高考数学《直线与圆》试题汇编
2008年全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程
一、选择题:
1.(全国Ⅱ卷文科3)原点到直线052=-+y x 的距离为
( D )
A .1
B .3
C .2
D .5
2.(福建文科2)“a =1”是“直线x +y =0和直线x -ay =0互相垂直”的
( C )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3.(四川理科4文科6)将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?,再向右平移1个单位,所得到的直线
为
( A )
A .1133
y x =-
+ B .1
13
y x =-
+ C .33y x =-
D .1
13
y x =
+ 解析:本题有新意,审题是关键.旋转90?则与原直线垂直,故旋转后斜率为13
-.再右移1得
1
(1)3
y x =--.
选A .本题一考两直线垂直的充要条件,二考平移法则.辅以平几背景之旋转变换.
4.(全国I 卷理科10)若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα,,则 ( B )
A .2
2
1a b +≤
B .22
1a b +≥ C .22111a b
+≤
D .
2
211
1a b
+≥ 5.(重庆理科7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ,则点P 分有向线段12PP u u u u r
所
成的
比λ的值为
( A )
A .-
13
B .-
15 C .15 D .13 (重庆文科4)若点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为-1
3
,则点B 分有向线段PA u u u r 所成的比是
( A )
A .-
32
B .-
12
C .
12
D .3
6.(安徽理科8文科10)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2
(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率
的取值范围为 ( C )
A .[
B .(
C .[
D .( 7.(辽宁文、理科3)圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有..
公共点的充要条件是 ( C )
A .(2,2)k ∈-
B .(,
2)(2,)k ∈-∞-?+∞ C .(3,3)k ∈-
D .(,3)(3,)k ∈-∞-?+∞
8.(陕西文、理科5)直线30x y m -+=与圆22
220x y x +--=相切,则实数m 等于
( C ) A .3或3-
B .3-或33
C .33-或3
D .33-或33
9.(安徽文科11)若A 为不等式组 0,
0,2x y y x ??
??-?
≤≥≤ 表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到
1时,
动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为
( C )
A .
34
B .1
C .
74
D .2
10.(湖北文科
5)在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式组,
1
x y x ????≤的点(,)x y 的集合用
阴影表
示为下列图中的
( C )
11.(辽宁文科9)已知变量x 、y 满足约束条件10,310,10,y x y x y x +-??
--??-+?
≤≤≥则z =2x+y 的最大值为( B )
A .4
B .2
C .1
D .-4
12.(北京理科5)若实数x ,y 满足1000x y x y x -+??
+???
≥≥≤,则z =3x +y 的最小值是 ( B )
A .0
B .1
C .3
D .9
(北京文科6)若实数x ,y 满足1000x y x y x -+??
+???
≥≥≤,则z =x +2y 的最小值是
( A )
A .0
B .
2
1 C .1 D .
2 13.(福建理科8)若实数x 、y 满足???x -y+1≤0x >0
,则y
x 的取值范围是
( C ) A .(0,1) B .(0,1] C .(1,+∞)
D .[1,+∞)
(福建文科10)若实数x 、y 满足20,
0,2,
x y x x -+??
>???
≤≤则y x 的取值范围是
( D )
A .(0,2)
B .(0,2)
C .(2,+∞)
D .[2,+∞)
14.(天津理科2文科3)设变量y x ,满足约束条件0
121x y x y x y -??
+??+?
≥≤≥,则目标函数y x z +=5的最
大值为
A .2
B .3
C .4
D .5
( D )
15.(广东理科4)若变量x 、y 满足240
25000
x y x y x y +??+?
????≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是( C )
A .90
B .80
C .70
D .40
16.(湖南理科3)已知变量x 、y 满足条件1,
0,290,x x y x y ??
-??+-?
≥≤≤则x+y 的最大值是( C )
A .2
B .5
C .6
D .8 (湖南文科3)已知变量x 、y 满足条件120x y x y ??
??-?
