初中概率论基础
第一章概率论基础
1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。
2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（）
（A）相互独立。（B）相互独立。
（C）两两独立。（D）两两独立。
3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则
（A）若,则一定独立；
（B）若,则有可能独立；
（C）若,则一定独立；
（D）若,则一定不独立；
4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有
（A）（B）
（C）（D）
第二章随机变量及其分布
1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。
2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为
，是的分布函数。求随机变量的分布函数。
3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
。
20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。
4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（
）
（A）（B）
（C）（D）
第三章多维随机变量及其分布
1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（）
（A）必为某一随机变量的概率密度。
（B）必为某一随机变量的概率密度。
（C）必为某一随机变量的分布函数。
（D）必为某一随机变量的分布函数。
2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为
，则。
3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为
，而的概率密度为，求随机变量的密度。
4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则
（A）与一定独立；
（B）服从二维正态分布；
（C）与未必独立；
（D）服从一维正态分布。
5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令
求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。
6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求：
（1）随机变量和的联合概率密度；
（2）的概率密度；
（3）概率。
7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为
0 1
0 1 0.4 0.1
已知随机事件与相互独立，则
（A），（B），
（C），（D）。
8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度；
（2）的概率密度；
9、（2006，数一，9分）设随机变量的概率密度为
，令,为二维随机变量的分布函数，求
（1）的概率密度；
（2）。
10、（2007，数一，4分）设随机变量服从正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为（）
（A）（B）
（C）（D）
11、（2007，数一，11分）设二维随机变量的概率密度为
，求：
（1）;
（2）求的概率密度；
12、（2008，数一，4分）设随机变量独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为 ( )
（A）（B）
（C）（D）
13、（2008，数一，11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记，求：
（1）求
（2）求的概率密度。
第四章随机变量的数字特征
1. 设随机变量和的联合概率分布为
X Y-1 0 1
00.07 0.18 0.15
10.08 0.32 0.20
(1)（02年考研，数学四，3分）和的相关系数___________。
(2)（02年考研，数学三，3分）和的协方差___________。
2.（02年考研，数学一，7分）设随机变量的概率密度为，对独立重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望。
3.（02年考研，数学三，8分）假设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量
试求(1)和的联合概率分布；(2)。
4.（03年考研，数学一，10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
乙箱中次品件数的数学期望；
从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
5.（03年考研，数学三，4分）设随机变量和的相关系数为0.9，若，则与的相关系数为______________。
6.（03年考研，数学四，4分）设随机变量和的相关系数为0.5，，则____________。
7.（03年考研，数学四，13分）对于任意二事件A和B，0 称作事件A和B的相关系数。 (1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零。 (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明。 8.（04年考研，数学一，4分）设随机变量独立同分布，且方差，令随机变量，则[ ] (A) (B) (C) (D) 9.（04年考研，数学一，9分）设A和B为两个随机事件，且 令 求(1) 二维随机变量（X，Y）的概率分布； (2)与的相关系数； (3) 的概率分布。 10.（06年考研，数学三，13分）设随机变量的概率密度为 令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求 (1) Y的概率密度； (2) ； (3) 。 11.（07年考研，数学四，11分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为 1 2 2/3 1/3 记， (1) 求（u,v）的概率分布； (2) 求u与v的协方差）cov（u,v） 12.（08年考研，数学一，4分）设随机变量，且相关系数，则[ ] (A) (B) (C) (D) 13.（08年考研，数学一，4分）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则_________ 第五章大数定律和中心极限定理 1.（01年考研，数学一，3分）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计______________。