四川省成都市高考数学零诊试卷
２01５年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科)
一、选择题．本大题共1０小题，每小题5分,共5０分，在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得.
1.（5分)(２01４?成都模拟）已知向量＝(5,﹣3),=（﹣6，４），则+＝（)
A。（1,１） B.(﹣1，﹣1)?Ｃ。(１，﹣1）?D。（﹣1，1）
2．(5分)(2014?成都模拟）设全集U＝｛１，2，3，4｝,集合S=｛l，3｝，Ｔ=｛4｝,则（?U S)∪T 等于（)
A．{2,４｝B．{4｝ C．??D．{1,３，4}
3。（5分）(２014?成都模拟）已知命题p：?x∈R,2x=5，则￢p为( ）
A。?x?R,2ｘ=5 Ｂ．?ｘ∈R，2x≠5 C.?x０∈R，２=5 Ｄ.?x0∈R，2≠5
4。(5分）（2０14?成都模拟)计算21og６3＋log64得结果就是(）
A．log62 B。2?Ｃ．lｏg63?D．3
5.(5分)（２015?青岛模拟）已知实数x,y满足,则z＝4x+y得最大值为（)
A.1０B．８?C．２D.0
6。(5分)（２014?成都模拟）关于空间两条不重合得直线ａ、b与平面α，下列命题正确得就是( )
A.若a∥b，b?α,则a∥α?
B.若ａ∥α，b?α，则ａ∥ｂ
C。若a∥α,ｂ∥α,则a∥b?D.若ａ⊥α，b⊥α，则a∥b
7.(５分)（2014?成都模拟）PM2、5就是指大气中直径小于或等于2、5微米得颗粒物,也称为可A肺颗粒物,般情况下ＰM２、5浓度越大，大气环境质量越差,茎叶图表示得就是成都市区甲、乙两个监测站某1０日内每天得PＭ2、5浓度读数(单位:μg／m3）则下列说法正确得就是（）
A．这ｌ0日内甲、乙监测站读数得极差相等
B.这１０日内甲、乙监测站读数得中位数中，乙得较大
Ｃ．这10日内乙监测站读数得众数与中位数相等
D.这10日内甲、乙监测站读数得平均数相等
8.(5分)(2014?成都模拟)已知函数f（x）=sinωx＋ｃosωx（ω＞0）得图象与直线y=﹣２得两个相邻公共点之间得距离等于π，则ｆ(x）得单调递减区间就是（)
Ａ。[ｋπ+，ｋπ+］,k∈z?B。[ｋπ﹣，kπ+］，k∈z
Ｃ．［２kπ＋,２kπ+]，k∈z D。［２kπ﹣，2kπ+］，k∈z
9。（５分)(２０14?成都模拟)已知定义在R上得偶函数f(x）满足f（4﹣x)=f（ｘ),且当ｘ∈（﹣1，3]时,f（x）=则ｇ（x)＝f（x）﹣|1gx|得零点个数就是（)
A。7?B．8 C.9 Ｄ.10
1０．（5分）(2015?河南模拟）如图，已知椭圆Ｃl:+y2=１,双曲线C2：＝1(a>0，b〉0）,若以C1得长轴为直径得圆与C2得一条渐近线相交于A,Ｂ两点，且Ｃ1与该渐近线得两交点将线段ＡB三等分，则Ｃ2得离心率为（）
A。5 B.?Ｃ. D。
二、填空题:本大题共５小题，每小题5分，共２５分答案填在答题卡上.
11．（5分)（2０15?兰州一模）已知α∈(０，),cosα＝，则sin(π﹣α）＝。
1２.(５分）（201４?成都模拟）当x＞1时，函数得最小值为。
13。(５分）(20１4?成都模拟)如图就是一个几何体得本视图,则该几何体得表面积就
是。
14．(5分）（2０14?成都模拟）运行如图所示得程序框图,则输出得运算结果就是.
１5.(5分）(2０14?成都模拟)已知直线y=k(x+)与曲线y=恰有两个不同交点,记k得所有可能取值构成集合A;P（x，y）就是椭圆+=l上一动点,点P1(ｘ１，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记得所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1,λ２，则λ1＞λ2得概率就是.
