八年级数学期末试卷检测题(Word版 含答案)

八年级数学期末试卷检测题（Word版含答案）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析

【解析】

【分析】

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；

（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此

CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；

（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出

EM=PN=1

2

AD，EC=MF=

1

2

AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结

论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．

【详解】

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；

解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，

由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°

∴∠ECF＝45°＝∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝2EF．

解法2：

易证∠BED＝∠ACB＝90°，

∵点F是BD的中点，

∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，

∴∠DFE＝2∠ABD，

同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，

即∠CFE＝90°，

∴CE＝2EF．

（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB＝∠AED＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，

∵AC＝BC，

∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°，CF＝EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝2FE；

解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，

∴FA＝FB＝FD，

而AC＝BC，CF＝CF，

∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF＝∠BCF＝1

2

∠ACB＝45°，

∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB，

同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，

又DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴CE＝2EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、

CF ， ∵DF ＝BF ，

∴FM ∥AB ，且FM ＝

1

2

AB ， ∵AE ＝DE ，∠AED ＝90°， ∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°， ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°

∴CN=AN=

1

2

AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ， ∴四边形MFNA 为平行四边形，

∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ， ∴∠EMF ＝∠FNC ， ∴△EMF ≌△FNC ， ∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，

由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°， ∴∠FCN+∠PFC ＝90°， ∴∠EFM+∠PFC ＝90°， ∴∠EFC ＝90°，

∴△CEF 为等腰直角三角形， ∴∠CEF ＝45°，

∴CE ． 【点睛】

本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．

2．在ABC ?中，90,BAC AB AC ∠=?=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ?，使90DAF ∠=?，连接CF ． （1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ???）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ?沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做

AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，

ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出

3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题． 【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF = ∵90BAC DAF ==?∠∠ ∴BAD CAF ∠=∠ 在△DAB 与△FAC 中 AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴()DAB FAC SAS △≌△ ∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=?∠∠ ，即BC CF ⊥ ；

②∵DAB FAC △≌△ ∴=CF BD ∵BC BD CD =+ ∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC 证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴△DAB ≌△FAC （SAS ） ∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45° ∴∠ABD ＝180°－45°＝135° ∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°， ∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ， ∵90BAC ∠=?

，AB AV ==

∴1

422

BC AH BH CH BC =====

=， ∴1

14

CD BC =

= ∴3DH CH CD =+= ∵四边形ADEF 是正方形 ∴90AD DE ADE ==?，∠ ∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，， ∴四边形CMEN 是矩形 ∴NE CM EM CN ==，

∵90AHD ADC EMD ===?∠∠∠

∴90ADH EDM EDM DEM +=+=?∠∠∠∠ ∴ADH DEM =∠∠ 在△ADH 和△DEM 中

ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ADH DEM △≌△

∴32EM DH DM AH ====， ∴3CM EM == ∴2232CE EM CM =

-=

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．

3．（1）如图1，在Rt △

ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF . （1）试说明：△AED ≌△AFD ；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；

（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】

试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，

45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即

45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，

从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌

得到ED FD =，再证明90DCF ∠=?，

利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2

AH BH BC ===

1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .

试题解析：()

1ABE AFC ≌，

AE AF =，BAE CAF ∠=∠，

45,EAD ∠=90,BAC ∠= 45,BAE CAD ∴∠+∠= 45,CAF CAD ∴∠+∠=

即45.DAF ∠=

在AED 和AFD 中，{AF AE

EAF DAE AD AD ，

=∠=∠=

.AED AFD ∴≌

()

2AED AFD ≌，

ED FD ∴=，

,90.AB AC BAC =∠=?

45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，

∠=? 90.BCF ∴∠=?

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=

22217

AD AH DH

=+=或65.

22

234

DE AD

==或130.

点睛：D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.

4．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或

3

2

（3）9s 【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【详解】

（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP与△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

则线段PC 与线段PQ 垂直. （2）设点Q 的运动速度x,

①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，

912t

t xt =-??

=?

， 解得3

1t x =??

=?

， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，

912xt

t t =??

=-?

解得632t x =???=??

，

综上所述，存在31t x =??=?或6

32t x =??

?=??

使得△ACP 与△BPQ 全等.

（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程， 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，

∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点； ∴EB=EA=18cm. 当V Q =1时， 依题意得3x=x+2×9， 解得x=9； 当V Q =

3

2

时， 依题意得3x=3

2

x+2×9， 解得x=12.

故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇. 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.

5．如图，在ABC ?中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .

（1）若AB AC =，90BAC ∠=?

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；

（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠?，45BCA ∠=?，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.

【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；

（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ． 【详解】

解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°， ∴∠CAF=∠BAD ， 在△ACF 和△ABD 中，

∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ， ∴△ACF ≌△ABD(SAS)， ∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF ⊥BD ；

②成立，理由如下：如图2：

∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，

∴△ACF≌△ABD(SAS)，

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，∠AED=45°，

∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，

∴∠CAF=∠EAD，

在△ACF和△AED中，

∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，

∴△ACF≌△AED(SAS)，

∴∠ACF=∠AED=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD．

【点睛】

本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的

判定和性质进行综合运用.

