弹簧振子模型
“弹簧振子”模型
太原市第十二中学 姚维明
模型建构：
【模型】常见弹簧振子及其类型问题
在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。
【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为
m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（
a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。
模型典案：
【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。
〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x0。由题意得mg=kx0
容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力
假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向
则回复力F=mg+[-k(x0+x)]=mg-kx0-kx= -kx
根据简谐运动定义，得证
比较：
（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。
(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。
(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称的。在解题时我们经常用到这点。
【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为
多少？ 〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，
O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。
经判断,可知物体对弹簧的最大压力在Q 处,Fmax=1.8mg.
图2 m 图3
F min a P mg P 点 图1
m a Q =(Fmax-mg)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g 物体对弹簧的最小压力时，在P 处,根据对称性知aP=aQ ·
a Q =(mg- F min)/m
F min/mg=0.2
(2)欲使物体在振动过程不离开弹簧，只需在
最高点（P 点）满足N≠0即可。
其离开弹簧的临界条件为N=0。
此时，ap′=g 。
设振幅最大值为A′，劲度系数为k ，
则有kA=map kA′=map′
联列两式得 A′=1.25A
模型体验：
【体验1】如图5所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在下端接触地后直到最低点的一段运动过程（ ）
A.升降机的速度不断减小
B.升降机的加速度不断变大
C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是
弹力做的负功大于重力做的正功
D.到最低点时,升降机加速度的值
一定大于重力加速度的值.
〖解析〗本题实质上是模型乙的变形。升降机吊
索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面接触
后,容易判断,v 先增大后减小,a 先减小后增大，则AB 错。根据动能定理容易判断C 正确。难度较大的是D 选项。我们可以把升降机简化为如图6所示的弹簧振子,弹簧刚触地时升降机位置在A 处，升降机向下运动到最低点位置为B 处,速度最大位置为O 处（即简谐运动的平衡位置），则B 为位移等于振幅位置。由振子的对称关系,不难判断点A 并非位移等于振幅位置, 与A 点关于O 点对称的点应在B 点上方。在A 点a=g 方向向下，所以在B 处a 一定大于g ，方向向上。
【体验2】如图7所示，两木块质量分别为m ﹑M ，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块m 压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。在运动过程中木块M 刚好始终不离开地面（即它对地面最小压力为零）。
（1）则木块m 的最大加速度大小是多少？
（2）木块M 对地面最大压力是多少？
〖解析〗（1）在m 运动过程中，弹簧对m ﹑M 施加的弹力的
方向可以向上也可以向下。 选M 为研究对象，刚好始终不离开地面
即FNmin=0
由平衡条件F +FN=Mg,可知F max=Mg
此时，弹簧处于伸长状态，m 具有向下的加速度（失重）
要使木块m 的加速度最大，应该使弹力F 最大
am=(F max+mg)/m=(M+m)g/m
（2）要使木块M 对地面的压力最大，此时弹簧对M 的弹力方向应向下。(此时，弹簧处于压缩状态)
选M 为研究对象，对其受力分析FN′= F′+ Mg A A
B O 图5 图6 a A =g a B ﹥g a O =0
要使FN′最大，则F′最大
这里要注意，'
m ax F ≠F Nmax = Mg
根据木块m 做简谐运动的特点，
（1）（2）两种情况，加速度大小相等。
对m, 有 'm ax F － mg = mam
'm ax F =mg+mam （3） am= (M+m)g/m
联列三式，得F/Nmax =Mg+F′=2(M+m)g
根据牛顿第三定律FN ﹡=-F/Nmax = 2(M+m)g
【体验3】如图9所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，
一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，
小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求
小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时
加速度的大小为_____________。
〖解析〗当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg
由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0
则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得
()034?+?=-=+-m a m mg F g m M F N N
解得：a g =
由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
*【体验4】如图10所示，在光滑的水平面上，有滑块A 和B ，A 和B 的质量均为10g ，现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k N m =2/。开始时两滑块均静止，现给A 滑块一冲量，使其以10m/s 的速度向右滑行，并与B 相碰后，与B 粘在一起，碰撞时间很短。求弹簧与墙有作用力的时间。
【解析】滑块A 向右与滑块B 相碰粘合一起，由动量
守恒知，两者以5m/s 的速度向右运动，A 、B 两滑块整体做
