高考函数对称轴对称中心压轴题专题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考函数压轴题专题

1.3对称性与周期性

（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论

①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以

2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝

，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1

()

f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1

()()

f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么

))(()(Z n x f nT x f ∈=±．

⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?．

⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?．（3）函数()y f x =的图象的对称性结论

①若函数)(x f y =关于x a =对称?对定义域内任意x 都有

()f a x +=()f a x -?对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -?()y f x a =+是

偶函数；

②函数)(x f y =关于点（a ，0）?对定义域内任意x 都有()f a x -=－

()f a x +?(2)f a x -=－()f x ?()y f x a =+是奇函数；

③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2

a x +=

； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(

,0)2

a b

+；改编：若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有f(a+x)+f(b-x)=c 则函数)(x f 的对称轴中心为________

⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.

例1 2016 (12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=

i i x =∑

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m

例 2 （2016年全国II 高考）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数

1x y x +=与()y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑（）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 例3（2017新课标Ⅲ）已知函数2

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12-

B ．13

C ．1

D ．1

例4【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增

B ．()f x 在（0，2）单

调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点

（1，0）对称

【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题. 【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线

1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)

x f x x x x x -=

-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．

例5 【2018全国卷Ⅱ】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足

(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)+

+=f

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

例6 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4

例7【2015高考湖南，文14】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 .

例8 【2015高考福建，文15】若函数()2()x a

f x a R -=∈满足

(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于

_______．

例9 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2

f x x x x =+-的零点个数为

_________.

例10 （2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若

(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，

不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，

又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ．例11 (2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当

11x -≤≤ 时，

()()f x f x -=-；当12x >

时，11

()()22

f x f x +=-，则f (6)= A ．?2 B ．?1

C ．0

D ．2

D 【解析】当1

1x -时，()f x 为奇函数，且当1

x >

时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =?+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．

2018高考函数专题

(2018全国卷理数-1)

5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点

(0,0)处的切线方程为

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?

>?，，

，，

()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是

A ．[–1，0）

B ．[0，+∞）

C ．[–1，+∞）

D ．[1，+∞）

16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． (2018全国卷理数-2)

3．函数()

e e x x

f x x --=

的图像大致为

6．在ABC △中，5

cos

2C =

1BC =，5AC =，则AB = A ．2B ．30C 29 D ．2510．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是

A ．π

B ．π2

C ．

3π4

D ．π

11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，

则

(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

(2018 全国卷理数-3) 4．若1

sin 3α=，则cos2α=

A．8

B．7

C．7

-D．

12.(2018鄂尔多斯市模拟卷）

若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x?(0,1]时，f(x)=1-x,

则方程

()1[7,1]

f x e

=--

在区间上的实数根的数为( )

A.7

B.6

C.5

D.4