雷达系统建模与仿真报告

设计报告一 十种随机数的产生

一 概述.

概论论是在已知随机变量的情况下，研究随机变量的统计特性及其参量，而随机变量的仿真正好与此相反，是在已知随机变量的统计特性及其参数的情况下研究如何在计算机上产生服从给定统计特性和参数随机变量。

下面对雷达中常用的模型进行建模： ● 均匀分布 ● 高斯分布 ● 指数分布 ● 广义指数分布 ● 瑞利分布 ● 广义瑞利分布 ● Swerling 分布 ● t 分布 ● 对数一正态分布 ● 韦布尔分布

二 随机分布模型的产生思想及建立.

产生随机数最常用的是在(0,1)区间内均匀分布的随机数，其他分布的随机数可利用均匀分布随机数来产生。

2.1 均匀分布

1>（0，1）区间的均匀分布：

用混合同余法产生 (0,1)之间均匀分布的随机数，伪随机数通常是利用递推公式产生的，所用的混和同余法的递推公式为:

1 n x =n

x +C （Mod m ）

其中，C是非负整数。通过适当选取参数C可以改善随机数的统计性质。一般取作小于M的任意奇数正整数，最好使其与模M互素。其他参数的选择

(1) 的选取与计算机的字长有关。

(2) x(1)一般取为奇数。

用Matlab来实现，编程语言用Matlab语言，可以用 hist 函数画出产生随机数的直方图（即统计理论概率分布的一个样本的概率密度函数），直观地看出产生随机数的有效程度。其产生程序如下：

c=3;lamade=4*200+1; x(1)=11; M=2^36;

for i=2:1:10000;

x(i)=mod(lamade*x(i-1)+c,M);

end;

x=x./M;

hist(x,10);

mean(x)

var(x)

运行结果如下：

均值 = 0.4948 方差 = 0.0840

2> （a,b）区间的均匀分布：

利用已产生的（0，1）均匀分布随机数的基础上采用变换法直接产生（a,b）

均匀分布的随机数。

其概率密度函数如下：

???

??-=01)(a

b x p b x a x b x a ≥≤≤≤, 其产生程序如下：

c=3;lamade=4*201+1; a=6;b=10; x(1)=11;M=2^36; for i=2:1:10000;

x(i)=mod(lamade*x(i-1)+c,M); end; x=x./M;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% i=2:1:10000; y(i)=(b-a)*x(i)+a; n=5:0.1:11;

hist(y,n),axis([a-1 b+1 0 max(hist(y,n))+20]); mean(y) var(y)

上面程序中取 a = 6,b = 10 .即（6，10）区间上的均匀分布。 运行结果如下：

均值 = 8.0070 方差 = 1.3311

2.2 高斯分布：

高斯分布的概率密度函数如下;

2

22)(21)(σσ

πu x e

x p --

=

其产生方法是在均匀分布随机数的基础上通过函数变换法来产生。产生步骤是①产生均匀分布的随机数。②产生服从标准正态分布的随机数。③由标准正态分布产生一般正态分布。

1> 标准正态分布 其部分程序如下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% i=1:1:10000;

u(i)=sqrt(-2*log(x(i))).*cos(2.*pi.*y(i)); v(i)=sqrt(-2*log(x(i))).*sin(2.*pi.*y(i)); n1=-5:0.2:5; n2=-5:0.2:5; subplot(1,2,1); hist(u,n1); subplot(1,2,2);

hist(v,n2);

mean(u)

var(u)

mean(v)

var(v)

运行结果如下：

均值 = -0.0182 方差 = 0.9910

2>一般正态分布

其部分程序如下：

a=2;b=2;

i=1:1:10000;

u(i)=sqrt(-2*log(x(i))).*cos(2.*pi.*y(i));

v=b*u+a;

n=-10:0.1:10;

hist(v,n);

mean(v)

var(v)

运行结果如下：

均值 = 2.0301 方差 = 4.0482

2.3 指数分布：

服从正态分布的信号通过线性检波器后其包络强度(功率)服从指数分布。其概率密度函数为：

x e x p λλ-=)( 0≥x

其产生方法亦有：①在均匀分布随机数的基础上产生指数分布。②在正态分布随机数的基础上产生该分布。产生程序分别如下：

程序1（部分）

lamade1=1 i=1:1:10000;

y(i)=-log(x(i))./lamade1; n=0:0.2:10; hist(y,n); mean(y) var(y)

运行结果：

均值 = 1.0140 方差 = 1.0292

程序2（部分）

i=1:1:10000;

s(i)=(u(i).*u(i)+v(i).*v(i));

n=0:0.3:25;

hist(s,n);

mean(s)

ar(s)

运行结果：

2.4 瑞利分布：

在雷达系统中载带信号的包络服从瑞利分布。

正态随机过程在其杂波载频

)

(

f上可以表示为：

t

t y t t x t c c c ωωsin )(cos )()(-=

其中)(t x 、)(t y 是服从

),(2

σμN 的相互独立的随机过程，检波器的包络幅度(电压):

22)()()(t y t x t v +=

服从瑞利分布)(σR 。 瑞利分布的概率密度函数为：

???