三、解答题：本大题共6小题,共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．
1６.(1２分)(２014?成都模拟）已知等差数列｛ａｎ}得前ｎ项与为Ｓｎ,且a２=3，Ｓ7=49,n∈N*。(I）求数列{a n}得通项公式；
(Ⅱ)设b n＝，求数列{ｂｎ｝得前n项与Ｔｎ．
17。（12分）(2014?成都模拟）在△ＡBC中，角A,B,C所对得边分别就是a,b，c，已知向量=(a﹣b，c﹣a），=（ａ+ｂ，c)且?=０。
(Ⅰ）求角Ｂ得大小；
（Ⅱ）求函数f（Ａ）=sｉn（Ａ+）得值域。
18.(１2分）(2０14?成都模拟）某地区为了解高二学生作业量与玩电脑游戏得情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样得方法，得到一个容量为200得样本统计数据如表：
认为作业多认为作业不多总数
喜欢电脑游戏72名3６名108名
不喜欢电脑游戏3２名60名92名
（I）已知该地区共有高二学生4250０名,根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有多少名?
（Ⅱ）在A,Ｂ,C,D，E，Ｆ六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多得概率.
１9。（12分）（2014?成都模拟）如图,已知⊙O得直径AB=3，点C为⊙O上异于A，Ｂ得一点,VＣ⊥平面AＢC，且VC=2，点M为线段ＶB得中点．
（I）求证：BC⊥平面V AC;
(Ⅱ）若AC＝1，求二面角M﹣V A﹣C得余弦值．
20．(13分）（2014?成都模拟）在平面直角坐标系xOｙ中,点P就是圆ｘ2+ｙ2=4上一动点，ＰD⊥x轴于点Ｄ,记满足=（＋)得动点M得轨迹为Γ。
（Ⅰ）求轨迹Γ得方程；
(Ⅱ）已知直线l:y=ｋx+ｍ与轨迹F交于不同两点Ａ，B,点G就是线段AB中点,射线OＧ交轨迹Ｆ于点Q，且＝λ,λ∈R。
①证明:λ2m2=4ｋ2+1；
②求△AOB得面积S（λ)得解析式,并计算Ｓ（λ)得最大值.
21。（14分)（20１4?成都模拟）巳知函数ｆ(x)＝x1nx,ｇ(x)=ax2﹣ｂx,其中a，b∈R．
（Ｉ)求函数f（ｘ）得最小值;
(Ⅱ)当a>0，且a为常数时,若函数ｈ（ｘ)＝x[g（x）+１]对任意得x１＞x2≥4，总有>０成立，试用a表示出b得取值范围;
（Ⅲ）当ｂ=﹣a时,若f（x+１)≤g（ｘ)对x∈[0，+∞）恒成立，求a得最小值.
2015年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题1、D。2。、A.3、D。4. B。5。B。６。D7. C.8．A9. D.1０．C。
二、填空题：11。. 12。3。1３. 28+12。14。。15。。
16.(１２分)(２014?成都模拟)已知等差数列｛aｎ｝得前n项与为Sｎ,且a2＝3,S７=49，ｎ∈N＊. （I）求数列｛ａn｝得通项公式;
(Ⅱ)设ｂn=，求数列{bｎ｝得前n项与T n．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}得通项公式。
（Ⅱ）求出数列｛bｎ}得通项公式，利用等比数列得求与公式即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列得公差就是d,
∵a2＝3，Ｓ7=４９，
∴，解得,
∴a n＝a1+(n﹣１）d=１+2(n﹣1)=２n﹣１．
(Ⅱ）b n===2n，
则数列｛b n}为等比数列，
则数列{b n}得前n项与T n＝．
1７。（１2分)（２014?成都模拟）在△ABC中,角A,B，C所对得边分别就是ａ,ｂ,ｃ,已知向量=（ａ﹣b,ｃ﹣a）,=(a+b,c）且?=０。
（Ⅰ)求角B得大小；
(Ⅱ)求函数ｆ（A)＝sｉn(A＋）得值域.
【解答】解:（Ⅰ)∵=（a﹣ｂ，c﹣a),=(a＋ｂ，ｃ),且?=０,
∴（ａ﹣b）(ａ＋b）﹣c（a﹣c）=0,即ａ2+c２=b２+ａc，
∴coｓＢ＝＝，∵B∈(0，π），∴B＝；
(Ⅱ）由(Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈(0,),∴A+∈（,),
∴sin(A+）∈(，1]，则ｆ（A)=sin(Ａ+）得值域为(，１].
