解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc

----

高中数学必修五

第一章

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：

A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ；

2、三角形三边关系：

a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：

sin( A B) sin C , cos( A B)

cosC , tan(A

B)

tan C ,

AB

C

A

C

AB

C

sin

cos

,cos

B

sin

, tan

cot

2

2

2

2

2

2

4、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、

、 C 的对边，

R 为

C 的外

接圆的半径，则有

a b c 2R ．

sin

sin

sin C

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边： a 2R sin ， b 2R sin ， c 2R sin C ；

②化边为角： sin

a

， sin

b ， sin C

c ；

2R

2R

2R

③ a : b : c

sin

: sin : sin C ；④

a b

c

a b c ．

sin sin

sin C

sin sin sin C

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 .

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角

.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要

注意解的情况（一解、两解、三解）

)

7、余弦定理： 在

C 中，有 a

2

b 2 c

2 2bccos 等，变形： cos

b

2

c 2 a 2

等，

2bc

8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式：

1

bc sin

1

ab sin C

1

ac

2

S C

． =2R sinAsinBsinC=

sin

2

2

2

abc = r ( a

b c) = 4 R

2

p( p a)( p b)( p

c)

10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一

成边的形式或角的形式设

a 、

b 、

c 是

C 的角

、

、 C 的对边，则：

①若 a 2

b2 c

2

，则 C 90 ；②若 a

2

b2 c

2

，则 C 90 ；③若 a

2

b2 c

2

，则 C 90 ．

11、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）

内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

12同角的三角函数之间的关系

（１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα ＝１

sin cos

（３）商的关系：tan , cot

cos sin

--

特殊角的三角函数值

三角 0

30

45

60

90

函数值

sin

1 2 3 1

2

2 2

cos 1

3 2 1 0

2

2

2

tan

3 １

3

不存在

3

三角函数诱导公式： “ （

k

）” 记忆口诀 : “奇变偶不变，符号看象限”

，是指

k

2

（

）， k ∈ Z 的三角函数值，当

k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切 ; 正

2

割、余割也同样）

;

当 k 为偶数时，

函数名 不变。然后 符号 与 ‘将 α 看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。

三角函数的图像与性质：

y=sinx

y

-

-5 1

3 7

2

2 o

2

2

-4-7 -3

-2-3- -1

2 53

4

2

2

2

2

x

y=cosx

y

-5 - 2

1

3

7 -7

-3

2

-

o

2

3

2

-2-3

2 5

4

-4

-1

2

2

2

2

3 - - o 3 x

- 2 2 2 2

y tan x y sin x y cos x

--

----

定义域R R

x | x

1

R 且 x k ,k Z 2

值域[1,1] [ 1, 1] R 周期性 2 2

奇偶性奇函数偶函数奇函数

,

[

2 2k , [ 2 k 1 ；上为增函

k 上为增函数（k Z ）上为增

2 k ]

k ,

2k ] 数 [ 2 k

2 2 ,

2 2 k 1]

[ 2 k ,

上为减函数

函数；2

上（ k Z ）3

单调性 2 k ]

2

为减函数（k Z ）

有关函数 y A sin( x ) B（其中 A 0，0）

最大值是 A B ，最小值是 B A ，周期是 T 2

，相位是 x ，，频率是 f

初相是；

2

其图象的对称轴是直线是该图象的对称中心。x k( k Z ) ，凡是该图象与直线y B 的交点都2

函数 y＝sin(ω x ＋) 的图象与函数y＝sin x 的图象的关系:

由 y＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ω x＋) 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个

途径，才能灵活进行图象变换。

途径一：先平移变换再周期变换( 伸缩变换 )

先将 y＝sin x 的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横

坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋) 的图象。（先相位变换，再周期变换）途径二：先周期变换( 伸缩变换 ) 再平移变换。

先将 y＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(＞0)或向||

右(

＜0＝平移个单位，便得

y＝sin(ω x ＋) 的图象。（先周期变换，再相位变换）对称轴与对称中心：

y sin x 的对称轴为x k 2 ，对称中心为(k ,0)k Z ；

y cos x 的对称轴为x k，对称中心为(k 2 ,0)；

y=tan x图像的对称中心是（k，0），无对称轴。

2

★诱导公式★(以下 k ∈ Z)

