高三上学期期中考试数学(理)试题

襄阳五中高三年级上学期期中考试数学（理）试题

.11.18

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的． 1．若集合}1|{2<=x x M ，}1|{x

y x N -=

=，则N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x

2．已知命题p:“[]2

1,2,0x x a ?∈-≥”，命题q:“2

,220x R x ax a ?∈++-=”若命题

“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）

A. {}

21a a a ≤-=或 B.}2|{-≤a a

C. {}1a a ≥

D. {}21a a -≤≤

3．已知cos 0()(1)10x

x f x f x x π->??=?++≤??

，则)34()34(-+f f 的值等于

A ．2-

B ．1

C ．2

D ．3 4．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题

①若αα//,,//m n n m 则?； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ??；④若

αββαβα⊥⊥?=⊥n m n n m 则,,,, ；

其中正确的命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，

11a >b ，*)(*,11N n N b a ∈∈，则数列n

{a }前10项的和等于

A.55

B.70

C. 85

D. 100

6．若2220122(1)n n

n x a a x a x a x +=+++???+ 令n a a a a n f 2420)(+???+++= 则

=+???++)()2()1(n f f f A.)12(31-n B.)12(61-n C.)14(34-n D.)14(3

-n 7．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3

(,0)4

-成中心对称，对任意的实数x 都有

()(+-=x f x f ，且1)1(=-f ，2)0(-=f ，则(1)(2)(3)(2011)

f f f f ++++的值为

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1 8．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：

当n 为偶数时，246)4)(2(!!???????--=n n n n 当n 为奇数时，135)4)(2(!!???????--=n n n n

现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②!10032!!2006?=，③2006!!个位数为0，④2007!!个位数为5 其中正确的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

9．函数()22log 1

log 1

x f x x -=

+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 A ．

35 B ．23 C ．4

D ．554-

10．如图，在∠AOB 的两边上分别为A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、

B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有“和睦线”的对数是

A ．60

B ．62

C ．72

D ．124

二、填空题：本大题共5小题. 每小题5分，满分25分. 11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，

3500元/月）收入段应抽出人。 [来源:学科网ZXXK] 12．7)1(x

x -展开式中第４项的系数等于 .[来

源:https://www.360docs.net/doc/4b12465572.html,]

13．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对

（x ，y ）的概率是 .

14．在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0) 和

C(6，0)，顶点B 在双曲线

111

252

2=-y x 的左支上，则=-B

A sin sin sin

0．0005 0．0004 0．0003

0．0002 0．0001 频率/组距开始

给出可行域 1111

x y x y -≤+≤??

-≤-≤? 在可行域内任取有序数对（x ，y ）

2212

x y +≤

输出数对（x ,y ）

结束

是

否

15．以下2题中任选一题，若2题.在极都做，以第一题为准。

（1）坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标

是．

（2）如图，在ABC ?中，BC DE //，CD EF //，若

BC=3，DE=2，DF=1，则AB 的长为．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

16．（本小题满分12分）已知ABC ?中，C B A ,,成等差数列，向量),1,0(-=向量

cos 2,(cos 2

A =，求：||p n +的取值范围。 17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函

数：2

123456

f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇

函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望. [来源:学.科.网]

18．(本小题满分12分) 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =

，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、C D 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) . (1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；

(2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值.

D B C

19．（本小题满分12分）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产

使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

20．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）

．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设21=+n n n

b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n .

求证：1

23n T n >-．

21．(本小题满分14分) 已知函数2

1f(x)=lnx,g(x)=

ax +bx (a 0).2

≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－在其定义域是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)??的最小值；

（III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

襄阳五中高三（上）期中数学试题（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

题

号 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 11． 40． 12．-35． 13．4

π． 14． 65． 15．答案：（1，2π-）答案：29

．

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

17．解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由

题意知.5

)(2623==C C A P ………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4.

)2(,21)1(151316131613=?=====C C C C P C C P ξξ，

)4(,203)3(1313141115121613141315121613=

???===??==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；故ξξ 1

P[来源:学|科|网Z|X|X|K]

21 103 203 20

7201420331032211=?+?+?+?