简谐运动 弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间
两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时间t 为弹簧振子周期T 的一半，即t T =2 T m k
=2π，已知m m m kg k N m A B =+==0022./， 代入周期公式得：T s =≈020628..π
图9 图10
所以弹簧与墙存在作用力的时间：t T s ==20314. 【体验5】如图11,一水平弹簧振子在光滑绝缘水平面上振动,其振动小球带正电,在没有外加电场时,振子的平衡位置在O 点,当它振动到最左边时突然加一个向左的匀强电场,振子继续振动时,以下说法正确的是: A.平衡位置在O 点的左方,振子的振幅增大: B.平衡位置在O 点的右方,振子的振幅减小: C.平衡位置在O 点的左方,振子的振幅减小:
D.平衡位置在O 点的右方,振子的振幅增大
〖答案〗C
【体验6】已劲度系数为k ，绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为m 、带电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上。当加入如图所示的场强为E 的匀强电场后，小球开始运动，下列说法正确的是（ ）
A.球的速度为零时，弹簧伸长量为qE ／k
B.球做简谐运动，振幅为qE ／k
C.运动过程中，小球的机械能守恒
D.运动过程中，是电势能、动能和弹性势能的相互转化
〖答案〗BD
【体验7】如图12所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧某处，此时拉力为F ，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后到达平衡位置O 处，此时振子的速度为v ，则在这过程中，振子的平均速度为( )
A. v/2
B. F/（2kt ）
C. v
D. F/（kt ）
〖答案〗D 【体验8】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧
的劲度系数为k ，振子质量为M ，振动的最大速度为v0．如
图所示，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻
放在其上，则(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦
因数至少多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多
大?二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能EP=kx2 ,x 为弹簧相对原长伸长量)
【体验9】在一种叫做“蹦极”的运动中，质量为m 的游戏者身系一根长为L 、弹性优良的橡皮绳，从高处由静止开始下落，下落到1.5L 时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法中正确的是（ ）
A ．速度先增大后减小
B ．在下落位移为L 时速度达到最大值
C ．加速度先减小后增大
D ．在下落位移为1.5L 时加速度达到最大值
〖解析〗游戏者从高处由静止开始下落，下落到1.5L 时到达最低点的过程，我们可把它分成两段来分析，在下落L 的过程中自由落体运动，加速度不变，速度一直增大；从L 到1.5L 的过程可看成简谐振动，等效成弹簧振子模型，因此，人的运动可看成是先向平衡位置再离开平衡位置运动，所以加速度先减小后增大，而速度是先增大后减小，平衡位置速度最大，在最低点是最大位移处加速度最大。所以答案选A 和D 。
【体验10】一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图所示，设在某次事故中，升降机吊索在图12 图11 · O
E 图13
空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程中( )
A. 升降机的速度不断减小
B. 升降机的加速度不断变大
C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值
〖解析〗升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程可等效成弹簧振子模型。升降机先向平衡位置后向最大位移处（最低点）运动，所以速度先增大后减小，加速度先减小后增大，因此选项A 和B 不对。同时可知弹力先小于重力后大于重力，所以先弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功，选项C 正确。在最低点时加速度大于刚落地时的重力加速度，选项D 正确。
【体验11】如图14所示，质量为m 的物体A 用一轻弹簧与下方地面上质量也为m 的物体B 相连，开始时A 和B 均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A 、另一端C 握在
手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A 上方的一段绳子沿竖直方向
且足够长。现在C 端施水平恒力F 而使A 从静止开始向上运动。（整
个过程弹簧始终处在弹性限度以内）
（1）如果在C 端所施恒力大小为3mg ，则在B 物块刚要离开地
面时A 的速度为多大？
（2）若将B 的质量增加到2m ，为了保证运动中B 始终不离开
地面，则F 最大不超过多少？ 【解析】由题意可知：弹簧开始的压缩量0mg x k =，在B 物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是0mg x k
= （1）若F=3mg ，在弹簧伸长到x0时，B 开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F 所做的功等于A 增加的动能及重力势能的和。即
2002
122mv x mg x F +?=? 可解得：022gx v = （2）所施力为恒力F0时，物体B 不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A 在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A 做简谐运动。
在最低点： F0－mg+kx0=ma1
式中k 为弹簧劲度系数，a1为在最低点A 的加速度。
在最高点，B 恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则：
K （2x0）+mg －F0=ma2
考虑到： kx0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a1=a2
解得：F0=2
3mg 也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A 做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为
02x 所在处。 由： 002x mg k F += 解得：F0=2
3mg 说明 区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。
图14