江苏省无锡市天一中学届高三4月月考试卷数学
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考(数学)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ,则=B A ▲ .2.如果复数2()(1)m i mi ++是实数,则实数m = ▲ .
3.若命题“R x ?∈,使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题,则实数a 的范围
▲ .
4.某算法的程序框图如图,若输入4,2,6a b c ===,则输出的结果为
▲ .
5.把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段长度大于另一段
长度2倍”的概率为 ▲ .
6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若tan 21tan A c B b +
=,则角A 的大小为 ▲ .
7.已知|a |=3,|b |=4,(a +b )?(a +3b )=33,则a 与b 的夹角为 ▲ .
8.已知双曲线C:22
221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ,它的左准线与x 轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点,则双曲线C 的离心率
为 ▲ .
9.已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16<a k +a k +1<22, 则正整数k = ▲ .
10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,四面体11D ACB 的体积为 ▲ .
11.曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ,则实数a = ▲ .
12.已知函数22log (1),0,
()2,0.x x f x x x x +>?=?--≤? 若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m
的取值范围是 ▲ .
13.当210≤
≤x 时,2
1|2|3≤-x ax 恒成立,则实数a 的取值范围为 ▲ . 14.已知ABC ?三边a ,b ,c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果m b =)(*N m ∈,则符合条件的三角形共有 ▲ 个(结果用m 表示).
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ,其中向量(,cos 2)m x =a ,(1sin 2,1)x =+b ,
x R ∈,且()y f x =的图象经过点π24?? ???
,.(1)求实数m 的值;(2)求()f x 的最小正周期;(3)求()f x 在[0,2
π]上的单调增区间. 16.(本小题满分14分) 如图,平行四边形ABCD 中,CD BD ⊥,正方形
(2012/4/23)
ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直,H 是BE 的中点,G 是,AE DF 的交点.
(1)求证://GH 平面CDE ;
(2)求证:BD ⊥平面CDE .
17.(本小题满分14分)如图,在半径为30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ,其中点A 、B 在直径上,点C 、D 在圆周上。
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大体积.
18.(本小题满分16分) 已知圆C :034222=+-++y x y x ;
(1)若圆C 的切线在x 轴,y 轴上的截距相等,求此切线方程;
(2)从圆C 外一点),(11y x P 向圆引一条切线,切点为M ,O 为原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P 点的坐标.
19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =,13,1,2,21n n n a a n a +==+. (1)求证:数列11n a ??-?
???为等比数列;(2) 记12111n n S a a a =++,若100n S <,求最大正整数n .
(3)是否存在互不相等的正整数,,m s n ,使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分) 已知二次函数)(x g 对任意实数x 都满足)1()(x g x g -=,)(x g 的最小值为89-且1)1(-=g .令8
9ln )21()(+++=x m x g x f (0,>∈x R m ). (1)求)(x g 的表达式;
(2)若0>?x 使0)(≤x f 成立,求实数m 的取值范围;
(3)设e m ≤<1,x m x f x H )1()()(+-=,
证明:对?1x 、],1[2m x ∈,恒有1|)()(|21<-x H x H .
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考(数学)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ,则=B A
(2,3) .2.如果复数2
()(1)m i mi ++是实数,则实数m = -1 .
3.若命题“R x ?∈,使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题,则实数a 的范围 (1,3)- .
4.某算法的程序框图如图,若输入4,2,6a b c ===,则输出的结果为
6 .
5.把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段长度大于另一段
长度2倍”的概率为 23
. 6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若tan 21tan A c B b +
=,则角A 的大小为 3π . 7.已知|a |=3,|b |=4,(a +b )?(a +3b )=33,则a 与b 的夹角为 120? . 8.已知双曲线C:22221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ,它的左准线与x 轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点,则双曲线C 的离心率
为 12+ .
9.已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16<a k +a k +1<22, 则正整数k = 8 .
10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,四面体11D ACB 的体积为
31 . 11.曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ,则实数a = 2 .
12.已知函数22log (1),0,
()2,0.
x x f x x x x +>?=?--≤? 若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m
的取值范围是 (0,1) .
13.当210≤≤x 时,21|2|3≤-x ax 恒成立,则实数a 的取值为 1322
a -≤≤ . 14.已知ABC ?三边a ,
b ,
c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果m b =)(*N m ∈,则符
合条件的三角形共有 2
)1(+m m 个(结果用m 表示). 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ,其中向量(,cos 2)m x =a ,(1sin 2,1)x =+b ,x R ∈,且()y f x =的图象经过点π24?? ???
,.(1)求实数m 的值;(2)求()f x 的最小正周
期
;(3)求()f x 在[0,2
π]上的单调增区间. 解:(1)()(1sin 2)cos 2f x a b m x x =?=++, ………………3分 ∵图象经过点π24?? ???,
, ∴πππ1sin cos 2422f m ????=++=
? ?????,解得1m =. ………………5分 (2)当1m =时,π()1sin 2cos 22214f x x x x ??=++=++ ??
?, ………………7分 ∴22
T ππ=
= ………………9分 (3)]2,0[π∈x ,],0[2π∈x ,∴]45,4[42πππ∈+x ………………11分 由2424π
π
π
≤+≤x ,得
80π
≤≤x ………………13分
∴()f x 在[0,2π]上的单调增区间为]8
,0[π. ………………14分 16.(本小题满分14分) 如图,平行四边形ABCD 中,CD BD ⊥,
正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直,H 是BE 的中点,G 是
,AE DF 的交点.
(1)求证://GH 平面CDE ;
(2)求证:BD ⊥平面CDE .
证明:⑴G 是,AE DF 的交点,∴G 是AE 中点,又H 是BE 的中点,
∴EAB ?中,AB GH //, ------------------------3分
CD AB //,∴//GH CD ,
又∵,CD CDE GH CDE ??平面平面
∴//GH 平面CDE
-----------------------7分
⑵平面ADEF ⊥平面ABCD ,交线为AD ,
∵AD ED ⊥,ED ADEF ?平面
∴ED ⊥平面ABCD , --------------------10分 ∴BD ED ⊥,
又∵CD BD ⊥,CD ED D ?=
∴CDE BD 平面 ----------------------14分
17.(本小题满分14分)如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩
形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上。
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大体积.
18.(本小题满分16分) 已知圆C :03422
2=+-++y x y x ;
(1)若圆C 的切线在x 轴,y 轴上的截距相等,求此切线方程;