利用三角形角平分线构造基本图形

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三角形的角平分线是三角形的重要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．利用三角形的角平分线构造基本图形给解题带来极大方便．下

面举例说明：

一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 此情形可构造两种基本图形如图1，图2所示：

如图1，以AD 为轴翻折，使点C 落在AB 上（即在AE 上截取AE AC =），得ACD △AED ≌△．如图2，以AD 为轴翻折，使点B 落在AC 的延长线上（即延长AC 到E ，使AE AB =），得ABD AED △≌△．

例1 如图3，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，

求：B C ∠:∠的值．

解法1：在AC 上截取AE 使AE AB =，连结AE ．

∵BAD DAE ∠=∠，AD AD =， ∴ABD AED △≌△，

∴B AED =∠∠，BD DE =． 又∵AB BD AC +=， ∴CE BD DE ==， ∴C EDC =∠∠， ∴2 B AED C ∠=∠=∠，

∴21B C :=:∠∠．

解法2：延长AB 到F ，使AF AC =，连结DF ．请读者一试．

二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形

1．根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任意一点向角的两边作垂线，得到两个全等的直角三角形；

2．根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上任意一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．

例2 如图4，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD DC =，BD 平分ABC ∠． 求证：180A C ?+=∠∠．

证明：过点D 作DE AB ⊥，交BA 延长线于点E ，作DF BC ⊥，交BC 于点 F ．

∵BD 平分ABC ∠， ∴DE DF =．又∵AD CD =， ∴Rt Rt EAD FCD △≌△，

∴EAD C =∠∠．

∵180EAD BAD ?+=∠∠，

∴180C BAD ?∠+∠=．

例3 如图5，已知等腰三角形ABC △中，90A ?∠=，B ∠的平分线交AC 于点D ，过点C 作BD 的垂线交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE = ． 证明：延长CE 交BA 的延长线于点F ，

∵BE 是ABC ∠的平分线，BE CF ⊥，

∴ BCF F =∠∠， ∴FBC △是等腰三角形． ∴CE FE =．

∴2CF CE =． B A C D E （图1） A B C D E （图2） C A B D E （图3） A B C D E F （图4）

第 2 页 共 2 页 ∵AB AC =，ABD ACF =∠∠，90BAD CAF ?==∠∠，

∴Rt Rt BAD CAF △≌△．

2BD CF CE ==∴．

三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形

1．自角的平分线上任意一点作角的一边的平行线与另一边相交，得等腰三角形；

2．自角的一边上任意一点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，得等腰三角形．

例4 如图6，ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，E 是BC 中点，EF AD ∥，交AB 于点M ，交CA 的延长线于F ，求证：BM CF =．

证明：作CN EF ∥交BA 的延长线于N ． ∵E 是BC 中点，

∴BM MN =．

∵BAD CAD =∠∠，EF AD ∥，

∴F FMA =∠∠，

∴AM AF =．又∵CN EF ∥， ∴N ACN =∠∠， ∴AN AC =．

∴AC AF AN AM MN +=+=，

∴BM CF =．

总之，三角形的角平分线构造基本图形解题，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可迎刃而解．

A B C E M （图6） F N