安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题 (附答案解析)

安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.直线x+√3y?5=0的倾斜角为()

A. B. C. D.

2.如图是某一四棱锥的三视图，则这个四棱锥的体积为()

A. 4

B. 8

C. 16

D. 20

3.圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2?8x+6y+9=0的位置关系是()

A. 相离

B. 相交

C. 内切

D. 外切

4.如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()

A. 在直线DB上

B. 在直线AB上

C. 在直线CB上

D. 都不对

5.如图，正棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1

所成角的余弦值为()

A. 1

5

B. 2

5

C. 3

5

D. 4

5

6.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼

兰”是“返回家乡”的()

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a?2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为()

A. √2

B. 8√2

3C. √3 D. 8√3

3

8.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，则()

A. 若平面α不平行于平面β，则l不可能垂直于m

B. 若平面α平行于平面β，则l不可能垂直于m

C. 若平面α不垂直于平面β，则l不可能平行于m

D. 若平面α垂直于平面β，则l不可能平行于m

9.已知函数f(x)=1

x+1

+x?2，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()

A. 3x?4y?1=0

B. 3x?4y?5=0

C. 5x?4y?7=0

D. 5x?4y?3=0

10.设椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=

30°，则C的离心率为()

A. √3

3B. 1

3

C. 1

2

D. √3

6

11.已知圆O：x2+y2=4，点P为直线x?2y?8=0上的一个动点，过点P向圆O引两条切线

PA、PB、A、B为切点，则直线AB恒过点()

A. (2,0)

B. (√5

5,?2√5

2

) C. (1,?1) D. (12,?1)

12.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的

中点到y轴的距离为()

A. 3

4B. 1 C. 5

4

D. 7

4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题“?x∈[2,+∞)，x2≥4”的否定为________．

14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为______cm．

15.过双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则

此双曲线离心率的取值范围为_______．

16.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列命题：

①D1P//平面A1BC1

②D1P⊥BD

③平面PDB1⊥平面A1BC1

④三棱锥A1?BPC1的体积不变．

则其中所以正确的命题的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.已知直线l方程为(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R．

(Ⅰ)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标;

(Ⅱ)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．

18.如图，在四棱锥P?ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=

2，E是PC的中点．

(1)求证：ED//平面PAB；

(2)求三棱锥A?PDE的体积．

19.已知函数f(x)=xlnx．

(1)求f(x)在(e,f(e))处切线方程；

(2)求f(x)最小值；

(3)设F(x)=ax2+f′(x)(a≠0)，讨论函数F(x)的单调性．

20.如图所示，四棱锥A?BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，

BC=6，AB=4√3，∠ABC=30°，且BE=EC．

(Ⅰ)求证：AC⊥BE；

(Ⅱ)求B到平面ACE的距离．

21.已知标准方程下的椭圆E的焦点在x轴上，且经过点M(1,√2

2

)，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合．椭圆E的上顶点为A，过点N(0,3)的直线交椭圆于B、C两点，连接AB、AC，记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)求k1k2的值．

22.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1

x <1

y

的充要条件是xy>0．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果．

解：设直线x+√3y?5=0的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，

直线化为y=?√3

3x+5√3

3

，斜率k=tanθ=?√3

3

，∴θ=150°．

故选D．

2.答案：C

解析：解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，

又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4

由俯视图我们易判断四棱锥的长为6，

代入棱锥的体积公式，我们易得

V=1

3

×6×2×4=16

故选：C

由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．

本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状，及底面边长及棱锥的高是解答本题的关键．

3.答案：B

解析：

本题给出两圆的方程，判断两圆的位置关系，着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．

求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出两个圆心之间的距离，再比较圆心距与两圆的半径之和、半径之差的大小关系，可得两圆的位置关系．