1/2 2.（01年考研，数学三，3分）设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式 __________________。1/12 3.（02年考研，数学四，3分）设随机变量相互独立，则根据林德伯格-列维（Lingdberg -Levy）中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要[ ] （A）有相同的数学期望. （B）有相同的方差 （C）服从同一指数分布. （D）服从同一离散分布. 4.（03年考研，数学三，4分）设总体服从参数为2的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_________________. 5.（05年考研，数学四，4分）设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则[ ] （A）（B）（C）（D） 第六章数理统计基础 1. ( 02年考研，数学三，3分)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（） (A) X+Y服从正态分布. (B) X2+Y2服从2分布. (C) X2和Y2都服从2分布. (C) X2/Y2服从F分布. 2. ( 03年考研，数学一，4分)设随机变量，求的分布.则（） (A) (B) (C) Y～F(n，1) (D) Y～F(1，n) 3. ( 04年考研，数学三，4分)设总体X服从正态分布X～N(1，2)，总体Y服从正态分布N(2，2)，X1，X2，…，X n1和Y1，Y2，…，Y n2分别是 来自总体X和Y的简单随机样本，则_________. 4. ( 05年考研，数学一，4分)设X1，X2，…，X n(n2)是来自总体N(0， 2)的简单随机样本，是样本均值，是样本方差，则（） (A) (B) (C) (D) 5. ( 05年考研，数学一，9分)设X1，X2，…，X n（n>2）是来自总 体N(0，2)的简单随机样本，其样本均值为，记 (1) 求的方差DY i，i = 1，2，…，n； (2) 求Y i与Y n的协方差COV(Y i，Y n). 6. (05年考研，数学四，13分)设X1，X2，…，X n（n>2）是独立同分布的随机变量，且均服从N(0，1)，记，记 (1) 求的方差DY i，i = 1，2，…，n； (2) 求Y1与Y n的协方差COV(Y1，Y n). (3) P{Y1 + Y2 0}. 7. ( 06年考研，数学三，4分)设总体X的概率密度为，X1，X2，…，X n 为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=__________. 第七章参数估计 1. (02年考研，数学一，7分)设总体的概率分布为 X0123 Pθ22θ(1 – θ)θ2 1 – 2θ 其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值． 2. (02年考研，数学三，3分)设总体X的概率密度为，而为来自X的简单随机样本，则未知参数的矩估计值为___________． 3. (03年考研，数学一，4分)已知一批零件的长度X（单位:cm）服从正态分布N(，1)，从中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则的置信度为0.9的置信区间为___________________．（注：标准正态分布函数值） 4. (03年考研，数学一，8分)设总体X的概率密度为，其中是未知参数，从X中抽取简单随机样本，记 (1) 求总体X的分布函数； (2) 求统计量的分布函数； (3) 如果作为的估计量，讨论它是否具有无偏性． 5. (04年考研，数学一，9分)设总体X的分布函数，其中未知参数，为来自X的简单随机样本，求(1)的矩估计量;的最大似然估计量． 6. (04年考研，数学三，13分)设随机变量X的分布函数 ， 其中参数，设为来自X的简单随机样本， (1) 当时，求未知参数的的矩估计量． (2) 当时，求未知参数的的最大似然量． (3) 当时，求未知参数的的最大似然量． 7. (05年考研，数学三，4分)设一批零件的长度服从正态分布，现从中随机抽取16个零件，测样本均值为，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是 (A) (B) (C) (D) 8. (05年考研，数学三，13分)设X1，X2，…，X n（n>2）是来自总 体N(0，2)的简单随机样本，其样本均值为，记 (1) 求的方差DY i， (2) 求与的协方差COV(Y i，Y n); (3) 若是的无偏估计量，求常数c． 9. (06年考研，数学一，9分) 设总体X的概率密度为 ， 其中是未知参数．为来自X的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计． 10. (06年考研，数学三，13分)在第8题中增加:求的矩估计． 11. (07年考研，数学一，11分) 设总体X的概率密度为 其中参数未知，为来自总体X的简单随机样本，是样本均值． (1) 求的矩估计量； (2) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由． 12. (08年考研，数学一，11分) 设为来自总体的简单随机样本．记，，． (1) 证明是的无偏估计量； (2) 当时，求DT． 第八章假设检验 近年无 概率论与数理统计发展简史 姓名：苗壮学号：1110810513 班级：1108105 指导教师：曹莉 摘要：在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 关键词：概率论、数理统计、发展史 正文： 1.概率论的发展 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验． 促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括． 继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础． 1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试． 华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案 填空题 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= ； Eξ= 。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则 )0(0?等于 π 21，)0(0Φ等于 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ； ∑∞ =1 i i p = ； Eξ= 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。 