高中数学数列专题练习精编版

高中数学数列专题练习（精编版）

1.已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:

11111321<++++n

a a a a Λ； (3)设1log 22+=n n a

b ,求数列{}n b 的前100项和. 2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++L ， (3)12||||||n n T a a a =+++L ,n N +∈

3.已知数列n n 2,n a =2n 1,n ???为奇数；

－为偶数；

，求2n S

4.已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且

11=a .

(1)求证:数列?

????-n n a 231是等比数列;

(2)求数列{}n b 的前n 项和n S .

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？

6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5

1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n

的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7.在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；

(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．

8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。（1）求a 1和a 2的值；

（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；

（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。

9.已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112

n n n S S a --=++，数列{}n b 满足1119

4b =-且

13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．

（１）求{}n a 的通项公式；

（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值． 10.已知等差数列{}a n 的前9项和为153．

（1）求5a ；

（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .

11.已知曲线C ：x y e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x

轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．

（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式；（Ⅱ）求1n

i i i x y =∑．

12.在数列{}

)0,(2)2(,2111

>∈-++==*++λλλλN n a a ，a a n n n n n 中

（1）求证：数列2

{

()}n n

a λλ

-是等差数列；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

13.在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，

（1）求46a a +的值．

（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．

（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ??????(t 为正整数)满足5<1n <2n

31t 5n n a , a ,a , ,a , ??????成等比数列，当32a =时，用t 表示t n

14.已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =;②()f x 的最小值为1

(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;

(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T ,且()

45f n n T ??

= ???

,求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项,试问数列{}n b 中第几项的

值最小?求出这个最小值.

15.已知函数f （x ）=x 2

－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）（n ∈N +），（Ⅰ）用x n 表示x n+1；（Ⅱ）若x 1=4，记a n =lg

n n x x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛n x ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.

数列专题练习参考答案

1.解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .

则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,28

4,2

q ∴== 又()0,22n a q >∴=L L 分

∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=?=分L L . ∴数列{}n b 的前100项和是()10010099

1003210200122

S ?=?+

?=分L L

2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－

(3)2

9 , 5

409, 5

n n n n T n n n ?≤?=?+>??－－ 4.解：证法1:∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,

∴??

?==+++.

211n n n n n n a a b a a

由n n n a a 21=++,得??

???--=?-++n n n n a a 23123111,

故数列?

????-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.

证法2:∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,

∴??

?==+++.

211n n n n n n a a b a a

∵n

n n n n

n n n n a a a a 2

312231231111?-?--=?-?-+++1231231-=?-??? ???--=n n n n a a , 故数列?

????-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.

(2)解:由(1)得()1131231--?=?-n n n a ,即()[]

n n a 1231--=.

∴()[]()[]

1112129

1+++--?--==n n n n n n n a a b

()[]

1229

112---=+n

n . ∴n n a a a a S ++++=Λ321

()??

???----=+21122311n n . 6.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－5

1)万元，… 第n 年投入为800×(1－5

)n －1万元，所以，n 年内的总投入为

a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑

=n k 1

800×(1－51)k －1

=4000×［1－(5

4)n ］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+4

1)，…，第n 年旅游业收入400×(1+4

)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为

b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑

=n k 1

400×(45

)k －1.

=1600×［(4

5)n －1］

(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即： 1600×［(4

5)n －1］－4000×［1－(5

4)n ］＞0，令x =(5

4)n ，

代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜5

2，或x ＞1(舍去).即(5

4)n ＜5

2，由此得n ≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 7.

8.解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2 a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4 ···3分

（2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2，又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∈≥ ∴a n =2a n -2a n -1， ∵a n ≠0，

∴

*),2(21

N n n a a n n

∈≥=-，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P (b n ，b n +1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n +1+2=0，

∴b n +1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1， ···8分

（3）∵c n =(2n -1)2n

∴T n =a 1b 1+a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n -1)2n ， ∴2T n =1×22+3×23+····+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1

因此：-T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n -1)2n +1，即：-T n =1×2+(23+24+····+2n +1)-(2n -1)2n +1， ∴T n =(2n -3)2n +1+6 ··14分

9.解：(1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+,11

n n a a --=……2分

∴111

(1)24

n a a n d n =+-=-……………………………………4分

(2)∵13n n b b n --=,∴111

n n b b n -=+,

∴1111111111113()3

32436432

n n n n n b a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+;

∴由上面两式得1113n n n n b a b a ---=-,又1111913044

b a -=--=-

∴数列{}n n b a -是以-30为首项,1

为公比的等比数列.…………………8分

(3)由(2)得1130()3n n n b a --=-?，∴111111

30()30()3243

n n n n b a n --=-?=--?