解：∵圆x2+y2?8x+6y+9=0的标准方程为(x?4)2+(y+3)2=16，

∴圆x2+y2?8x+6y+9=0的圆心是C2(4,?3)，半径=4．

又∵圆x2+y2=9的圆心是C1(0,0)，半径r2=3．

∴|C1C2|=5，

∵|r1?r2|=1，r1+r2=7，

∴|r1?r2|<|OC|

可得两圆相交．

故选B．

4.答案：A

解析：

本题考查两直线的交点在直线上的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．

直线EF和GH相交，设交点为M，运用公理2，由此能判断EF与HG的交点在直线BD上．

解：直线EF和GH相交，设交点为M，

∵EF?平面ABD，HG?平面CBD，

∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD，

∵平面ABD∩平面BCD=BD，

∴M∈BD，

∴EF与HG的交点在直线BD上．

故选A．

5.答案：D

解析：

本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中用余弦定理求解即可．

解.如图，连接BC1，A1C1，

因为AD1//BC1，

所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，

设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=√5a，A1C1=√2a，

由余弦定理可得，cos∠A1BC1=BA12+BC12?A1C12

2BA1·BC1

=√5a)2√5a)2√2a)2

2×√5a×√5a =4

5

，

故选D．

6.答案：B

解析：

本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，

故选B．

7.答案：B

解析：

本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2?A2B1=0的应用，

及两平行线间的距离公式d=21

√A2+B2

的应用．

先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．

解：由l1//l2得：1

a?2=a

3

≠6

2a

，

解得：a=?1，

∴l1与l2间的距离d=6?2 3

22=8√2

3

，

故选：B．

8.答案：C

解析：

本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系．

根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．

解：A中，平面α与平面β相交，由l⊥α，m?β，当m与交线平行或重合时，l⊥m，故A错误；B中，α//β，l⊥α，则l⊥β，由m?β可得：l⊥m，故B错误；

C中，平面α不垂直于平面β，则l必与β相交，由m?β得，l与m相交或异面，故C正确；

D中，α⊥β，l⊥α，则l?β或l//β，由m?β可得，l与m可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误；

故选：C．

9.答案：B

解析：

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出函数的导数，由导数求出切线斜率，则答案可得．

解：∵f(x)=1

x+1

+x?2，

∴f′(x)=?1

(x+1)2

+1，

则f(1)=?1

2，f′(1)=3

4

，

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1

2=3

4

(x?1)，

即3x?4y?5=0．

故选B．

10.答案：A

解析：

本题考查椭圆的定义、简单性质，设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案.

解：设|PF2|=x，

∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，

∴|PF1|=2x，|F1F2|=√3x，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

∴2a=3x，2c=√3x，

∴C的离心率为：e=2c

2a =√3

3

．

故选A．

11.答案：D

解析：

本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．

根据题意设P的坐标为P(8+2m,m)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．解：∵P是直线x?2y?8=0的任一点，∴设P(8+2m,m)，

∵圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，

其中圆心C的坐标是(4+m,m

2)，且半径的平方是r2=(4+m)2+m2

4

，

∴圆C的方程是[x?(4+m)]2+(y?m

2)2=(4+m)2+m2

4

，①

又x 2+y 2=4，②，

②?①得，

(8+2m)x +my ?4=0，即公共弦AB 所在的直线方程是：(8+2m)x +my ?4=0，即m(2x +y)+(8x ?4)=0，

由{2x +y =0

8x ?4=0

得x =12，y =?1， ∴直线AB 恒过定点(1

2,?1)， 故选：D ．

12.答案：C

解析：解：由于F 是抛物线y 2=x 的焦点， 则F(1

4,0)，准线方程x =?1

4， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)

∴|AF|+|BF|=x 1+1

4

+x 2+1

4

=3，

解得x 1+x 2=5

2，

∴线段AB 的中点横坐标为5

4． ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5

4． 故选：C ．

根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，即可得到线段AB 的中点到y 轴的距离． 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．

13.答案：

解析：

本题主要考查全称命题的否定，属于基础题． 化成特称命题注意只否定结论． 解：∵命题“

”为全称命题，

∴命题“”的否定是特称命题：“?x∈[2,+∞),x2<4”.