考查第三章 10． 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率为 。 考查第三章 较难 11． 若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。 考查第三章 12． 若 θ服从[,]22 ππ - 的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝ 。 考查第五章 13． 设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。 考查第一章 14． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 。 考查第一章 15． 若)8.0,10(~B ξ，=ξE ，=ξD ，最可能值=0k 。 考查第二、五章 16． 设随机变量X 的概率密度为0()0 x xe x f x x -?>=? ≤?，则(3)E X = , 3()X E e = 考查第四、五章 17． 任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率 考查第一章（较难） 18． 设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为 【大学数学】重新理解系列之二：现代数学的体系 住：这篇文章转载自人人网“彭成的日志”。 MIT牛人解说数学体系 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 【学数学的目的，带着问题和目的去学习各门学科，效率超高。】 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。 【数学能交给人抽象思维，能抓住问题的本质和共性，而学习理解抽象代数就是非常好的方式，可惜哥不懂抽象代数啊。。。】 说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过 很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。 【他给出了需要解决研究问题，怎么用数学刻画这些问题。】 在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情： ?我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。 【数学在“高精尖”中的作用非常之大。如果把数学比作一种编程语言，没有学 习数学的人只会机器语言和汇编语言，而掌握了数学这一工具的人会c、java、 matlab等，解决问题的效率和手段不可同日而语。用汇编语言写出一个操作系统 是多么不可思议的事情。编程语言在进化，数学也是。】 ?在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视。 【可以看看我之前的一篇日志“数学有什么用处？【转】（写这篇文章的人视眼很宽广）”】于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。 【数学能给他的研究工作提供强有力的武器。】 我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。 【数学的抽象（进化）与应用】 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是 不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 转载】概率论中几个有趣的例子 [ 2007-6-3 13:06:00 | By: Byron ] 推荐 作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics 已经酝酿很长时间的本文终于出场了。 写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。 本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了） 当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。 要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。这些例子一律来自伟大的Durrett的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。 例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。大家把集合{1，…，n}想象为若干张扑克牌，每次我们等概率的取一张扑克牌，取完放回。 ，意思就是手中取过k种不同的扑克牌所需的次数。T(n) =t(n,n)表示取过所有扑克牌所需的次数。X(n,k)=t(n,k)-t(n,k-1)，则X(n,k)服从参数是1-(k-1)/n的几何分布（思考题！），它的期望和方差可求，且容易发现X(n,1),…,X(n,n)相互独立，从而可以求出E T(n),Var T(n)（习题！)。且去证明依概率趋近于0.（数学基础稍微深一些的同学都知道，L2收敛蕴含依概率收敛）最终得到一个漂亮的结论： 依概率收敛于1. 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 \ 一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗试举例说明. ` 二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中， 硬币两次落地后可 能出现几种情况 （2）做20次实验， 结果正正正反反反； 频数 频率 、 （3）根据上表，制作相应的频数分布直方图. | （4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填次数40次】80次100次 60次 “正反” 的频数 … “正反” 的频率 ' （8）计算“正反” 出现的概率. 、 （9）经过以上多 次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近. 小知识： 在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢相等吗下面我们来想办法解决这个问题. 首先想到的是实验方法.投掷硬币500次总抛出次数 （次） 正面向上次 数（次） ~ 正面向上频率 （…%）500225 比.即硬币正面向上的频率. 其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有 2 1 的可能性，也就是说正面向上的概率是 ___________. 生活中常见一些概率问题的应用，例如彩 20选5第2003178期 § 6.1.1频率与概率 ! 