全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全说课讲解

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全

一、角平分线类辅助线作法

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等?对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.

1、 角分线上点向角两边作垂线构全等：

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等

利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段

题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，

从而构造等腰三角形.或通过一边上

的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至

于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件

.

图四

M

B

图一

M

图

M

B

图三

典型例题精讲

【例1】如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且PD丄BC于D, AB+ BC 2BD .

求证：BAP+ BCP 180 .

【解析】过点P作PE丄AB于点E.

VPE± AB, PD 丄BC, BN 平分/ABC,：PE PD .

在Rt APBE 和Rt APBC 中，

BP BP

PE PD

???Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE BD .

T AB BC 2BD , BC CD BD , AB BE AE , ? AE CD .

??PE丄AB, PD 丄BC ,? PEB PDB 90 .

在AFAE 和Rt APCD 中，

PE PD

PEB PDC ,

AE DC

? △AE织t A^CD , ? PCB EAP .

?/ BAP EAP 180 , ? BAP BCP 180 .

【答案】见解析.

E

P

【解析】因为已知PD平分/ ADC，所以我们过P点作PE丄CD，垂足为E,则PA PE ,由P是AB 的中点，得PB PE，即CP平分/ DCB .

【答案】作PE丄CD，垂足为E，??? PEC A 90 ，

??? PD 平分 / ADC，? PA PE，

又?/ B PEC 90，? PB PE，

???点P在/ DCB的平分线上，

? CP 平分/ DCB .

【例3】已知：AOB 90，OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .

(1) PC和PD有怎样的数量关系是____________

(2) 请你证明(1)得出的结论.

【解析】(1) PC PD .

(2)

过P 分别作PE 丄OB 于E , PF 丄OA 于F , ??? CFP DEP 90 ,

???OM 是/AOB 的平分线，? PE PF , ?/

1 FPD 90，且

AOB 90

,? FPE 90 ,

? 2 FPD 90 , ? 1 2 ,

在△CFP 和ADEP 中

CPF DEP PF PE , AZCFP 也zDEP ,? PC PD .

1 2

【答案】见解析.

如图①，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以

形?请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，

B 60 , AD 、CE 分别是/ BA

C 、/ BCA 的平

分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系(不需证明)；

(2)如图③，在△ ABC 中，B 60，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由.

【解析】如图①所示;

(1) FE FD .

【例4】 OP 所在直线为对称轴的全等三角

图①

(2)如图，过点F作FG丄AB于G,作FH丄BC于H，作FK丄AC于K,

??AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线，二FG FH FK ,

在四边形BGFH 中，GFH 360 60 90 2 120 ,

??AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线， B 60 ,

??? FAC FCA 1 180 60 60 .

2

在△AFC 中，AFC 180 FAC FCA 180 60 120 ,

在AEFG和ADFH中,

EFG DFH

EGF DHF , AZEFG 也Q FH ,二FE FD

FG FH

【答案】见解析.

120 , AC 平分/ MAN，点B、D 分别在AN、AM 上.

1

AC B 30后再可以证得AD AB严，从而，证得结论;

(2)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△ CED BJCFB后即可得到

EFD AFC 120 ,EFG DFH ,

【例5】已知MAN

(1)如图1，若ABC

之；

(2)如图2,若ABC 若

不成立，请说明理由.

ADC 90

ADC 180

，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明【解析】(1)得到ACD

，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立, 给出证明;