7、排列组合问题之全错位排列问题(一个通项公式和两个递推关系)
排列组合问题之全错位排列问题 （一个通项公式和两个递推关系）
一、问题引入：
问题1、4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有多少种？
问题2、将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有多少种不同的放法？
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。
问题3、五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有多少种？
解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置。
对于第一类，就是全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。 设n 个元素全错位排列的排列数为n T ，则对于问题3，第一类全错位排列的排列数为
5T ；第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第
二类的排列数为45T ；第三类先确定两个排原位的同学，有2
510C =种可能，其余三个同学
全错位排列，所以第三类的排列数为310T ，因此问题3的答案为：543510109T T T ++=。 由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法。
二、全错位排列数的递推关系式之一：
()()121n n n T n T T --=-+ ()3n ≥
①定义：一般地，设n 个编号为1、2、3、… 、i 、…、j 、…、n 的不同元素1a 、
2a 、3a 、…、i a 、…、j a 、…、n a ，排成一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位
置，这样的全错位排列数为n T ，则 21T =；32T =；()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。 ②递推关系的确立：
显然当1n =、2时，有10T =，21T =。
当3n ≥时，在n 个不同元素中任取一个元素i a 不排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下1n -个位置之一，所以i a 有1n -种排法。
对i a 每一种排法，如i a 排在j 位，对应j 位的元素j a 的排位总有两种情况： 第一种情况：j a 恰好排在i 位上。此时，i a 排在j 位，j a 排在i 位，元素i a ，j a 排位已定。还剩2n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为2n - 个元素全错位排列数，应有2n T -种。
第二种情况：j a 不排在i 位上。此时，i a 仍排在j 位，j a 不排在i 位，则j a 有1n -个位置可排。除i a 外，还有1n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为1n -n 个元素全错位排列数，应有1n T -种。
由乘法原理和加法原理可得：()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。 利用此递推关系可以分别算出49T =，544T =。
问题3的答案为：4459102109+?+?=。
三、全错位排列数的通项公式之一：
()11
1!12!3!
!n n T n n ??=-++-????? ()2n ≥
㈠探索：规定()
01n A n N *
=∈，试计算以下各式的值：
①210444A A A -+； ②32105555A A A A -+-； ③43210
66666
A A A A A -+-+。 很容易计算三式的值依次为9，44，265。而这与利用上面的递推关系式得到的4T ，
5T ，6T 刚好吻合。即
4T =210444A A A -+；5T =32105555A A A A -+-；6T =4321066666
A A A A A -+-+。 ㈡猜想：
根据上面的探索，我们可以猜想n 个元素全错位排列数为
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()2n ≥ ()*
为了更容易看清其本质，我们对这个式子进行变形，得到：
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()!!!12!3!!
n n n n n =
-++- ()11
1!12!3!
!n n n ??=-++-????? 。
㈢证明（数学归纳法）：
当2n =，3时，()*式显然成立。 假设n k =，1k -时，()*式成立。
则当1n k =+时，由上面的递推关系式可得： ()11k k k T k T T +-=+
()()()()1111111!11!12!3!!2!3!1!k k k k k k k -????????=-++-+--++-??????-????????
()()()()11111111!112!3!!2!3!1!k k k k k k k -??????
??=--++-+-++-??????-????????
()()()11111!112!3!1!!k k k k k k k k k -??
+++=-++-+-??-?? ()()()()()111111!11112!3!1!!!k k k k k k k k k k k -??
+++=-++-++---??-?? ()()()()()()111111!11112!3!1!!1!k k k
k k k k k k k k k -??++++=-++-++---??-+?? ()()()()()()1111111!11112!3!1!!1!k k k k k k k k k k k k -+??
++++=-++-++-+-??-+?? ()()()()()()11
111111!1112!3!1!!1!k k k k k k k -+??=+-++-+-+-??-+??
所以，当1n k =+时，()*式也成立。
由以上过程可知n 个元素全错位排列的排列数为：
()230
1n
n n n n n n T A A A --=-++- ()!!!12!3!!
n n n n n =
-++- ()11
1!12!3!