≥≤≤,,,则x +y 是最小值是
( C )
A .4
B .3
C .2
D .1
17.(全国Ⅱ卷理科5文科6)设变量x ,y 满足约束条件:,22,2y x x y x ??
+??-?
≥≤≥则y x z 3-=的最小值
为( D )
A .-2
B .-4
C . -6
D .-8
18.(陕西理科10)已知实数x y ,满足121y y x x y m ??
-??+?
≥≤≤,,.如果目标函数z x y =-的最小值为1-,
则实
数m 等于
( B )
A .7
B .5
C .4
D .3
19.(浙江文科10)若0,0a b ≥≥,且当0,
0,1x y x y ??
??+?
≥≥≤时,恒有1ax by +≤,则以a ,b 为坐标点
(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于
( C )
A .
12
B .
4
π C .1 D .
2
π 20.(山东理科12)设二元一次不等式组219080,2140x y x y x y +-??
-+??+-?
≥≥≤,所表示的平面区域为M ,使函数
y =a x (a >0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是
( C ) A .[1,3]
B .[2,10]
C .[2,9]
D .[10,9]
21.(山东文科11)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线430x y -=和x 轴相切,则该
圆的标准方程是
( B )
A .2
27(3)13x y ?
?-+-= ??
?
B .22
(2)(1)1x y -+-=
C .2
2
(1)(3)1x y -+-=
D .2
23(1)12x y ?
?-+-= ??
?
22.(重庆文科3)曲线C :cos 1.
sin 1
x y θθ=-??
=+?(θ为参数)的普通方程为
( C )
A .(x -1)2+(y +1)2=1
B .(x +1)2+(y +1)2=1
C .(x +1)2+(y -1)2=1
D .(x -1)2+(y -1)2=1
23.(北京理科7)过直线y =x 上的一点作圆2
2
(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1,l 2,当直线
l 1,l 2关
于y =x 对称时,它们之间的夹角为
( C )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
24.(广东文科6)经过圆2
2
20x x y ++=的圆心C ,且与直线0x y +=垂直的直线方程是( C )
A .x +y +1=0
B .x +y -1=0
C .x -y +1=0
D .x -y -1=0
25.(湖北理科9)过点A (11,2)作圆2
2
241640x y x y ++--=的弦,其中弦长为整数的共有
A .16条
B .17条
C .32条
D .34条
( C )
26.(山东理科11)已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为
AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为 ( B )
A .106
B .206
C .306
D .406
27.(重庆理科3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是 ( B )
A .相离
B .相交
C .外切
D .内切
28.(上海理科15)如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个
与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域(含边界),A 、B 、C 、D 是该圆的 四等分点,若点P (x ,y )、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’, 则称P 优于P ’,如果Ω中的点Q 满足:不存在Ω中的其 它点优于Q ,那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧
( D ) A .AB ︵
B .B
C ︵
C .C
D ︵
D .DA ︵
二、填空题
29.(广东文科12)若变量x 、y 满足24025000
x y x y x y +??+?
????≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是 .
答案:70
30.(全国I 卷理科
13)若x y ,满足约束条件03003x y x y x ?+?
-+???
,
,,≥≥≤≤则2z x y =-的最大值
为 .
答案:9
31.(山东文科
16)设x y ,满足约束条件20510000x y x y x y ?-+?
--?????
,
,
,,≥≤≥≥则2z x y =+的最大值
为 .
答案:11
32.(安徽理科15)若A 为不等式组002x y y x ??
??-?
≤≥≤表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1
时,动
直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 . 答案:
74
33.(浙江理科17)若a ≥0,b ≥0,且当0,0,1x y x y ??
??+?
≥≥≤时,恒有ax +by ≤1,则以a 、b 为坐标的
点P (a ,b )所形成的平面区域的面积等于_________. 答案:1
34.(福建理科14)若直线3x +4y +m =0与圆???x =1+cos θ
y =-2+sin θ
(θ为参数)没有公共点,则实数m
的取值
范围是 .