中奖号码 05、12、15、16、17 一等奖6注18678元 二等奖1214注50元 ) 三等奖 19202注5元 本期销 售额 548538元 出球顺序05、15、12、16、17 > 一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的 概率各是多少 二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上， 点数为“1”或“3”的概率是多少 : 三、掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为正， 国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况. “正正” “反反” # “正反” 分别求出每种情况的概率. （1）小刚做法：通过列表可知，每种情况都出 现一次，因此各种情况发生的概率均占 3 1 . 可能出现 的情况 正正正反反反 概率 & 3 1 3 1 3 1 小敏的做法： 第一枚硬币的可能 情况 第二枚硬币的可能 情况 正— 反 正正正反正 反正反反反 发生概率为 4 1 .“正反”的情况发生的概率为 2 1 ，“反反”的情况发生的概率为 4 1 . § 6.1.2 频率与概率 理化生教学与研究386 2013赵?璇?钟?莹 概率论发展简史及应用 概率论发展简史及应用 赵 璇 钟 莹 （沈阳师范大学） 一、概率论的起源 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷色子（又名骰子）是他们常用的一种赌博方式。利用色子赌博的方式可谓五花八门。很自然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子哥儿——德·梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅尔问题。随后法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决一些如“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等。 到了18、19世纪，随着科学文明的发展，人类面临和要解决的问题也越来越多。后来，人们注意到之前为解决赌博问题而提出的那些方法不仅仅可以用在解决赌博问题上，还可以应用于人口统计、误差理论、产品检验和质量控制等。到后来原先的古典概型已不足以解决这诸多领域中了，人们迫切需要新的理论去解决更多的问题。也就在这时期，作为使概率论成为数学的一分支的的奠基人，瑞士数学家伯努利，建立了概率论中第一个极限定理（即伯努利大数定律），阐明了事件发生的频率稳定于它的概率。 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫（Markov）提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦（Khinchine）又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。 二、概率论的发展 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。 数学家们通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，所以概率论应用也随之扩宽了。众所周知，接种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法，然而，当牛痘开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争议。为了探求事情的真相，伯努利家族的另一位数学家丹尼尔·伯努利根据大量的统计数据，应用概率论的方法，得出了接种牛痘能延长人的平均寿命三年的结论，从而消除了人们的恐惧与怀疑。直观地说，卫星上天、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报、考古研究等更离不开概率论与数量统计；电子技术的发展、人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。 根据概率论中用投针试验估计π值思想产生的蒙特卡罗方法，借助电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表明物理等学科的研究中起着重要的作用。概率论理论严谨，应用广泛，这一数学分支正日益受到人们的重视，以后将会随着科学技术的发展而得到发展。 三、概率论在现代社会发展中的应用 概率论进入其他科学领域的趋势在不断发展。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。下面简略介绍一下概率论本身在现代的应用情况。 物理方面，放射性衰变、粒子计数器等问题的研究，都要用到泊松过程和更新理论。化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题、自动催化反应等一些连锁反应的动力学模型，都要以生灭过程（马尔柯夫）来描述。许多服务系统，如电话通信、购货排队等等，都可用一类概率模型来描述。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。同时它对各种应用数学如统计学、运筹学、生物学、经济学和心理学的数学化起着中心作用。 概率论已获得当今社会的广泛应用，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要。“在过去半个世纪中, 概率论从一个较小的、孤立的课程发展成为一个与数学许多其它分支相互影响, 内容宽广而深入的学科。” 因此，我们必须把概率论作为必备工具, 是科学研究与应用的需求。 现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。 四、结论 本文就概率论的发展简介，具体从他的起源、发展、理论基础及其进一步发展作出了详细的论述。从而得知；概率论是一门研究随机现象中的数量规律的科学。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球华的日益快速进程，概率论在众多领域内扮演着重要的角色。在实际生活中尤为广泛的应用。 摘?要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，已有300余年的历史。它起源于十七世纪中叶，当时数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博的问题。德梅雷、帕斯卡、费尔马等人首先对这个问题进行了研究与讨论，后来伯努利提出了大数定律，高斯和泊松进一步的推理论证。由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论；发展；应用 参考文献： [1] 刘秀芳．概率论基础[M]．北京．科学出版社． 