多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限lim x y x y

x y →→+00

242

= （ B ）

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12

； (D)存在且不等于0或

（提示：令2

y k x =）

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=?

????1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???

?22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

(A) 处处连续；

(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；

(D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在2

0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

200

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续。）

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）

(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan

，则??u

= （ B ） (A)

x y 22

+；

(B) -

x y 22

；

x y

+ ； (D)

-+x

x y

6、设f x y y

(,)arcsin

=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-

；（B ）

14；（C ）-12；（D ）12 7、若)ln(y x z -=，则=??+??y

z y x z x （ C ）（A ）y x +；（B ）y x -；（C ）21；（D ）2

-．

8、设y x

z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

（A ）22v u v u --；（B ）22v u u v --；（C ）22v u v u +-；（D ）2

u u

v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'

232612=+=+，则f x x y '

(,)2= （ D ）

(A) x +

； (B) x -

； (C) 21x +； (D) -+21x

10、设z y x

=，则(

)(,)????z x z

+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数z x y =-

+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）

（A ）极大值点但非最大值点；（B ）极大值点且是最大值点；（C ）极小值点但非最小值点；（D ）极小值点且是最小值点。

12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有（ C ）

2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则

（A ）点P 0是函数z 的极大值点；（B ）点P 0是函数z 的极小值点；（C ）点P 0非函数z 的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

二、填空题

1、极限lim

sin()

x y xy x →→0π

= ??????? 。答：π

2、极限lim

ln()x y x y e x y

→→++01

=??????? 。答：ln 2

3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。答：x y +≥1

4、函数z x

arcsin 的定义域为 ??????? 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ??

，则f kx ky (,)= ??????? 。答：k f x y 2

?(,)

6、设函数f x y xy x y

(,)=+，则f x y x y (,)+-= ??????? 。答：22

2x y x -

（

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==++-）

7、设z x y y =-+sin()3，则

??z

x y ===21

_________ 。答：3cos5

8、函数z z x y =(,)由方程x y z e

x y z ++=-++()

所确定，则22

??= 0 9、、设u x xy =ln ，则

???2u

x y

= ___________ 。答：1y 9、函数z x y x y =----234612

的驻点是_________。答：（1，－1）

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1) z = (2)ln()z x y =+

(3)1

ln()

z x y =

+ (4)ln(1)z xy =-

解：(1)要使函数z =有意义，必须有2

10x y --≥，即有2

1x y +≤.

故所求函数的定义域为22

{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1

(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为

{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2

(3)要使函数1

ln()

z x y =

+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.

故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3

(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为

{(,)|1}D x y xy =>，图形为图

3.4

图3.1 图3.2

图3.3 图3.4

2、求极限lim x y x

xye xy

→→-+0

416 。

解：lim x y x

xye xy

→→-+0

416

=++-→→lim ()

x y x xye xy xy

416

= -8

3、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2

=++所确定，求

??z y 。答：2112xyz xy

4、设z y xy x

=ln()，求

????z x z y ,。解：z y y xy x

y x x

x =?+

ln ln 1

z xy xy y

y y x x =+

-11ln()

四、应用题

。

1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产

y 单位的产品乙的总费用是

)33(01.0324002

y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(2

y xy x y x y x y x L +++++-+=

)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，

令??

?=+-='=+-='0

)6(01.060)6(01.08y x L y x L y x

，解得唯一驻点（120，80）.

又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得

0105.332>?=--B AC .

得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.

五、证明题

1、设

)11(y

x e z +-= 求证z y

z y x z x 222

=??+??

证明：因为

1(1

x e x z y x ?=??+- 2

1(1y

e y z y x ?=??+- 所以

z e e y

z y x z x y x y x 2)1

1()1

1(22=+=??+??+-+-

2. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明

1=??+??y

z x z

证明：设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则

F x =2cos(x +2y -3z )-1

F y =2cos(x +2y -3z )?2-2=2F x

F z =2cos(x +2y -3z )?(-3)+3=-3F x

3=--=-=??x x z x F F

F F x z 3

232=--=-=??x x z y F F

F F y z

于是

231=+=--=??+??z z z x F F F F y z x z

3、设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函

数, 证明

1-=????????x

z z y y x

解：因为

x y F F y x -=??, y z F F z y -=??,

z x

F F x z -=??