=221111130()(1)20()02

n n --+?-=+?>，∴{}n b 是递增数列………11分

当n =1时,11194b =-<0；当n =2时,23104

b =-<0；当n =3时,3510

43b =-<0；当n =4

时,4710

b =

->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且31101(135)3010414

S =++---=-…………………………13分 10.解：（1）15392

292)(955

919==?=+=

a a a a S Θ175=∴a ………5分

（2）设数列{}a n 的公差为d ，则???==∴??

?=+==+=3

517

11512d a d a a d a a 23+=∴n a n ………9分

S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n -…12分

11.解：（Ⅰ）∵x y e '=，

∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0， ∴点1P 的坐标为()0,1．……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），

∴曲线C ：x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x x n y e e x x -=-，……4分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．

∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列． ∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ）……8分（Ⅱ）∴1122331......... n

i i n n i x y x y x y x y x y ==++++∑

……14分

12.解：（1）由1*1(2)2,(,0)n n n n a a n N λλλλ++=++-∈>，可得

所以2

{

()}n n

a λλ

-是首项为0，公差为1的等差数列.

（2）解：因为

()1n n

a n λλ

-=-即*(1)2,()n n n a n n N λ=-+∈

设2312(2)(1)n n n T n n λλλλ-=++???+-+-……①

3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++???+-+-……②

当1λ≠时，①-②得2341(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++???+--

13.解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，

则546462a a a , a a 12=+∴+=……………………3分（2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a =

则()11233014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=??=∴=-?+=?n N *∈

又235m a a a =Q 则()3631m 3

a , 12=

m , m=92

=∴-∴………7分（3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2=

则1124461n a d 2 d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=??=-∴=-∈?+=? 又因为公比536

a q , a =

==首项32a =，123t t n a +∴=? 又因为112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=?=+n N *∈…………12分

14.解:(1)由题知:200148a b a b a

?+=??>???-=-

??,解得1212a b ?=???

?=-??,故211()22f x x x =-.………2分 (2)22

1245n n n n T a a a -??

== ?

??L ,

2(1)(1)

11214(2)5n n n n T a a a n -----??

==≥ ?

L ,

14(2)5n n n n T a n T --??

∴==≥ ?

又111a T ==满足上式.所以1

4()5n n a n N -*??

=∈ ?

……………7分

(3)若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项,则25()n n n f a b a ?=+,

从而21110()22n n n n a a b a -=+,得2239

565()55

n n n n b a a a =-=--.

因为1

4()5n n a n N -*??=∈ ?

??是n 的减函数,所以

当3

n a ≥

,即3()n n N *≤∈时,n b 随n 的增大而减小,此时最小值为3b ;

当3

n a <,即4()n n N *≥∈时,n b 随n 的增大而增大,此时最小值为4b . 又3433

a a -

<-,所以34b b <, 即数列{}n b 中3b 最小,且2

3442245655125b ??????

=-=-?? ? ?????????

.…………12分

15.解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．

所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2

(4)2()n

n n y x x x x --=-．令0y =，得2

1(4)2()n

n n n x x x x +--=-．即2

142n

n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴12

2n n n

x x x +=

+．（Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理2

1(2)22n n n

x x x +--=．

故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122

lg 2lg 22

n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成

等比数列．故1111

112

22lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32

n n n x x -+=-．从而1

2232n n n x x -+=-所以1

1222(31)31

n n n x --+=- （Ⅲ）由（Ⅱ）知1

222(31)3

n n n x --+=

-，

∴1242031n n n b x -=-=>-∴1

11112122223111113313133

n n n n n n b b ----+-==<≤=-+

当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111

()()333n n n n b b b b ---<<<

∴12n n T b b b =+++L 111111()33n b b b -<+++L 11[1()]

3113

n b -=-133()33n =-?<．

综上，3n T <(*)n N ∈．

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

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高三文科数学数列专题高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n；（ 2）若S n242 ，求 n ；（ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列；（2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n；（ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；

1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式；（ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式；（ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n；（2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。【方法点评】方法一公式法解题模板：第一步结合所求结论，寻找已知与未知的关系；第二步根据已知条件列方程求出未知量；第三步利用前n 项和公式求和结果例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ．【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+．等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ．自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和方法二分组法解题模板：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n .