1982 [2] 杨振明．概率论[M]．北京．科学出版社． 1999 [3] 张景中．趣味随机问题[M]．北京．科学出版社 [4] 孙荣恒．应用概率论[M]．北京．科学出版社 [5] 茆诗松 程依明 濮晓弄．北京．概率论与数理统计[M]．高等教育出版社．2004 从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》 高等概率论作业 一，高等概率论的发展历程 现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。概率论的发展历史一般分为四个时期： （1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。 （2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。 （3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。 （4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。 20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。（1）极限理论 极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心 极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。 （2）独立增量过程 人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。 （3）马尔科夫过程 在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔科夫过程。 20世纪50年代以前，研究马尔科夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）。1936年前后就凯斯探讨马尔科夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道 （三）统计与概率 第一课时简单的数据统计过程 教学内容： 冀教版小学数学六年级下册第84?88页。 教学目标： 知识和技能： 1、了解数据调查的一般方法，能选择合适的统计量来描述数据，能选择合适的统计图来表示数据，能根据统计结果作出简单的判断和预测。 2、经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程。 情感、态度和价值观：积极参加统计实践活动，利用统计结果分析问题，建立初步的统计观念，体验统计数据及统计图在研究问题中的价值，培养学习数学的自信心。 重点难点： 重点：对统计表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图、平均数进行复习。 难点：对各种统计表、统计图中的信息进行整理、分析。 教具学具： 课件、统计表。 教学设计： 一、揭示课题，导入新课 师：同学们，统计在生活中有着广泛应用，今天我们就来复习统计的相关知识。 师出示统计表。 生仔细阅读调査表。 师：谁能说一说表中的数据可以通过哪些方式收集吗？ 生1：可以到村镇去实地调査交通工具。 生2：可以到养殖场调查各种禽类的解化期。 生3：可以査阅资料。 师：同学们知道得真多，你们还知道哪些收集数据的方式和途径？ 学生小组讨论，集体交流，根据学生汇报，师小结。 小结：常用的方法有实地调查、实验、测量、上网、查阅资料等。 二、数据的收集与整理 师：同学们，上一周我们布置了一项任务，请大家调查各自家庭一周内丢弃的塑料袋个数，现在谁来说一说你是怎样调查的？ 全班进行交流，汇报自己调查的方式、过程。教师作为参与者介绍自己的调査情况。 师：下面每个同学汇报一下自己的调查结果，我们共同完成调查结果的统计。 学生汇报调査结果。 师：好啦，每个人调查的结果都纪录下来了，下面请大家把我们的调查结果按丢弃塑料袋的个数进行整理和归纳。 教师出示统计表，师生根据数据进行填写。 师：现在请同学们观察整理的数据，你想到了哪些问题？ 学生可能会提出： （1）全班同学的家庭一周内一共丢弃多少个塑料袋？ （2）平均每个家庭一周内丟弃多少个塑料袋？ 师：刚才同学们提出了很多问题，老师这里也有几个问题，下面请同学们用计算器来进行解决。 师：全班同学的家庭一周内一共丢弃多少个塑料袋？ 学生活动，教师参与其中。 学生汇报结果。 师：同学们，看老师手里拿着一个塑料袋，如果把塑料袋展开，你能估算出一个塑料袋的面积有多大吗？谁来说一说怎样估算？ 学生可能会说： （1）可以把塑料袋展开后的形状看作是近似的长方形，然后测量长和宽分别大约是多少，再求面积。 （2）也可以直接把塑料袋看作一个近似的长方形，先估算一个面的面积，再乘2。 师：这些方法都不错，我们先按第（2）种方法估算一下。学生测量，并计算。然后再把塑料袋剪后，测量计算。 师：我们估算出了一个塑料袋的大致面积，下面请同学们算一算，全班同学的家庭一周内丢弃的塑料袋大约有多大面积？ 学生算完后交流。 师：还记得我们教室的长和宽吗？ 学生如果不记得，估测或告诉学生。 师：现在算一算，全班同学的家庭一周内丢弃塑料袋的面积相当于多少间教室的面积？ 学生算完后，订正得数。 师：照这样计算，我们全班同学的家庭一年内丢弃塑料袋的面积相当于多少 复旦大学经济学基础科目经典教材书单 入门阶段： 中文版名称：《经济学原理》曼昆 英文版名称：principle of economics by Mankiw, N.G. 基础阶段： 《微观经济学》周惠中 《微观经济学：现代观点》哈尔.R.范里安（Hal R. Varian） 《宏观经济学》多恩布什（Rudiger Dornbusch / Stanley Fischer / Richard Startz） 《全球视角的宏观经济学》萨克斯（Jeffrey D. Sachs） 《国际经济学》克鲁格曼（Paul R. Krugman） 《国际金融与开放经济的宏观经济学》（Giancarlo Gandolfo） 《金融学》博迪/莫顿（Zvi Bodie / Robert C.Merton ） 《货币金融学》米什金（Frederic S.Mishkin） 《货币理论与政策》Carl E. Walsh 《数理经济学的基本方法》蒋中一（Alpha C. Chiang） 《经济学中的分析方法》高山晟（Akira Takayama） 《金融经济学原理》LeRoy / Werner 提高阶段： ①计量经济学： ⑴中文名：《计量经济学》林文夫 英文名：Econometrics by Fumio Hayashi ⑵中文名：《计量经济学分析》格林 英文名：Econometric Analysis by Greene ⑶中文名：《横截面与面板数据的经济计量分析》伍德里奇 英文名：Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data by Wooldridge ②微观经济学： ⑴中文名：《高级微观经济理论》杰里/ 瑞尼（JR） 英文名：Advanced Microeconomic Theory by Geoffrey A. Jehle / Philip J. Reny 简称（JR） ⑵中文名：《微观经济学高级教程》范里安 英文名：Microeconomics Analysis by Hal R. Varian ⑶中文名：《微观经济学》安德鲁.