所以 1

)()()(-=-?-?-=????????z

x y z x y F F F F F F x z z y y x

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。（2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法一、复合函数微分法――链式法则模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????；模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。【例1】设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。解根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++

由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -）由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（）（A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微分学章节复习

多元函数微分学章节复习本章教学要求： 1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。 2．熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。 3．熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。 4．能熟练地求全微分。 5．了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。例题讲解：一、填空题 1．函数的定义域是___________________________。 2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。 3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。 4．二元函数的定义域是________________________。 5．设，则dz＝________________。 6．设z＝(1＋xy)x，则＝_____________。 7．设f(x，y)＝ln(x＋e xy)，则＝________________。 8．函数的定义域是________________________。 9．函数的定义域是________________________。 10．设z＝f(u，v)，u＝xy，，则＝________________。 11．设e z－xyz＝0，则＝________________。

分析与解答： 1．函数的定义域是___________________________。 1．要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；x2＋y2≠1，|y|≤|x|，x≠0} 2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。 2．令，则，即有，故 3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。 3．，，故 4．二元函数的定义域是________________________。 4．要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；－2≤x＋y≤2，x－y＞0，x－y≠1} 5．设，则dz＝________________。 5．，，故

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ）（A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

多元函数微分法

第十章多元函数微分学一、学习要点 1.关于二元函数会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种：（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数例设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

多元函数微分学复习题及答案38684

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续（提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x ' (,)21= （ A ）（A ）- 14；（B ） 14；（C ）-12；（D ）12

多元函数微分学与其应用归纳总结

第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1．讨论函数332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。例2．（06年期末考试十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。答：（） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续。答：（）三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第二节作业一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设答：（）三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足第三节作业一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。答：（）

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欢迎阅读第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1.极限 lim x 2 y 2 = （ B ） x 4 y x 0 y 0 等于 0；不存在；等于 1 ； (D)存在且不等于 0 或 1 (A) (B) (C) 2 2 （提示：令 y k 2 x 2 ） 2、设函数 f ( x, y) x sin 1 y sin 1 xy 0 ，则极限 x f x y = （ C ） y x lim ( , ) xy 0 y (A)不存在； (B)等于 1； (C)等于 0； (D)等于 2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数 ( , ) xy 2 x 2 y 2 0 f ( x, y) （ A ） 2 ，则 f x y x y x 2 y 2 (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（ 0,0）点连续； (D) 除（ 0,0）点外处处连续（提示：①在 x 2 y 2 0 ， f (x, y) 处处连续；②在 x 0, y 0 ，令 y kx ， lim kx 2 2 lim kx 2 0 f (0,0) ，故在 x 2 y 2 0 ，函数亦连续。所以， f ( x, y) 在整个定 x 0 x 2 2 x x 0 1 k y 0 k 义域内处处连续。） 4、函数 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设 u arctan y ，则 u = （ B ） x x (A) x ； (B) y ； (C) y ； (D) x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 y 2 x x 6、设 f ( x, y) arcsin y ，则 f x ' (2,1) （ A ） x （A ） 1 ；（B ） 1 ；（ C ） 1 ；（D ） 1 4 4 2 2

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题 1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件． A ．充分 B ．充分必要 C ．必要 D ．非充分非必要 2.函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（） A 不是(,)f x y 连续点 B 不是(,)f x y 的极值点 C 是(,)f x y 的极大值点 D 是(,)f x y 的极小值点 4. 函数22 224422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在（0，0）处（ C ） A 连续但不可连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可既不连续，偏导数又不存在 5. 二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A ). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在 C ．不可微,偏导数存在 D ．不可微,偏导数不存在 6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.

则=??2 2y z ( ). (A)22 2y v v f y v y v f ?????+??????； (B)22y v v f ?????； (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????； (D)2222y v v f y v v f ?????+?????. 7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0) (,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）. A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ??? 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ??? ，求 z z x y x y ??-?? 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ?? 11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ???.