=ξE ……………………12分答：ξ的数学期望为.4

18．解：（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面

EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0）

[来源:学#科#网] BD =（－2，2，2）

，EG =（2，2，0） BD EG ?=（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥

（法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，

由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ，而EG ?平面EBCF ，故EG ⊥DH 。

又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ， BH ?DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，

而BD ?平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。…………4分（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）∵AD ∥面BFC ，

所以 ()f x =V A-BFC ＝AE S BFC ??31＝x x ?-???)4(42

2288(2)333

x =--+≤，即2x =时()f x 有最大值为8

3．………………8分

（3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2），

F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =-BD =（－2，2，2）,

则?????=?=?0

011BF n BD n ， x G F D E C

B A y

z G F

B A

H _ E

D A

即??

?=-?=-?0

)0,3,2(),,(0

)2,2,2(),,(z y x z y x ，

2220

230

x y z x y -++=??

-+=? 取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =

面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n 14

14|

|||2121=

?n n . 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：

－14

……12分

（法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM ．

由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角．

由△HMF ∽△EBF ，知

HM HF

＝BE BF ，而HF=1，BE=2，BF ，∴HM 又DH ＝2，∴在Rt △HMD 中，tan ∠DMH=-DH

因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH 14

，而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角，故二面角D-BF-C 的余弦值为－14

． 19．解：（1）98]42

)

1(12[50-?-+

-=x x x x y =984022-+-x x .………………2分（2）解不等式 984022-+-x x ＞0,得 5110-＜x ＜5110+.

∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17.

故从第3年工厂开始盈利. ………………4分

（3）(i) ∵

）

x x x x x y 98

2(4098402+-=-+-=≤40129822=?- 当且仅当x

x 98

2=时，即x=7时，等号成立.

∴ 到，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.…………8分

(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2

+102， ∴当x=10时，y max =102.

故到，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.

从年平均盈利来看，第一种处理方案为好。 ………………12分

20．解：（Ⅰ）

11(1),1

－=

-a

S a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11

n n n n n a a

a S S a a a a --=-=---

n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=?=； …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)

(31)211(1)

n n n n n a

a a a a a

b a a a ?

----=

-，若{}n b 为等比数列，则有2

213,b b b =而21232

32322

3,,,a a a b b b a a

+++===[来源:学。科。网] 故2

2232322

()3a a a a a +++=?

，解得13a =，再将1

3a =代入得3n n b =成立，

所以1

a =． ………………8分

（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3n

n a =，所以11111331131311()1()33

n n n n n n n c +++=+=++-+- 1

31131111

1131313131

n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-[来源:学§科§网Z §X §X §K] 111

2()3131+=--+-n n ，

由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133

n n n n ++-<-+- 所以111311

2()2()313133

＋++=-->---n n n n n c ，

从而122231111111

[2()][2()][2()]333333

n n n n T c c c +=+++>--+--+--

2231111111

2[()()()]333333n n n +=--+-++-

1111

2()2333

n n n +=-->-．

即1

n T n >-． ……………………13分

21．解：（I ）依题意：.ln )(2

bx x x x h -+=

()h x 在（0,+∞）上是增函数，

()20h x x b x '∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，

0,则2b x x x x x

∴≤+>+≥

(]

.22,∞-∴的取值范围为b ………………4分

[来源:https://www.360docs.net/doc/4b12465572.html,]

（II ）设].2,1[,,2

∈+==t bt t y e t x

则函数化为

]2,1[222,12

4)2(2

2上为增函数在函数时即当y ，b b

b b t y ≤≤-≤-∴-+=

当t=1时，y m i n =b+1；

]2,1[4,22

;

42,24,2212

min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b

b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y min =4+2b

)(,24.

1)(,222,2

b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述?? 当)(,4x b ?时-≤的最小值为.24b +………………9分

（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且

则点M 、N 的横坐标为.22

x x x += C 1在点M 处的切线斜率为.2

|12

12121x x x k x x x +=

=+= C 2在点N 处的切线斜率为.2

)

212

221b x x a b ax k x x x ++=+=+=

假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =

,ln

ln ln )2()2()

)()(2.

)(2

121212122212212221122121x x x x y y bx x a

bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即

.1)

2)(2ln 1

11212x x x x x x x x x x +-=+-=∴

设,1,1)

1(2ln ,112>+-=

>=u u

u u x x u 则 ……………… ①

[).

)

1(2ln ,

0)1()(,,1)(.0)(,1.

)1()1()1(41)(.1,1)

1(2ln )(2

2+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--

=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令这与①矛盾，假设不成立.

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.………………14分