马斯-科莱尔等（MWG） 英文名：Microeconomic Theory by Andreu Mas-Colell / Michael D. Whinston / Jerry R.Green 简称（MWG） ③宏观经济学： ⑴中文名：《高级宏观经济学》戴维.罗默 英文名：Advanced Macroeconomics by David Romer 第一章概率论基础 1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。 2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（） （A）相互独立。（B）相互独立。 （C）两两独立。（D）两两独立。 3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则 （A）若,则一定独立； （B）若,则有可能独立； （C）若,则一定独立； （D）若,则一定不独立； 4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有 （A）（B） （C）（D） 第二章随机变量及其分布 1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。 2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为 ，是的分布函数。求随机变量的分布函数。 3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 。 20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。 4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） （A）（B） （C）（D） 第三章多维随机变量及其分布 1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（） （A）必为某一随机变量的概率密度。 （B）必为某一随机变量的概率密度。 （C）必为某一随机变量的分布函数。 （D）必为某一随机变量的分布函数。 2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为 ，则。 3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为 ，而的概率密度为，求随机变量的密度。 4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则 （A）与一定独立； （B）服从二维正态分布； （C）与未必独立； （D）服从一维正态分布。 5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令 求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。 6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求： （1）随机变量和的联合概率密度； （2）的概率密度； （3）概率。 7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 1 0.4 0.1 已知随机事件与相互独立，则 （A），（B）， （C），（D）。 8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度； 概率论与随机过程（论文） 题目: 概率论在数据挖掘中的应用 姓名程潇婷 学院信息与通信工程学院 专业信息与通信工程 班级概率论与随机过程3班 学号2013110355 班内序号1号 指导教师周清 2015年12 月 目录 目录 (2) 概率论在数据挖掘中的应用 (3) 摘要 (3) 一、数据挖掘与概率论 (3) 二、粗糙集理论与概率论知识的融合 (4) 概率论基础知识 (4) 基于粗糙集理论的概率规则 (4) 粗糙集理论下的概率规则测度 (6) 三、理论知识的实际应用 (6) 粗糙集理论的概率规则的应用 (6) 粗糙集理论下的概率规则测度的应用 (7) 四、课程学习心得体会 (7) 参考文献 (7) 概率论在数据挖掘中的应用 摘要 本文主要通过结合笔者的研究方向与本学期学习的课程《概率论与随机过程》从而探讨概率论在数据挖掘中的一些具体应用。随着大数据时代的到来，数据挖掘作为新兴的数据处理手段在各个领域都有着广泛的应用，而数据挖掘技术的发展一方面服务于各类新兴大数据命题，另一方面又依托于传统支撑型理论学科，从而在二者之间建立起坚固的桥梁。概率论作为数据挖掘的理论支撑在模型构建，数据预测，数据仿真方面都有着极其重要的作用。文中笔者主要通过介绍基于概率测度的数据挖掘模型来具体阐述二者的关系。 关键词：概率论，数据挖掘，概率测度 一、数据挖掘与概率论 数据挖掘（英语：Data mining），又译为资料探勘、数据采矿。它是数据库知识发现（英语：Knowledge-Discovery in Databases，简称：KDD)中的一个步骤。数据挖掘一般是指从大量的数据中通过算法搜索隐藏于其中信息的过程。数据挖掘通常与计算机科学有关，并通过统计、在线分析处理、情报检索、机器学习、专家系统（依靠过去的经验法则）和模式识别等诸多方法来实现上述目标。数据挖掘利用了来自如下一些领域的思想：(1) 来自统计学的抽样、估计和假设检验，(2)人工智能、模式识别和机器学习的搜索算法、建模技术和学习理论。数据挖掘也迅速地接纳了来自其他领域的思想，这些领域包括最优化、进化计算、信息论、信号处理、可视化和信息检索。一些其他领域也起到重要的支撑作用。特别地，需要数据库系统提供有效的存储、索引和查询处理支持。源于高性能（并行）计算的技术在处理海量数据集方面常常是重要的。分布式技术也能帮助处理海量数据，并且当数据不能集中到一起处理时更是至关重要。 数据挖掘研究从大规模的数据库中挖掘出有用的知识来辅助决策, 而粗糙集理论是一种基于等价关系分类的新的信息处理方法, 其特点是不需要预先给定某些特征或属性的数量描述, 而是直接从给定问题的描述集合出发, 找出该问题中的内在规律。该理论主要研究信息和智能系统中知识不精确、不完善的问题, 但其基本方法是确定性的, 因而忽略了数据可利用的统计信息。为了将粗糙集理论应用于概率领域, 有必要研究粗糙集理论与概率统计结合的相融点, 提取具有一定概率可信度的数据挖掘规则。 粗糙集合理论通过将数据属性进行组合从而反映了数据的分类特征, 是目前知识获取中归纳学习的一种有效工具。然而在现实领域中进行归纳学习存在着如下问题:( 1) 当属性概率论与数理统计发展史
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