统计学 第五章习题 正确答案

第五章 概论与概率分布

重点知识

1．样本、样本空间、随机事件的定义；

2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；

3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；

4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；

6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；

复习题

一、填空

1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。

2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。 3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。

4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.

5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．

6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=

4

1,P(B)=

3

2,P(AB)=

6

1,则概率P(A+B)=＿＿．

7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ?B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=

10

3,P(B A )=

6

1,P(A+B)=

5

4,则概率P(A)=＿＿．

10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表

c

c

c

c

P

X 4322101-

则常数c =＿＿．

14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表

４

１

４１21

P

3

21X

则概率P ｛3

15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表

66

3

2P

2

1

3-X

１１

则数学期望)(X E =＿＿．

16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.

17.设连续型随机变量的概率X 密度为

??

?

??

<<-=其他,0210,1)(2

x x k x ? 则常数k =＿＿．

18.设连续型随机变量X 的概率密度为

??

?≤≤=其他

,00,24)(2r

x x x ? 则常数r =＿＿．

19.已知连续型随机变量X 的概率密度为

????

?≥=-其他

,00,2)(2

x xe

x x

? 则概率}11{<<-X P =＿＿．

20.已知连续型随机变量X 的概率密度为

??

?

??≤≤=其他,021,2

)(2

x x x ? 则数学期望)(X E =_____．

21.设X 为随机变量，若数学期望1)12

(

=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．

22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．

二、单项选择

1.设A,B 为两个事件，若事件A ?B ，则下列结论中( )恒成立.

(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).

(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB

3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).

(a)

11

1 (b)

11

5 (c)

36

1 (d)

36

5

4.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．

(a)

11

4 (b)

7

4 (c)

8

3 (d)

5

3

5.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=

3

1,P(A B ）=

3

2,P(A B )=

5

3,则概率P(B)=＿＿．

(a)

5

1 (b)

5

2 (c)

5

3 (d)5

4

6.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ?B,下列等式中( )恒成立．

(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)

(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=1

7.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).

(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)

(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=

3

1,P(B)=

4

1,P(AB)=

12

1，则( ).

(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=

5

3,P(A+B)=

10

7,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).

(a)

16

1 （b)

10

1 (c)

4

1 (d)5

2

10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．

(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )

11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．

(a)

6

321-

P

3

2

1X

１１ (b)

6

53-

21P

321X

１

(c)

6

3

2

1P

321X １１ (d)

653

2

1P

321X １

12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表

5

25

110

15

110

14

2101P

X

-

则下列概率计算结果中（ ）正确．

(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=

13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为

)10(<

X E ( ).

(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为

??

?

??≥+=其他,00,1)(2

x x k

x ? 则常数k =( ).

(a)

π1

(b)π (c)

π2

(d)

2

π

15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．

(a)???≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)????

?≤

≤-=其他

,02

1,2)(x x x g

(c)?????≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)??

???

≤≤=其他,02

,sin )(π

πx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．

(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为

??

???<<=其他,04

0,8

1

)(x x x ? 则数学期望)(X E =( ).

(a)

2

1 (b)

2 (c)

8

3 (d)

3

8

18.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.

(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.

(a)12 (b)16 (c)36 (d)40

20.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量

X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.

(a)1 (b)7 (c)5 (d)7

四、名词解释

1、 数学期望：

2、 对立事件：

3、 随机事件：

4、 事件和：

5、 事件积：

6、 互斥事件：

7、 互相独立事件：

五、判断题

1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ ）

2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。 （ ）

3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。 （ ）

4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。 （ ）

5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ ）

6．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。（ ） 六、计算题

1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，

来自两广的概率是多少？

2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？

3．一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。

4．消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？

5．市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占50%,乙厂占30%，丙厂占20%，甲厂产品的正品率为88%，乙厂产品的正品率为70%．丙厂产品的正品率为75%，求：

(l)从市场上任买1件这种商品是正品的概率； (2)从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率． 6.设离散型随机变量X 的概率分布如下表

c

c

c

32P

321X

１

求：(1)常数c 值；(2)概率}20{<

7. 某种型号电子元件的寿命X 小时是连续型随机变量，其概率密度为

??