??<≥-?=0

,

00),

2ex p()(22

2x x x x x f σσ

其产生方法亦有：①在均匀分布随机数的基础上产生瑞利分布。②在正态分布随机数的基础上产生该分布。

其产生程序如下： 程序1（部分）：

segma=2; i=1:1:10000;

y(i)=segma*sqrt(-2*log(x(i))); n=0:0.2:10; hist(y,n); mean(y) var(y)

运行结果：

均值 = 2.5239 方差 = 1.7417

程序2（部分）：

i=1:1:10000;

s(i)=sqrt(u(i).*u(i)+v(i).*v(i));

n=0:0.1:10;

hist(s,n);

mean(s)

var(s)

运行结果：

均值 = 1.2537 方差 = 0.4317

2.5 广义指数分布

概率密度函数为：

)2()(0)(xs I e x p s x +-= 0≥x

式中： s-信噪比 部分程序如下：

s=8; i=1:1:10000; h(i)=u(i)+sqrt(2*s); z(i)=h(i).*h(i) +y(i).^2; n=0:1:60; hist(z,n);

运行结果：

均值= 17.1432 方差=69.0430

2.6 广义瑞利分布

)

(

)(2

022

2

22σ

σ

σAx

I e

x

x p A x +-

=

0≥x

2σA

a =

-信噪比

部分程序如下：

a=1;

s(i)=sqrt((u(i)+a).^2+v(i).^2); n=-1:0.2:15; hist(s,n); mean(s) var(s)

运行结果如下：

均值 = 1.5539 方差 = 0.6022

2.7 韦布尔分布

韦布尔分布模型的性能介于瑞利分布模型与对数一正态分布模型之间.海浪杂波和地面杂波都可以用它来表示，并且在一个相当宽的条件范围内它能精确地表示实际的杂波分布。

韦布尔分布的概率密度函数为：

a

b x x a e

b x x b a x p ??

? ??---??

?

??-=

01

0)(

x x ≥

式中：a-形状参数； b-比例参数； x0-位置参数； 该分布是在服从瑞利分布随机数的基础上用变换法产生的，其产生源程序（部分）及直方图如下：

a=3;b=2;m=5;

y(i)=m+b*(-log(x(i)).^(1/a)); y=m+b*((-log(x)).^(1/a)); hist(y,60); mean(y) var(y)

均值 = 6.7896 方差 = 0.4212

2.8 对数－正态分布

对数一正态分布模型可以用来表示高分辨率雷达在观察角小于

5时，观察到的海浪杂波，在低观察角时观察到的地面杂波也可用对数一正态分布模型，这类杂波通常是形状不规则的大反射体，例如远洋舰船，较大的空间飞行器，或者SAR 雷达观察到的城市等等。

其概率密度函数是：

2

2)/ln(21)(σσπu x e

x

x p -

=

均值 2

/2σ+=u e

， 方差

=)1(2

2

2-+σ

σe e u 其产生源程序及直方图如下：

i=1:1:10000;

u(i)=sqrt(-2*log(x(i))).*cos(2.*pi.*y(i));

%%%%%%%%% %%%%%%%% a=0.4; b=0.4; v=sqrt(b)*u+a; %%%%%%%%%%%%%%%%%% L=exp(v); hist(L,100); mean(L)

var(L)

均值 = 1.8499 方差 = 2.2399

2.9 Swerling 分布

雷达系统中两次回波幅度之差服从Swerling1型。其概率密度函数为：

?????=-01)(σσx

e x p 00

<≥x x

式中：σ可表示雷达反射回波功率或截面积或信噪比。 产生源程序（部分）如下：

rp=10; lamade1=1/rp; i=1:1:10000;

y(i)=-log(x(i))./lamade1; hist(y,100);

mean(y)

var(y)

其直方图如下：

均值 = 10.1319 方差 = 102.9242

2.10．t分布随机数

调用MATLAB函数trnd（）产生服从t分布的随机数

均值 = 0.0506 方差 = 7.7854

程序如下：

%产生满足t分布的随机数

clear;

clc;

y=trnd(2,1,2048); %自由度为2

hist(y,50);

mean=mean(y);

var=var(y);

设计报告二 产生两种相关随机变量

一、根据课本123页，产生相关随机序列的步骤：

（1）对功率谱进行采样，得到序列{}

^

n

S 。

（2）产生独立的[]

0,2π区间均匀分布的随机相位矢量序列[

]

n ξ，其总体均匀功

率谱等于1，即

2

n

ξ=1。

（3

）然后，给每个随机相位矢量乘以比例系数，得

^n x ξ=。

（4）最后取逆离散傅立叶变换得到相关随机序列

^

1

2/0

1,0,1,...,N j kn N

k n

n X X e

k N N π-==

=-

∑ 1

二、两种相关随机序列

（1）功率谱密度为均匀分布随机变量：

均匀分布功率谱采样产生的相关随机变

量

相关随机变量的功率谱

程序如下：

clear

fs=512;%设频率为512 x=rand(1,fs);

b=7;

a=3;

z=(b-a)*x+a;

Sz=fft(z,fs);

N=length(Sz);

Pz=abs(Sz.^2)/N;

fs1=512;%设频率为512

x1=rand(1,fs);

c=2*pi;

d=0;

z=(c-d)*x1+d;

xn=sqrt(Pz).*z;

xk=ifft(xn,fs);

e=mean(xk);%均值

d=std(xk)^2;%方差

Pz1=abs(xk.^2)/N;

n=0:0.05:100;

subplot(2,1,1);

plot((0:511),xk);

axis([0,100,0,2]);

title('均匀分布功率谱采样产生的相关随机变量');

subplot(2,1,2);

plot((0:511),10*log10(Pz1));

title('相关随机变量的功率谱');

（2）功率谱密度为正态分布随机变量：

正态分布功率谱采样产生的相关随机变量

-250-200-150-100-50050100150200250

相关随机变量的功率谱

0100200300400500600