故答案为?x∈[2,+∞),x2<4．

14.答案：4√2

3

解析：

本题考查弧长公式及圆锥的体积公式，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，然后求得圆锥的高，进而即可求得结果．

解：设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，

则l=2，，

解得r=2

3

，

因此，此圆锥的高?=√l2?r2=4√2

3

．

故答案为4√2

3

．

15.答案：(1,√5)

解析：

本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．

先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．

解：由题意过双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为 2 的直线，

与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率b

a

<2，e>1，

∵e=c

a =√a2+b2

a2

<√1+4，

∴1

∴双曲线离心率的取值范围为(1,√5).故答案为(1,√5).

16.答案：①③④

解析：

本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算，属于较难题．

利用面面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥体积轮换公式对①②③④四个选项逐一分析判断即可．

解析：

解：①，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，D1A//C1B，D1A?平面A1BC1，C1B?平面A1BC1，

∴D1A//平面A1BC1，

同理可证，D1C//平面A1BC1，D1A∩D1C=D1，

∴平面D1AC//平面A1BC1，又D1P?平面D1AC，

∴D1P//平面A1BC1，故①正确；

②，当点P为AC与BD的交点时，BD⊥平面BDD1，D1P?平面BDD1，这时，D1P⊥BD，除此之外，D1P不与BD垂直，故②错误；

③，∵DB1在平面A1B1C1D1上的射影为B1D1，B1D1⊥A1C1(正方形的两条对角线互相垂直)，

DB1在平面BB1C1C的射影为B1C，B1C⊥BC1(正方形的两条对角线互相垂直)，

由三垂线定理的逆定理可知，B1D⊥A1C1，B1D⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，

∴B1D⊥平面A1BC1，B1D?平面PDB1，

∴平面PDB1⊥平面A1BC1，故③正确；

④，设正方体的边长为1，点B到平面A1BC1的距离就是点B到平面A1ACC1的距离，为1

2BD=√2

2

，

S△A

1PC1=1

2

A1C1??=1

2

×√2×1=√2

2

，

∵V A

1?BPC1=V B?A

1PC1

=1

3

S△A

1PC1

?1

2

BD=1

6

×(√2

2

)2=1

12

，为定值，故④正确．

故答案为①③④．

17.答案：解：(Ⅰ)由直线方程(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R，整理可得：(x?y?3)m+(2x?y?7)=0对任意m∈R恒成立，

则{x?y?3=0

2x?y?7=0，解得{x=4 y=1,

所以直线l恒过定点P(4,1)．

(Ⅱ)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，

由(Ⅰ)知，直线l过定点P(4,1)．

若a=0，则直线l的方程为y=1

4

x，即x?4y=0；

若a≠0，则直线l的方程为x

a +y

a

=1，

所以4

a +1

a

=1，解得a=5，

所以直线l的方程为x

5+y

5

=1，即x+y?5=0，

综上，直线l的方程为x+y?5=0或x?4y=0．

解析：本题考查直线恒过定点的问题，考查直线的截距式方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

(Ⅰ)由直线方程整理可得(x?y?3)m+(2x?y?7)=0，得到{x?y?3=0

2x?y?7=0，即可求出定点P 的坐标；

(Ⅱ)根据截距为0和截距不为0进行分类讨论，利用截距式得出直线方程即可．

18.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，

∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=1

2

BC，

又∵AD//BC，且AD=1

2

BC，∴AD//HE，且AD=HE，

∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，

又AH?平面PAB，又DE?平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)

解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，

又PB⊥AH，且AH∩AD=A，

∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P?ADE的高，

又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)

∴三棱锥A?PDE的体积：

V A?PDE=V P?ADE=1

3×S△ADE×AH=1

3

×1

2

×S

矩形ADEH

×AH=1

3

×√2

2

×√2=1

3

.…(12分)

