初三九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案

初三九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案

一、压轴题

1．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；

（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=?===，，点

P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速

度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点

P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时

间为ts ． （1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38

83

a t ==

，时，证明：ADF CDF S S ??=．

3．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：

（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．

4．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．

（1）求证△AEF ∽△BCE ；

（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；

（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．

5．如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着

A C

B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）. （1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；

（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.

6．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．

（1）求m，n的值以及函数的解析式；

（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C，顶点为点D，连结BD、BC、CD，求△BDC面积；

（3）对于（1）中所求的函数y=-x2+bx+c，

①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；

②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p-q=3，求t的值．

7．已知抛物线y＝﹣1

4

x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；

（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；

（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；

（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的

同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，

连GD ．是否存在点P ，使

2GD

GO

=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.

9．如图，抛物线2

)1

2

(0y ax x c a =-

+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1

22

y x =

-经过点,B C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是

t ．

①当PCM ?是直角三角形时，求点P 的坐标；

②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．

10．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线

2x =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．

①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点

Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；

②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、

b ．当点M 在y 轴上时，直接写出

m a

m b

--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a

m b

--为一个定值，并求出这个值．

11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；

②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；

（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝

4

x

（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．

12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．

（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ； （2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；

（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．

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一、压轴题

1．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；

（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解； （3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解． 【详解】

解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5，

∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5()()

22

0+10a a -+-

∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）；

（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝5，AC ＝5 ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2， ∴∠BAC ＝90°，

∴AB ⊥AC ； （3）过定点， 理由如下：

∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ， ∴CO ＝DO ， 又∵CO ＝BO ， ∴DO ＝BO ＝CO ， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠BDC ＝90°，

如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，

∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，

∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ， ∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°， ∵BC ＝10，

∴BH ＝CH ＝2，OH ＝OB ＝OC ＝5， 设点H （x ，y ）， ∵点H 在第四象限， ∴x ＜0，y ＞0，

∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50， ∴x ＝4，y ＝3， ∴点H （4，﹣3），

∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）． 【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

2．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）①当PBM PCN ?△△时或当MBP PCN ?△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ?△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ?△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ??=，AFO CFO S S ??=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ????-=-，即ADF CDF S S ??=；

【详解】

解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=?，

∴当PBM PCN ?△△时，有BM NC =，即5t t -=①

5 1.54t at -=-②

由①②可得 1.1a =， 2.5t =．

当MBP PCN ?△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，

由③④可得0.5a =，2t =．

综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与

PCN △全等； ②AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=?，

90APB CBD ∴∠+∠=?，

90ABC ∠=?，

90APB BAP ∴∠+∠=?， BAP CBD ∴∠=∠，

在ABP △和BCD 中，

BAP CBD AB BC

ABC BCD ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()ABP BCD ASA ∴?△△，

BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；

（2）当38a =，8

3

t =时，1DN at ==，而4CD =，

DN CD ∴<，

∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，

如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=?， 180ABC BCD ∴∠+∠=?， //AB BC ∴，

AMD

CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，

在AOM 和COD △中，

AMD CDM AM CD

BAC DCA ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()AOM COD ASA ∴?△△，

OA OC ∴=，

ADO CDO S S ??∴=，AFO CFO S S ??=，

ADO AFO CDO CFO S S S S ????∴-=-， ADF CDF S S ??∴=．

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（1）4；（2）52；（3）600（2+1）． 【解析】 【分析】

（1）如图①中，证明△EOB ≌△FOC 即可解决问题；

（2）如图②中，连接BD ，取AC 的中点O ，连接OB ，OD ．利用四点共圆，证明∠DBQ ＝∠DAC ＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ，首先证明AB +BC +BD ＝（2+1）BD ，当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大． 【详解】

解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1

4

?S正方形ABCD＝4，

故答案为：4；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝

2

2

BQ＝52．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，

∴B，A，E三点共线，

∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，

∴BE BD ，

∴AB +BC ＝AB +AE ＝BE BD ，

∴BC +BC +BD +1）BD ， ∴当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大， ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴当BD 为直径时，BD 的值最大， ∵∠ADC ＝90°， ∴AC 是直径，

∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝600+1）． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

4．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,3

02

AF ≤≤；(3)3. 【解析】 【分析】

（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得

AF AE

BE BC =，2

y x

x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角

形ABH 中，602

AH sin AB =?=

，可进一步求AH. 【详解】

解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°， ∴∠AEF +∠AFE =90°， ∵EF ⊥CE ， ∴∠AEF +∠BEC =90°， ∴∠AFE =∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）由（1）△AEF ∽BEC 得

AF AE BE BC =，2

y x

x =，

∴2

12

y x =-

+，

∵

2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =

时，y 有最大值为

3

2

， ∴302

AF ≤≤

； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ， 在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点， ∴∠EHF =90°， ∴ME =MF =MH ，

在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ， ∴MA =ME =MF =MH ， 则A 、E 、H 、F 在同一圆上； 如图2，连接AH ，

∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30° ∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°， 如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，

在直角三角形ABH 中，3

60AH sin AB =?=

， ∵AB =23 ∴AH =3，

所以点H 移动的距离为3． 【点睛】

此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．

5．（1）7-t （2）()()()2

2904;

25

{1674725

t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t ==

【解析】 【分析】

（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；

（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；

（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论． 【详解】

（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7． ∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ． 故答案为：7﹣t ；

（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：

①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ． ∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴

PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925

=πt 2

； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．

∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 4

5

=（7﹣t ），∴S 16

25

=

π（7﹣t ）2． 综上所述：S 2

290425

1674725

t t t t ππ?≤??=??-??（＜）（）（＜＜）；

（3）分两种情况讨论：

①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，由（2）知，⊙P 的半径PH 3

5

=t ． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边BC 相切，∴PC =PH ． ∵PC =4﹣t ，∴4﹣t 35=

t ，∴t 5

2

=秒； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，由（2）知，⊙P 的半径PG 4

5

=（7﹣t ）． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边AC 相切，∴PC =PG ． ∵PC =t ﹣4，∴t ﹣445=

（7﹣t ），∴t 163

=秒． 综上所述：在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，t 的值为

5

2

秒或16

3

秒．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．

6．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2 【解析】 【分析】

（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ?三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=?，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；

②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【详解】

解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <， 用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，

11x ∴=-，23x =，

1m ∴=-，3n =，

(1,0)A ∴-，(0,3)B ，

把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=??=?，解得2

3b c =??=?