--

----

公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （ 2kπ＋α）＝ sin α cos （ 2kπ＋α）＝ cos αtan （ 2kπ＋α）＝ tan α

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：

sin （π＋α）＝－ sin αcos （π＋α）＝－ cos αtan （π＋α）＝ tan α

公式三：任意角α与 - α的三角函数值之间的关系：

sin （－α）＝－ sin αcos （－α）＝ cos αtan （－α）＝－ tan α

公式四：利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π－α）＝ sin αcos （π －α）＝－ cos αtan （π－α）＝－ tan α

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π - α与α 的三角函数值之间的关系：

sin （ 2π－α）＝－ sin αcos （ 2π－α）＝ cos αtan （ 2π－α）＝－ tan α

公式六：π/2 ±α及 3 π/2 ± α 与α 的三角函数值之间的关系：

sin （π /2 ＋α）＝ cos αcos （π /2 ＋α）＝－ sin αtan （π /2 ＋α）＝－ cot αcot （π /2＋α）＝－ tan α sin （π /2－α）＝ cos αcos （π /2－α）＝ sin α

tan （π /2－α）＝ cot αcot （π /2－α）＝ tan αsin （ 3π /2 ＋α）＝－ cos αcos （ 3π /2＋α）＝ sin αtan （ 3 π /2 ＋α）＝－ cot αcot （ 3π /2＋α）＝－ tan αsin （ 3π /2－α）＝－ cos αcos （ 3π /2－α）＝－ sin α tan （ 3π /2－α）＝ cot αcot （ 3π /2－α）＝ tan α

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

商的关系：sin α/cos α＝ tan α

平方关系： sin 2

α＋ cos

2

α＝ 1

两角和差公式两角和与差的三角函数公式

sin （α＋β）＝ sin αcos β＋ cos αsin βsin （α－β）＝ sin αcos β－ cos αsin βcos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin αsin βcos （α－β）＝ cos αcos β＋ sin αsin βtan （α＋β）＝ (tan α +tan β) ／ (1- tan α tan β)

tan （α－β）＝ (tan α－ tan β) ／ (1 ＋ tan α· tan β )

二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2 α＝ 2sin α cos α

cos2 α＝ cos^2( α ) － sin^2( α) ＝2cos^2( α) － 1 ＝ 1 － 2sin^2(α) tan2 α＝ 2tan α /[1 － tan^2( α )]

半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（

降幂扩角公式）

sin 2

( α /2) ＝ (1 － cos α) ／ 2 cos 2 ( α /2) ＝ (1 ＋ cos α) ／ 2 2

( α /2)＝ (1 － cos α ) ／ (1 ＋ cos α)

tan

另也有 tan( α/2)=(1 － cos α)/sin α=sin α /(1+cos α) 万能公式

--

---- 万能公式

sin α=2tan( α/2)/[1+tan 2

( α /2)]

cos α=[1 -tan 2

( α /2)]/[1+tan

2

(α/2)]

tan α =2tan( α/2)/[1 -tan 2

(α/2)]

三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

3

sin3 α＝ 3sin α－ 4sinα

tan3 α＝（ 3tan α－ tan 3

α）／（ 1 － 3tan

2

α）

和差化积公式三角函数的和差化积公式

sin α＋ sin β＝ 2sin[( α＋β )/2] · cos[(－αβ )/2]

sin α－ sin β＝ 2cos[( α＋β )/2]· sin[(－βα)/2] cos α＋ cos β＝ 2cos[(α＋β )/2]· cos[(－αβ )/2] cos α － cos β＝－ 2sin[(α＋β )/2]· sin[(－βα)/2] 积化和差公式三角函数的积化和差公式

sin α · cos β＝ [sin( cos α · sin ＝β [sin( α＋β) ＋ sin( α

＋β ) － sin(

α－β )]/2

α－β )]/2

cos α · cos β＝ [cos(α ＋β )＋cos(α－β )]/2 sin α · sin ＝β— [cos(α ＋β)－cos(α －β )]/2

--