?

??≥=其他,0100,100

)(2

x x x ? 任取1只这种型号电子元件，求它经使用150小时不需要更换的概率．

8. 某城镇每天用电量X 万度是连续型随机变量，其概率密度为

??

?<<-=其他

,01

0),1()(2x x kx x ? 求：(1)常数k 值；

(2)当每天供电量为0.8万度时，供电量不够的概率． 9. 已知连续型随机变量X 的概率密度为

??

?≤≤=其他

,01

0,3)(2x x x ? 求：(1)数学期望)(X E ；(2)方差)(X D .

复习题参考答案

一、填空

1．样本点发生机会相等；2．互斥；3．16/54，1/54；4.AB AB ；5.3/7；6.9/12；7.0.7；8.0.5； 9.6/10；10.0.18；11.0.58；12.0.0.63；13.1/10；14.3/4；15. -1.5；16.3/16；17.6/π；18.1/2； 19.11e --；20.2ln 2；21.4；22.1/3；

二、单项选择

C C

D A A B C D C D C A B C B A D B C C 四、名词解释（略） 五、判断题

1．对； 2．错；3．对；4．对；5．错；6．对 六、计算题

1．解：

35035100

.=

2．解：设A=“父亲具有大学文化程度”，B=“母亲具有大学文化程度”。则

03020104()()()()....P A B P A P B P AB =+-=+-= .

3．解：设每一单的保费为x.保险公司一年1000人可能赔付金额为15×500000=7500000万元。一年总的运营成本为200×1000=200000万元。而一年的保费收入为1000x.所以 1000x=7500000+200000。

解得x=7700元。

4．解：设A=“出于浏览名胜”，B=“出于异族文化吸引”。则

0219050901020626()()()()....P A B P A P B P AB =+-=+-= .

5．解：设A 1=“产品由甲厂生产”；A 2=“产品由乙厂生产”；A 3=“产品由丙厂生产”。 （1）记B=“任买1件商品是正品”，则由全概论公式

3

1

05088030700207508()()(|) (i)

i

i P B P A P B A ==

=?+?+?=∑。

（2）由贝叶斯公式 11113

1

05088

055050880307002075

()()(|)

..(|).()

......()(|)

i

i

i P A B P A P B A P A B P B P A P B A =?=

=

=

=?+?+?∑。

6.解：(1)由3

2

11c c c

++=，得c =6.

(2)26

021()()P X P X <<===

. (3)3132

16

6

6

6

123()E X =?+?+?=

.

(4) 23332

16

6

6

6

149()E X =?+?+?=

,故22

2

33132

6

6

36

()()(())()D X E X E X =-=

-=。

7. 解：100100100

2

150

1503

2

150

150

100150()()|lim ()()x x x P X x dx dx x

?+∞

+∞

+∞→+∞

≥=

=

=-

=-

-=?

?

。

8. 解：(1)根据密度函数的性质1()x dx ?+∞-∞

=?，由此有1

2

2

21

02

2

111()()|k k kx x dx x -=--==?，所

以k =2。

(2)供电量不够，即X >0.8.于是所求概率为 1

2221

0808

08

0821101296...(.)()()()|.P X x dx x x dx x ?+∞

>=

=

-=--=?

?

。

9. 解：(1) 1

3

41

3

3044

3()()|E X x x dx x dx x ?+∞-∞

==

=

=

?

?

;

(2)1

2

2

2

34

3()(())()()D X x E x x dx x x dx ?+∞-∞

=

-=

-?

?

2

3

4

5

1

3

3

3111

03

46

430

80

3(()())|.x x x x x =---+

=