解三角形常见题型归纳

解三角形常见题型归纳

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23-

B ．3

2- C ．32 D ．23

【答案】D

2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；

（2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c

060=B ，求b 及A ；

（2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3

π

=

A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）

A ．33sin 34+???

?

?

+

πB B ．36sin 34+??? ?

?

+πB C ．33sin 6+???

?

?

+

πB D ．36sin 6+??? ?

?

+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6

6

cos ,364==

B AB ，A

C 边上的中线B

D =5，求sin A 的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3

6221==

AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22

2

2

?-+=，

x x 6636223852??++

=，解得1=x ，3

7-=x （舍去） 故BC =2，从而3

28

cos 2222=

?-+=B BC AB BC AB AC ，即321=AC 又630sin =B ，

故2

sin A =1470sin =

A 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

答案：0

018030B A A A ><<=∴，且，∴

题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

1. (2005年北京春季高考题)在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，

即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．

解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c

A a

=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-．

∴ 2222a c b ac +-＝2c

a

，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解

法2)．

2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

答案：C

解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

3.在△ABC 中，若a b

A

B 22=tan tan ，试判断△AB

C 的形状。

答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ?中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，

则ABC ?的面积S ＝_________

2．在?ABC 中，sin cos A A +=

2

2

，AC =2，AB =3，求A tan 的值和?ABC 的面积。 答案：S AC AB A ABC ?=

?=???+=+12122326434

26sin ()

3. （07浙江理18）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为

1

sin 6

C ，求角C 的度数．

解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=

，BC AC +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积

11sin sin 26

BC AC C C =，得1

3BC AC =，

由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=

22()21

22

AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．

题型之四：三角形中求值问题

1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件2

2

2

a bc c

b =-+和

32

1

+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

解：由余弦定理2

1

2cos 222=-+=

bc a c b A ，因此，?=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.

由已知条件，应用正弦定理

B

B B

C b c sin )

120sin(sin sin 321-?=

==+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=?-?=

B B B B 解得,2cot =B 从而.2

1

tan =B

2．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos

2

B C

A ++取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A

2

。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 3

2；

当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

2。

3．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22

tan sin 22

B C A ++

的值；（2）若2a =，ABC S =△b 的值。

解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝1

3

， 则

（2）ABC ABC

11S

2S

bcsin A bc 223

?因为＝，又＝＝，则bc ＝3。 将a ＝2，cosA ＝

13，c ＝3b

代入余弦定理：222

a b c 2bccos A ＝＋－中，

得42

b 6b 90－＋＝解得b 。

点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=．

（Ⅰ）若ABC △a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

2

4a b ab +-=， 又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ·

······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································ 8分 当cos 0A =时，2A π=

，6

B π

=

，a =

b =，

当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得a =

b =．

所以ABC △

的面积1sin 2S ab C =

=． ················· 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题

1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得sin sin AC AB

CBA ACB

=∠∠，∴AC=AB=120m ，又

∵11

sin 22

ABC

S

AB AC CAB AB CD =?∠=?，解得CD=60m 。 图1

A

B

C

D

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 （二.）遇险问题

2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。 在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题

3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°

方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ 解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理2

2

2

2cos AC AB BC AB BC α=+-?，

()

()2

2

12881202920()2

t t t =+-???-，212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）

∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×3

4

=15 n mile 。

西

北 南

东 A B

C

30° 15°

图2

图3

C

°

根据正弦定理，

得15sin 2sin 2114

BC AC

α

β=

==又∵α=120°，∴β为锐角，β

=arcsin 14，

又14

＜

14

＜2，∴

arcsin 14＜4

π， ∴甲船沿南偏东

4π－

arcsin 14的方向用3

4

h 可以追上乙船。

点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，

由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。

4．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30

，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直

线前往B 处救援（角度精确到1

）？

解析：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107。 ∵

7

10120sin 20sin ?=ACB ，∴sin∠ACB=73

， ∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援。

北

20

10 A

B ?

?C