求三角函数的周期6种方法总结多个例子详细解答
如何求三角函数的周期
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、定义法
例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= ,
3
2tan
)2(x y =．
(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．
解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．
(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3
2tan
)(32tan x
T x =+成立，同时考虑到正切
函数x y tan =的周期是π．
解：∵
)2
3
(32tan )32tan(32tan
ππ+=+=x x x , 即
3
2tan )23(32tan x x =+π．
∴ 函数32tan x y =的周期是π2
3． 例2. 求函数
（m ≠0）的最小正周期。
解：因为
所以函数（m ≠0）的最小正周期
例3. 求函数的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.
解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜
＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜
＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2
(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2
π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.
注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函
数值重复出现的自变量x 的增加值，
如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 2
1； 2、”
“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．
直接利用周期函数的定义求出周期。
2、公式法
对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式
是|
|2ωπ
=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式
是|
|ωπ=T ．
例1．求函数)6
23sin(3π
-=x y 的周期 解：
342
32π
π==
T ．
例2． 求函数
的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例3． 求函数的最小正周期。
解：因为，
所以函数的最小正周期为。
3、 同角函数法
例4． 求函数x x x y 2
sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322
-+=-=x x x x x y
1)6
2sin(21)2cos 212sin 23(
2-+=-+=πx x x
∴
ππ==
2
2T ．
例5． 求函数
的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例5． 已知函数),3
cos 3(sin 3sin )(x
x x x f +=求周期 解：∵3
2sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin
)(2
x
x x x x x f +-=+=
)4
32sin(222
1
)32cos 32(sin 2121π
-+=-+=x x x
∴
ππ
33
22==
T ．
4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式 2
||a a =,
化去绝对值符号再求周期 例6. 求函数 |cos |x y =的周期 解：∵
2
2cos 1cos |cos |2x
x x y +=
==
∴
ππ==
2
2T ．
例7． 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期
解：∵()x
x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22
+=+=+=+=
)4cos 1(2
1
124cos 11x x -+=-+
=
∴ 函数
|
cos ||sin |x x y +=的最小正周期
2
42ππ==
T ．
5、最小公倍数罚: 若函数)()()(2
1
x f x f x f y k
+++=Λ，
且)(,),(),(2
1
x f x f x f k
Λ，都是周期函数，且最小正周期分别为k
T T T Λ,,2
1
，如果找到一个正常数T , 使k
k T n T n T n T ====Λ2
21
1，
(k
n n n ,,,2
1
Λ均为正整数且互质)，则T 就是)()()(2
1
x f x f x f y k
+++=Λ的最小正周期．
例1． 求函数x x y 2
1cos sin +=的周期 解：∵
x
sin 的最小正周期是π21
=T ，
x
2
1
cos 的最
小正周期是π42
=T ．
∴ 函数y 的周期2
21
1T n T n T == ，把2
1
T T ，代入得
2
1
4 2n n ππ=，即2
1
2n n =，
因为2
1
,n n 为正整数且互质， 所以
1 ,22
1
==n n ．
函数x x y 2
1cos sin +=的周期ππ4221
1=?==T n T ． 例2． 求函数x x y 4
3cos 32sin +=的周期
解： ∵
x 3
2sin 的最小正周期是ππ33
221
==T ，x
4
3cos 的最小正周期是384
322
π
π==
T
，
由2
21
1T n T n =，
213
8 3n n ππ=
，
2
1
89n n = (2
1
,n n 为正整数且互质), 得
9
,821==n n ．
所以 函数x x y 4
3
cos 32sin +=的周期是ππ24381
1=?==T n T ． 例3. 求函数的最小正周期。
解：因为csc4x 的最小正周期
，的最小正周期，由于和的最小
公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例4. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小
公倍数是，
所以函数
的最小正周期为T ＝。
例5. 求函数
的最小正周期。 解：因为sinx 的最小正周期
，
的最小正周期
，
sin4x 的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T ＝。
例 6.求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.
解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为
T 1、T 2，则5
2,322
1
π
π
=
=T
T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的
最小正周期T ＝2π／1＝2π.
例7.求y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期.
解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π
，其最小公倍数是1
10π
＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π.
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。 6、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。
例1. 求函数
的最小正周期。 解：函数
的图像为图1。
图1
由图1可知：函数的最小正周期为。
例2.求y＝｜sin x｜的最小正周期.
解：由y＝｜
sin x｜的图象：
可知y＝｜sin x｜的周期T＝π.
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
三角函数公式大全
两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a -
上海高一反三角函数典型例题
反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin 0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝ 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1 x arcsin 4 =- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2 π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsin a =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，
再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x arcsin =x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+ 例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。 解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。 变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22 ππ ∈--+ 思考：当3x [,]44 ππ ∈-时，求函数y arcsin(cos x)=的值域。 解：当3x [, ]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42 ππ∈-。 例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2 π∈π 解：y [0,1]∈，x [,0]2 π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-， 则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈ 解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2 π∈。
三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]