6．如图1，在ABC ?中，ACB ∠是直角，60B ∠=?，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．

（1）求出AFC ∠的度数；

（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）

（3）如图2，在△ABC ?中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;

（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；

（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题． 【详解】

（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°， ∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，

∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线， ∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，

∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120° （2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ． 理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，

∵CE 是∠BCA 的平分线， ∴∠DCF ＝∠GCF ， 在△CFG 和△CFD 中，

CG CD DCF GCF CF CF =??

∠=∠??=?

， ∴△CFG ≌△CFD （SAS ）， ∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG 由（1）∠AFC ＝120°得， ∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°， ∴∠AFG ＝60°， 又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°， ∴∠AFE ＝∠AFG ， 在△AFG 和△AFE 中，

AFE AFG AF AF

EAF GAF ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ）， ∴EF ＝GF ， ∴DF ＝EF ；

（3）结论：AC ＝AE+CD ．

理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，

同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-

12(∠BAC+∠BCA)=180°-1

2

×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ， ∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，

同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．

7．已知4

AB cm

=，3

AC BD cm

==.点P在AB上以1/

cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()

t s．

（1）如图①，AC AB

⊥，BD AB

⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1

t=时，ACP

△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图②，将图①中的“AC AB

⊥，BD AB

⊥”为改“60

CAB DBA

∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/

xcm s，是否存在实数x，使得ACP

△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

【详解】

解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，

又∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）． ∴∠ACP=∠BPQ ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°． ∴∠CPQ=90°，

即线段PC 与线段PQ 垂直． （2）①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC=BP ，AP=BQ ，

34t

t xt =-??

=?

， 解得1

1t x =??

=?

， ②若△ACP ≌△BQP ， 则AC=BQ ，AP=BP ，

34xt

t t =??

=-?

， 解得232t x =???=??

，

综上所述，存在11t x =??=?或2

32t x =??

?=

??

使得△ACP 与△BPQ 全等．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．

8．如图，在ABC ?中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 2

3

BD CD = ，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;

(2)动点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从 点 B 出发沿射线BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q 两点同时出发，当点 P 到达 A 点时，,P Q 两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒，POQ ?的面积为 S ，请用含t 的式子表示 S ，并直接写出相应的 t 的取值范围;

(3)在(2)的条件下，点 F 是直线AC 上的一点且 CF BO =.是否存在t 值，使以点

,,B O P 为顶 点的三角形与以点 ,,F C Q 为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条

件的 t 值; 若不存在，请说明理由.

【答案】（1）5；（2）①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，t 的取值范围是

102t <<

；②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，，t 的取值范围是1

52

t <≤；（3）存在，1t =或5

3

. 【解析】 【分析】

（1）只要证明△AOE ≌△BCE 即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD=2-4t ，②当点Q 在射线DC 上时，DQ=4t-2时；

（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP=CQ 时，△BOP ≌△FCQ ； 【详解】

解：（1）∵AD 是高，∴90ADC ∠= ∵BE 是高，∴90AEB BEC ∠=∠=

∴90EAO ACD ∠+∠=，90EBC ECB ∠+∠=， ∴EAO EBC ∠=∠ 在AOE ?和BCE ?中，

EAO EBC AE BE

AEO BEC ∠=∠??

=??∠=∠?

∴AOE ?≌BCE ? ∴5AO BC ==； （2）∵2

3

BD CD =

，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，

根据题意，OP t =，4BQ t =， ①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，

∴21(24)22S t t t t =

-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，

∴21(42)22S t t t t =

-=-，t 的取值范围是1

52t <≤ （3）存在．

①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴5-4t ═t ， 解得t=1，

②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴4t-5=t ， 解得t=

53

． 综上所述，t=1或5

3

s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

9．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ． （1）求证：△ABC ≌△ADE ； （2）求∠FAE 的度数； （3）求证：CD=2BF+DE ．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；

（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；

（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ． 【详解】

（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE ， 在△BAC 和△DAE 中，

AB AD BAC DAE AC AE =??

∠=∠??=?

， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE ， ∴∠E=45°，

由（1）知△BAC ≌△DAE ， ∴∠BCA=∠E=45°， ∵AF ⊥BC ， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； （3）延长BF 到G ，使得FG=FB ， ∵AF ⊥BG ， ∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

BF F

AFB AFG

AF AF

G

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠

EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

在△CGA和△CDA中，

GCA DCA

CGA CDA

AG AD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△CGA≌△CDA，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．

10．已知：在ABC

?中，,90

AB AC BAC

=∠=?，PQ为过点A的一条直线，分别过B C

、两点作,

BM PQ CN PQ

⊥⊥，垂足分别为M N

、.