，

∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．

（2）令2

230y x x =-++=，即2230x x --=，

解得11x =-，23x =，

∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，

1OA ∴=，3OC =，

∴对称轴为13

12

x -+=

=，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，

∴

BC = BD ==DC ==

222CD DB CB =+，

BCD ∴?是直角三角形，且90DBC ∠=?，

∴11

2322

S BCD BD BC =

=??=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4）， ①在0≤x ≤3范围内，

当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；

②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值

223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，

令22

(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．

2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，

此时4p =，令2

4(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，

21t = )；

或者2

4[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =

4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值

223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，

令22

23[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．

综上，1t =-或2t =． 【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题． 7．（1）y ＝﹣14x 2

+x +3，顶点B 的坐标为（2，4）；（2）（i ）点E 的坐标为（85

，3）或（12

5

，3）；（ii ）存在；当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的长为

43． 【解析】 【分析】

（1）由题意得出

2

1

441,

4

3,

1

2

4

b c

b

?

-?++=

?

?

?-=

???

?-

? ?

??

?

，解得

1,

3,

b

c

=

?

?

=

?

，得出抛物线的函数表达式为：y＝

﹣1

4

x2+x+3＝﹣

1

4

（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；

（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y

＝

1

2

m

-

-

x+

46

2

m

m

-

-

，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝

4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝1518

2

m-

，分两种情况求出m的值即可；

（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣1

4

a2+a+3），则NF＝

3﹣（﹣1

4

a2+a+3）＝

1

4

a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝

4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NF NE

AE AD

=，求出a＝﹣

4

3

或0，当a＝0

时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝4

3

，即可得出结论．

【详解】

（1）∵抛物线y＝﹣1

4

x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，

∴

2

1

441, 4

3,

1

2

4

b c

b

?

-?++=?

?

?-=

???

?-

? ?

??

?

解得

1,

3, b

c

=?

?

=?

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣1

4

x2+x+3，

∵y＝﹣1

4

x2+x+3＝﹣

1

4

（x﹣2）2+4，

∴顶点B的坐标为（2，4）；

（2）（i）∵y＝﹣1

4

x2+x+3，

∴x＝0时，y＝3，

则C点的坐标为（0，3），

∵A（4，3），

∴AC∥OD，

∵AD⊥x，

∴四边形ACOD是矩形，

设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：

则

24,

3, k n

mk n

+=?

?

+=?

解得：

1

,

2

46

,

2

k

m

m

n

m

-

?

=

??-

?

-

?=

?-

?

，

∴直线BE的函数表达式为：y＝

1

2

m

-

-

x+

46

2

m

m

-

-

，

令：y＝

1

2

m

-

-

x+

46

2

m

m

-

-

＝0，则x＝4m﹣6，

∴点M的坐标为（4m﹣6，0），

∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，

∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，

∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，

∴S矩形ACOD＝OC?AC＝3×4＝12，

S梯形ECOM＝1

2

（OM+EC）?OC＝

1

2

（4m﹣6+m）×3＝

1518

2

m-

，

分两种情况：

①S ECOM

S ACOD

梯形

矩形

＝

1

4

，即

1518

2

12

m-

＝

1

4

，

解得：m＝8

5

，

∴点E的坐标为：（8

5

，3）；

②S ECOM

S ACOD

梯形

矩形

＝

3

4

，即

1518

2

12

m-

＝

3

4

，

解得：m＝12

5

，

∴点E的坐标为：（12

5

，3）；

综上所述，点E的坐标为：（8

5

，3）或（

12

5

，3）；

（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，

过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：

设点F的坐标为：（a，﹣1

4

a2+a+3），

则NF＝3﹣（﹣1

4

a2+a+3）＝

1

4

a2﹣a，NC＝﹣a，

∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，

∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，

∵NF∥CG，

∴∠EMC＝∠EFN，

∴∠EFN＝∠DGO，

在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），

∴NE＝OD＝AC＝4，

∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，

∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，

∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，

∴∠EFN＝∠DEA，

∴△ENF∽△DAE，

∴NE NF

AD AE

=，即

4

3

＝

2

1

4

a a

a

-

-

，

整理得：3

4

a2+a＝0，

解得：a＝﹣4

3

或0，

当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，

∴AE＝NC＝﹣a＝4

3

，

∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为4

3

．

【点睛】

本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型． 8．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992

2

m -+= 【解析】 【分析】 (1)把

,

,代入

,解方程组即可.

(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,

则点G 在线段BC 上,只要证明

是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交

点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到

,首先证明

,设,

,则

,

设平移后的抛物线的解析式为

,由消去y 得到

,由,推出,,M 、N 关于直线对称,

所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及

MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.

【详解】 (1),

,,代入

,

得

,解得

,

∴抛物线的解析式为

(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K.

由题意,,,,

,,

,

将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,

,

,

,

是等腰直角三角形,

,

∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.

设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,

∴直线OD的解析式为,

,

∴直线OG的解析式为,

由解得或, 点P在对称轴左侧,

点P坐标为

(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到