18．（12分）(2０14?成都模拟）某地区为了解高二学生作业量与玩电脑游戏得情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样得方法，得到一个容量为２０0得样本统计数据如表:
认为作业多认为作业不多总数
喜欢电脑游戏72名３6名108名
不喜欢电脑游戏３2名60名９2名
(I）已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有多少名?
(Ⅱ）在Ａ，Ｂ,Ｃ,D,E，Ｆ六名学生中，但有A,Ｂ两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多得概率。
【分析】(I）根据样本数据统计表，可得2０0名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有３6名，求出其占总人数得概率,再乘以高二学生得总数即可；
(Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多得事件得个数,与从这六名学生中随机抽取两名得基本事件得个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多得概率就是多少.
【解答】解：(Ⅰ）42500×
答:欢电脑游戏并认为作业不多得人有76５0名．
（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名得基本事件得个数就是
至少有一名学生认为作业多得事件得个数就是:
1５﹣=1５﹣6=9(个)
所有至少有一名学生认为作业多得概率就是。
答：至少有一名学生认为作业多得概率就是.
19。（12分）（2０14?成都模拟）如图，已知⊙Ｏ得直径AＢ＝3，点C为⊙O上异于Ａ，B 得一点，VC⊥平面ABC，且VＣ＝2,点M为线段VB得中点.
（Ｉ）求证:BC⊥平面V AC;
（Ⅱ)若AＣ=1，求二面角M﹣V A﹣C得余弦值.
【分析】（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥ＢC，由直径性质得AＣ⊥ＢC，由此能证明ＢC⊥平面ＶAC.
（Ⅱ)分别以AC，BC,VC所在直线为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣V A﹣C得余弦值。
【解答】(Ⅰ）证明：∵VＣ⊥平面ABC，BC?平面AＢC，∴VC⊥ＢC，
∵点Ｃ为⊙O上一点，且ＡB为直径,∴ＡC⊥BC，
又∵VC，AC?平面V AC，VＣ∩ＡC=C，∴BC⊥平面V AC.
(Ⅱ）解:由(Ⅰ）得BC⊥VＣ，VC⊥ＡＣ，AC⊥BＣ,
分别以AＣ,BＣ，ＶＣ所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则Ａ（1,０,0），Ｖ(0,0，２）,B（0，２，0），
=（１，０，﹣2）,，
设平面VＡC得法向量＝=(0,2，0），
设平面VAM得法向量=（ｘ，y，ｚ）,
由，取y=,得∴,
∴coｓ〈＞==，∴二面角M﹣V A﹣Ｃ得余弦值为。
２0。（１3分）（201４?成都模拟）在平面直角坐标系xOｙ中,点P就是圆ｘ2+y2=４上一动点,PD⊥x轴于点D，记满足=（+）得动点M得轨迹为Γ。
（Ⅰ)求轨迹Γ得方程;
（Ⅱ）已知直线ｌ:y=ｋx+m与轨迹F交于不同两点A,B,点G就是线段ＡＢ中点，射线ＯG 交轨迹Ｆ于点Q,且=λ,λ∈Ｒ。
①证明:λ2m2=4k2+1;
②求△ＡＯB得面积S(λ)得解析式,并计算Ｓ（λ）得最大值.
【分析】(Ⅰ）利用代入法求椭圆方程;
（Ⅱ）设A（x1，ｙ1），B（x2,ｙ2）,由直线代入椭圆方程,消去y，得（1+4k2）x2+8ｋｍx+４m2﹣４=0，由此利用根得判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能证明结论。
②由已知条件得ｍ≠０,｜ｘ1﹣ｘ２｜=，由此能求出△AOB得面积，再利用基本不等式求最大值。
【解答】解：（Ⅰ）设M（x,y)，P（x0，ｙ０）,则D（ｘ０,0），且x０２+ｙ０2=4，①
∵=(＋)，
∴x０=x，y0=2y,②
②代入①可得x2＋4y2=4;
(Ⅱ)①证明:设A(x1，y1),B（x2,ｙ2),
由直线代入椭圆方程，消去y,得（1+４k2)x2＋8kｍx＋４m2﹣４＝0,
∴ｘ1+ｘ2=,x1x2=（1)
∴y1＋y２＝k(ｘ１+ｘ2)+２m＝，
又由中点坐标公式，得G（，），
将Q（,）代入椭圆方程，化简，得λ2ｍ2=1+4k2,(２)。
②解：由（１)，（2）得ｍ≠０，λ〉1且|x1﹣x２｜=，（3）
结合（２)、(３)，得S△AOB=,λ∈（1,+∞）,
令=t∈（0，+∞），则S＝≤≤１(当且仅当t＝1即λ=时取等号）,
∴λ=时,S取得最大值１。
２1。（14分)（201４?成都模拟）巳知函数ｆ(x）＝ｘ１ｎx,g(x)=ax2﹣bx，其中a，b∈Ｒ。（Ｉ)求函数f（x)得最小值;
（Ⅱ）当a＞０，且a为常数时,若函数ｈ（x）＝x[g（x）+1］对任意得ｘ1〉x2≥4，总有〉0成立，试用ａ表示出b得取值范围;
（Ⅲ）当b=﹣ａ时，若ｆ(x+1）≤ｇ(x）对x∈［0，+∞）恒成立，求a得最小值．
【分析】（I)利用导数研究函数得单调性极值与最值即可得出.