解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．

(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P?ADE的高，三棱锥A?PDE的

体积：V A?PDE=V P?ADE=1

3×S△ADE×AH=1

3

×1

2

×S

矩形ADEH

×AH，由此能求出结果．

本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

19.答案：解：(1)f(x)=xlnx 的导数为f′(x)=1+lnx ，

f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为1+1=2， 切点为(e,e)，则切线的方程为y ?e =2(x ?e)， 即为2x ?y ?e =0； (2)函数的定义域为(0,+∞)， 求导函数，可得f′(x)=1+lnx ， 令f′(x)=1+lnx =0，可得x =1

e ，

∴0

e 时，f′(x)<0，x >1e 时，f′(x)>0， ∴x =1

e 时，函数取得极小值，也是函数的最小值，

∴f(x)min =f(1

e )=1

e ?ln 1

e =?1

e ；

(3)F(x)=ax 2?(a +2)x +f′(x)=ax 2?(a +2)x +1+lnx ， F′(x)=2ax ?a ?2+1

x =

2ax 2?(a+2)x+1

x

=

(2x?1)(ax?1)

x

，

当a =2时，F′(x)≥0恒成立，函数递增；

当a >2时，1

2>1

a ，由F′(x)>0可得x >1

2或0

a ， 由F′(x)<0可得1

a

2．

可得f(x)在(1a ,1

2)递减，在(0,1

a )，(1

2,+∞)递增；

当0

2<1

a ，由F′(x)>0可得x >1

a 或0

2， 由F′(x)<0可得1

2

a ．

可得f(x)在(12,1

a )递减，在(0,1

2)，(1

a ,+∞)递增．

解析：(1)求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程； (2)求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的最小值；

(3)求出函数的导数，并分解因式，讨论a =2，a >2，0

20.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥A ?BCDE ，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，

BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°，且BE =EC 中， ∴由余弦定理得cos∠ABC =

AB 2+BC 2?AC 22×AB×BC

=

√3

2

， ∴AC =2√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ．

∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC =BC ，BC ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BCDE ，

又∵BE ?平面BCDE ，∴AC ⊥BE ．

解：(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ， ∵平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°， 且BE =EC ．

∴OE ⊥BC ，∴OE ⊥平面ABC ，

以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， B(3,0，0)，A(?3,2√3,0)，C(?3,0，0)，E(0,0，3)， AB ????? =(6,?2√3,0)，AC ????? =(0,?2√3,0)，AE ????? =(3,?2√3,3)， 设平面ACE 的法向量n

? =(x,y ，z)， 则{n ? ?AC

????? =?2√3y =0n ? ?AE ????? =3x ?2√3y +3z =0，取z =1，得n

? =(?1,0，1)， ∴B 到平面ACE 的距离为： d =

|AB ?????? ?n ?? ||n ?? |

=

√2

=3√2．

解析：(Ⅰ)由余弦定理得cos∠ABC =√3

2，由勾股定理得AC ⊥BC.再由BC ⊥AC ，得AC ⊥平面BCDE ，

由此能证明AC ⊥BE ．

(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ，以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 到平面ACE 的距离．

本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.答案：解：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)，抛物线的焦点为(1,0)，

所以该椭圆的两个焦点坐标为F 1(?1,0)，F 2(1,0)，

根据椭圆的定义有2a =|MF 1|+|MF 2|=2√2， 所以椭圆E 的标准方程为

x 22

+y 2=1；………………….(5分)

(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．

设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4， 设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，

由根与系数的韦达定理得，x 1+x 2=?12k

2k 2+1,x 1x 2=16

2k 2+1………………….(8分) 则k 1k 2=

y 1?1x 1

?

y 2?1x 2

=

k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4

x 1x 2

=1

4，

即为定值1

4.…………….(12分)

解析：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a

2+

y 2b 2

=1(a >b >0)，通过抛物线的焦点为(1,0)，转化求解椭圆

的a ，b 即可．

(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4，

设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由根与系数的韦达定理转化求解即可．

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

22.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1

y ．

必要性：由1

x <1

y ，得1

x ?1

y <0，即y?x

xy <0． 因为x >y ，所以y ?x <0，所以xy >0． 所以1

x <1

y 的充要条件是xy >0．

解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．