!n n n ??=-++-????? ()2n ≥
四、全错位排列数的递推关系式之二：
()11n
n n T nT -=+-
由21T =，32T =，49T =，544T =，6265T =可得： 3231T T =-；4341T T =+；5451T T =-；6561T T =+ 于是猜想：()11n
n n T nT -=+-
证明：由上面已证明的全错位排列数通项公式可知：
右边()()()()11
111!112!3!
1!n n n n n -??=--
++-?+-?
?-??
()()()1111!
!112!3!1!!n n n n n n -??=-++-?+-??-??
()11
1!12!3!
!n n n ??=-++-?=???? 左边
所以()11n
n n T nT -=+-。
初中排列组合公式例题.
复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!
错位相减法-(含答案)
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：
排列组合公式
排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;
(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空
(完整word版)数列专题错位相减求和
高一数学第七周周考 一、解答题 1．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，327a b +=，5313a b +=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15555==S a ，． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{2}n n a ?的前n 项和为n T 3．已知数列{}n a 满足12a =，2*112( )()n n n a a n N n ++=?∈ （1）求证:数列2n a n ?????? 是等比数列，并求其通项公式； （2）设22 3log ()26n n a b n =-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ； 4．已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 2 11-=.（12分） （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ?=,求数列{}n c 的前n 项和n T 5．已知数列{a n }的前n 项和s n 满足S n =2n 2﹣13n （n ∈N * ）． （1）求通项公式a n ； （2）令c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 6．等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值．
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )
字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe
gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数
排列组合公式和各类例题
基本计数原理 ⑴加法原理和分类计数法 ⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方 法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。 ⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办 法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。 ⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的 具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。 ⑵乘法原理和分步计数法 ⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 ⒉合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务； 各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。 3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。 4例题 【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？ 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定， 又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。 【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入： （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步； （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法； （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右； 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。 ∴本题答案为：C（8,3）=56。 分析
累加数列错位相减取大差法案例详解
累加数列错位相减取大差法 在非节奏流水施工中，通常采用累加数列错位相减取大差法计算流水步距。由于这种方法是由潘特考夫斯基首先提出的，故又称为潘特考夫斯基法。 基本步骤： 1. 对每一个施工过程在各施工段上的流水节拍依次累加，求得各施工过程流水节拍的累加数列； 2. 将相邻施工过程流水节拍累加数列中的后者错后一位，相减后求得一个差数列； 3. 在差数列中取最大值，即为这两个相邻施工过程的流水步距。 例题1： 某工程由3个施工过程组成，分为4个施工段进行流水施工，其流水节拍见表2-1，试确定流水步距。 解：（1）求各施工过程流水节拍的累加数列（从第一个施工段开始累加至最后一个施工段）： 施工过程Ⅰ：2，5，7，8 施工过程Ⅱ：3，5，9，11 施工过程Ⅲ：3，7，9，11
（2）错位相减求得差数列： 施工过程Ⅰ： 2，5，7，8 施工过程Ⅱ： 3，5，9，11 相减，得： 2，2，2，-1，-11 施工过程Ⅱ： 3，5，9，11 施工过程Ⅲ： 3，7，9，11 相减，得： 3，2，2，2，-11 （3）在求得的数列中取最大值求得流水步距： K1=max{2，2，2，-1，-11}=2 K2=max{3，2，2，2，-11}=3 表示：工序Ⅰ与工序Ⅱ之间的流水步距为2天，工序Ⅱ与工序Ⅲ之间的流水步距为3天。 例题2： 某工程有5座通道，每座通道工序流水节拍如下：挖基2D，清基2D，浇基4D，台身8D，盖板4D，回填6D。浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要等2天才能进行盖板施工。 问题： （1）计算不窝工的流水工期； （2）计算无多余间歇流水工期； （3）有窝工且有多余间歇流水时的工期是多少？
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教 育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2. 组合及计算公式 从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3. 其他排列与组合公式 从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）. k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）. 排列（Pnm（n为下标，m为上标）） Pnm=n×（n-1）（n- m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n 组合（Cnm（n为下标，m为上标）） Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
排列组合的基本理论和公式
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式
排列组合计算公式
1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m
排列组合公式_排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
排列组合公式 全
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
排列组合题以及公式
排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别． 【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数． （1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． 解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法； （3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积； （4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法． 【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”. 排列与组合的概念与计算公式 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n
数列练习题(裂项相消法、错位相减法)
数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．