（ＩI）由函数h(x)=x[ｇ(x)+1]对任意得x1＞x2≥4，总有＞0成立,可得函数h（ｘ）=在x∈［4,＋∞）上单调递增.因此h′(ｘ）=ａx2﹣2bx+1≥０在[4，+∞）上恒成立。变形为＝ax+在［４，+∞）上恒成立?２b≤,x∈[4,+∞)。令u（x）=,ｘ∈［４，+∞)。对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出。
（ＩII）当b=﹣a时，令G（x）=f(x＋１）﹣ｇ(ｘ)=（x＋１)ln（x+1）﹣﹣ax,x∈［0，+∞）.由题意G（ｘ）≤0对x∈［0，+∞)恒成立。G′（ｘ）=ln(x+1）+1﹣ax﹣a,
x∈[0,+∞）.对a分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可.
【解答】解：（I）f′(x)＝lnx+1(ｘ＞0），令f′(x）=0，解得ｘ=。
∴函数ｆ(x)在上单调递减；在单调递增。
∴当x＝时，ｆ（x）取得最小值．且==﹣.
（II）由函数h（ｘ）=x［g（x）+1]对任意得x1＞x２≥4，总有>０成立,
∴函数h（x）=在ｘ∈［４,+∞)上单调递增．
∴h′(x）=ａｘ2﹣2ｂx＋１≥0在［4，+∞)上恒成立。
∴=ax＋在［4,+∞）上恒成立?2b≤，ｘ∈［4,+∞).
令ｕ（ｘ)=,x∈［4，+∞）。（a>0）．则=。
令u′（x）=0,解得．
∴u(x）在上单调递减，在上单调递增．
（i）当时，即时，u（x）在上单调递减，在上单调递增。
∴u（x）min==，∴,即.
(ii）当时,即,函数u(ｘ）在[4，+∞)上单调递增，
∴,即．
综上可得:当时，即.当，。
（ＩII）当b=﹣ａ时，令G（x)=f(x+1)﹣g（x)=(x+1)ln(x+1)﹣﹣ax,x∈[0,+∞）.
由题意G(x)≤０对ｘ∈[0,+∞)恒成立．G′(x）=ｌn（x＋1）+1﹣ａｘ﹣ａ,x∈[0,＋∞)。
(i）当a≤0时，G′（x)＞0,∴G（x)在x∈[0，+∞）上单调递增。
∴G(x）＞G（0)=0在x∈（0，+∞)成立,与题意矛盾,应舍去．
(ii)当a>０时,令v（x）＝G′(x)，x∈[0，+∞）．
则,,
①当a≥1时,v′(x）≤0在x∈[0,+∞)上成立.∴v(x)在x∈［0,＋∞)单调递减.
∴v(x)≤v(0)=1﹣a≤０，∴Ｇ′（x）在ｘ∈［0，+∞)上成立。∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递减．
∴G(x)≤G（0)＝０在x∈［0，+∞）成立,符合题意．
②当0〈a＜１时,=,x∈［0，+∞）。
∴v（x)在上单调递增,在单调递减．
∵v（0)=1﹣ａ〉0,
∴v（ｘ）〉０在上成立，即G′(x)＞0在上成立，
∴G(ｘ）在上单调递增，
∴G(x)>G(0)=0在成立，与题意矛盾．
综上可知：a得最小值为1。