂练习】

知识点6：已知一个三角函数值，求它的其余三角函数值

【例1】已知&是第二象限的角，tanα = -l,贝IJCoSa= ________ a

2

【随堂练习】

4

IX 若Sin^ =tan~>O,则COS^= ________________ 。

3

2、若CoSa = —一 , αw(-,龙)，贝IJtana 二 ___

5 2

1、sin-= ______ 3

π

COS-= ______ 2 Sin 210 = _____

19 6 SIn -—

6

tan 690 = _____

3、已知sin — ^是第—象限的角，则coS-【

4

'。是第四象限角'ta 11a = --,PlUsina=—

知识点7:利用Sina±cosα与Sina ?cosα之间的关系解题

【例 1】已知 Sina-CoSa=则 Sina ?cosa= ___________ 。

【例 2] sin 4

^-COS θ = - , a 为第二象限的角，贝∣J COS a = __ , Sin a= ______

3

【随堂练习】

1、 若 sin0 + cosθ =、总，贝IJSin^COS^= ___ J

2

2、 若a 是三角形的内角，且Sina +cosa=予 则这个三角形是【

】

A.等边三角形 C.锐角三角形

知识点8:己知角&的正切函数值，求含Sina 与CoSa 的齐次式的三角函数值 【例1】若空空竺竺=3,则Rma= _____ o

sin σ-cos a

【例2】已知Mna =——,贝IJSina COSa 等于【

2

√5τ

1 - 9

C.

1 - 9

B.

√5τ

B.直角三角形 D ?钝角三角形

2

?B?^?D?i?

【随堂练习】

IX 若 tanα =

2 ,

则 Sina ÷cosα+c θs= Sina-COSa 2、已知=2,讣算下列各式的值: SIn a —cos a. 3sin a —cos a

"1 2sin a+3cos a

知识点9：诱导公式

【例1】利用诱导公式进行下列化简

sin(2∕r + a)= ____ , sin(∕r + a)= ____ , Sin(Tr-tz)= _____ , sin(2∕r -a) =

cos(π + a) = _______ , cos(π-Ct) = _________ , cos(2∕r 一 a)= ________ 。

Sin(K + a)cos(2π 一 a)sin(-a + -—) tan a 【例2】已知&是第三象限的角.且f(a) =-------------------------------- 2 ------

sin(Λr 一 a) cos(--a) (1) 化简 /(α):

(2) 若COS@ —)=—,求/ (α)的值:

(2) sin 2

a~2Sin acos a÷ 1 o

CoSs =

S 宀卜 I 2 ) ---------- (3π COS --- a =

(3) 若α = -1860°,求/(α)的值。

3、已知sin(540β+α) = -≤,则cos(α-270β

)= _________

4、若次为第二象限角，则［Sin(180C -Cr)+

c

°

scσ~36OB)I

^ ________________

【随堂练习】

sin(- + θ) 一 cos(龙 一 θ)

1、已知tan8 = 2,则——Z --------------

sin(-- Θ) 一 sin(π

一 Θ) 2

sin(-α - —)cos(- - α) tan 2

a 2、化简 ---------- 2 ------ 3 ----------

cos(y - α) SinG +

⑴

-tana

sin(-α) + sin(-90 -(Z)

5x 若Sin(180 +α)=

cos(540 -α) + cos(-270 —α)

知识点10：综合应用

【例1］已知SinS+α)=Λ且α是第四象限角，则cos(α—2兀)的值是【：

5

3 3 3 4

(A)-- (B)- (C)±- (D)-

5 5 5 5

【随堂练习】

3

IX 若cos(α +≤a < 2π.则sin(-α-2龙)的值是【】

A. -

B. --

C. -

D.--

5 5 5 5

2、已知αe(0, ?y), COSa =丰 > 则sin(∕-o)= _______ ?

【例2】已知sin(f + α) = W,贝IJSin(--σ)值为【】

4 2 4

1 1 √3√3

A. —

B. —-

C. —

D.——

2 2 2 2

【随堂练习】

1、已知cos(-+ α) = ^-,则cos(-+ σ)=_________ 。

6 3 6

2、已知sin(α--)=-,则cos(α + -)的值为

4 3 4