人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版

——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门

———综合训练篇一、选择题： 1．在等差数列中，，则的值为（ D ）{}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a （ C ）A ．66 B ．144 C ．99 D ．297 4．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3

6．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则的值为（ C ） A ． B ． C ． D ．a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8．已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A ．最大项为最小项为 B ．最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C ．最大项不存在，最小项为 D ．最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若

高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲 1．公式法求和（1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项（ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。例 1．求数列 1，4，7，，3n 1 的所有项的和例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 )

2．分组法求和例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。和，可由S n qS n求 S n，其中q 为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1

高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以

高二数学数列专题练习题含答案)

高中数学《数列》专题练习 1．n S 与n a 的关系：1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=? ->?? ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a =1S ； 2≥n 时，n a =1--n n S S 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列

3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法( n n n c a a =+1 型)；(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??；(5)构造法(b ka a n n +=+1型)；(6)倒数法等 4.数列求和 (1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。 5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当0,01<>d a 时，满足?? ?≤≥+001 m m a a 的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01>

高中数学数列求和专题复习_知识点_习题

数列求和例题精讲 1．公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2 ) 1(2)(2)(111-+=+=+= -+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n = 1≠q 时 q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）前n 个正整数的和 2 )1(321+= ++++n n n 前n 个正整数的平方和 6) 12)(1(3212222++= ++++n n n n 前n 个正整数的立方和 2 3333]2 )1([321+=++++n n n 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。例1．求数列13741+n ，，，，的所有项的和例2．求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n )

2．分组法求和例3．求数列112，124，138，…，1 2 n n +，…的所有项的和。例4．在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （1）设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 3．错位相减法求和 {}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n {}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n - 例7．求和12321-++++n nx x x （0≠x ）。

4．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。例8．求和) 12)(12(1 751531311+-++?+?+?n n 。例9．求和n n +++ +++ ++ +113 212 311 21 。 5 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++??? ? ?--121121…………相加 ()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ? ??= 22 11212313414

(完整版)高中数学数列专题练习(精编版)

高中数学数列专题练习（精编版） 1. 已知数列{}()n a n N * ∈是等比数列,且1 3 0,2,8.n a a a >== (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证: 11111321<++++n a a a a Λ； (3)设1log 22+=n n a b ,求数列{}n b 的前100项和. 2.数列(1)(2)设 (3) n T 3. ? 4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且

11=a . (1) 求证: 数列? ?? ????-n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S . 5. 6. 划，万元，(1)b n 的表达式； (2) 7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．

8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。（1）求a 1和a 2的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。 9. 已知119 4-且 13n n b b -- 10. 已知等差数列{}a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .

高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和（ 1 ）等差数列前项和公式（ 2 ）等比数列前项和公式时时（ 3 ）前个正整数的和前个正整数的平方和前个正整数的立方和公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值；（ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。例 1 ．求数列的所有项的和例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。

例 3 ．已知数列中，，求。练习 1 、求和：练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若的值 . 例 3 ．数列中，，求。例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和例 1 、练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；；；； * ；例 1 ．求和。例 2 ．求和。练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足（ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式；（ II ）求和

决战2020年高考数学(理)数列专题：数列的求和(裂项相消法求和)(解析版)

数列数列的求和（裂项相消法求和）一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+；等比：11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ()2 1321+= ++++n n n Λ； n n n +=++++22642Λ； 2531n n =++++Λ； ()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2 3 33321321?? ????+=++++n n n Λ （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， q a S -= 11 【考点讲解】

那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝,,n n b n c n ?????为奇数为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．形如：n n b a +其中???? ?是等比数列是等差数列n n b a ，()()???∈=∈-==** N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求2 2222212979899100-++-+-Λ的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： 111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ?? =- ?-+-+?? 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++?? ；n n n n -+=++11 1. 1.【2019年优选题】 +?411+?741Λ+?10 71=+-+)13)(23(1n n ( ) 【真题分析】

高中数学竞赛专题之数列

高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下：性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。性质2：若}{n a 为等差数列，且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ，那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 （脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ，那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ，那么 }{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 1 32+=n n T S n n ，则=∞→n n n b a lim （）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（） A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 3 3131 3++=n n T S n n （1）求2828a b 的值，（2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。

高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2．通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11（q )1≠ 3．常用性质 }{n a 为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1）（2） ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4）若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5）若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数）（9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1 +n n a a S S ＝偶奇若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1 -n n S S ＝偶奇（10）???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(* N n m q a a m n m n ∈=- （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ）（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。

(推荐)高中数学全国卷数列专题复习

数列专题复习（1）一、等差数列和等比数列的性质 1、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 2、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A 5 B 7 C 9 D 11 4、已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a = A.2 B.1 1C.2 1 D. 8 5、等比数列｛a n ｝满足a 1=3， 135a a a ++ =21，则357a a a ++= A21 B42 C63 D84 6、等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + (D) ()12 n n - 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8、等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （A ） 13 （B ）13 - （C ） 19 （D ）1 9 - 9、已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += A7 B5 C －5 D －7 10、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 11、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________。 14、设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S k +2-S k =24，则k = (A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5 15、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1， b 1＋ c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝ 2n n c a +，c n ＋1＝2 n n b a +，则( )．

高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n （二）非等差等比数列前n 项求和 ② 数列n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 一般地，当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项：设1 2 n a an b an b λ λ = - ++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -，从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++

常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+ ③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中，1 1211++ ???++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值