答案:(,0)(10,)-∞?+∞
(福建文科14)若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点,则实数m 的取值
范围
是 . 答案:(,0)(10,)-∞?+∞
35.(山东文科13)已知圆2
2
:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的
一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .
答案:22
1412
x y -=
36.(江苏9)如图,在平面直角坐标系xOy 中,设△ABC 的顶点分别为
(0)(0)(0)A a B b C c ,,,,,,
点(0)P p ,是线段OA 上一点(异于端点),a b c p ,,,均为
非零实数.直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E ,F .一同学已
正确地求出直线OE 的方程为11110x y b c p a ??
??-+-= ?
??
???,请你 完成直线OF 的方程:( ▲ )110x y p a ??
+-= ???
. 答案:
11
c b
- 37.(广东理科11)经过圆2
2
20x x y ++=的圆心C ,且与直线0x y +=
垂直的直线方程是________________.
【解析】易知点C 为(1,0)-,而直线与0x y +=垂直,我们设待求的直线的方程为y x b =+,
将点C 的
坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =,故待求的直线的方程为10x y -
+=.
38.(重庆理科15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0(a <3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),
则直线l 的方程为 . 答案:x -y +1=0
(重庆文科15)已知圆C :2
2230x
y x ay +++-=(a 为实数)上任意一点关于直线l :
x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a = . 答案:-2
39.(天津理科13)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42
=的焦点关于直线x y =对称.直线
0234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点,且6=AB ,则圆C 的方程为 .. 答案:22(1)10x y +-=
40.(天津文科15)已知圆C 的圆心与点(21)P -,关于直线1y x =+对称.直线
34110x y +-=与
圆C 相交于A B ,两点,且6AB =,则圆C 的方程为 . 答案:22(1)18x y ++=
41.(湖南文科14)将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ,则圆C 的方程是 ;
若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切,则直线l 的斜率是 .
答案:(x -1)2+y 2=133
42.(四川文、理科14)已知直线:40l x y -+=与圆2
2
:(1)(1)2C x y -+-=,则C 上各点到l 距离
的最小值为 .
解析:由数想形,所求最小值=圆心到到直线的距离-圆的半径.圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离
d =
三、解答题 43.(宁夏海南文科第20题)
已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2
=+-和圆01648:2
2
=++-+y x y x C . (Ⅰ)求直线l 斜率的取值范围;
(Ⅱ)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧?为什么? 解:(Ⅰ)22
,0()1
m
k km m k m =
∴-+=*+Q , ,m ∈R Q ∴当k ≠0时0?≥,解得11
22
k -≤≤且k ≠0
又当k =0时,m =0,方程()*有解,所以,综上所述11
22
k -≤≤
(Ⅱ)假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧.设直线l 与圆C 交于A ,B 两点
则∠ACB =120°.∵圆22:(4)(2)4C x y -++=,∴圆心C (4,-2)到l 的距离为1.
1=,整理得423530m m ++=.
∵254330?=-??<,∴423530m m ++=无实数解. 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧.
44.(江苏18)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2
()2f x x x b =++(x ∈R )与两坐标轴有三
个交点.记过三个交点的圆为圆C . (Ⅰ)求实数b 的取值范围; (Ⅱ)求圆C 的方程;
(Ⅲ)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)?证明你的结论. 解:(Ⅰ)令x =0,得抛物线于y 轴的交点是(0,b )
令f (x )=0,得x 2+2x +b =0,由题意b ≠0且△>0,解得b <1且b ≠0 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0
令y =0,得x 2+D x +F=0,这与x 2+2x +b =0是同一个方程,故D=2,F=b 令x =0,得y 2+ E y +b =0,此方程有一个根为b ,代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1)y +b =0 (Ⅲ)圆C 必过定点(0,1),(-2,1)
证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边= 02+ 12+2×0-(b +1)×1+b =0,右边=0 所以圆C 必过定点(0,1); 同理可证圆C 必过定点(-2,1).