2018-2019学年山东省临沂市沂水县九年级(下)期中数学试卷详细答案与答案解析

2018-2019学年山东省临沂市沂水县九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）

1. 在?2，0，1，2这四个数中，为负数的是（ ） A.?2 B.0

C.1

D.2

2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A.(a 3)2＝a 5 B.(a ?b)2＝a 2?b 2

C.a 6÷a 2＝a 4

D.a 2+

a 2＝2a 4

3. 如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）

A.55°

B.50°

C.45°

D.40°

4. 下列对一元二次方程x 2+x ?3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根

5. 不等式组{?2x ?4>0

x ?3≤0 的解集是（ ）

A.x

B.x ≤3

C.?2

D.?2

6. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO =4m ，AB =1.6m ，CO =1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（ ）

A.0.2m

B.0.3m

C.0.4m

D.0.5m

7. 如图所示，该几何体的主视图为（）

A. B. C. D.

8. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

A.1

9B.1

6

C.1

3

D.2

3

9. 荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）

A.本次抽样调查的样本容量是5000

B.扇形图中的m为10%

C.样本中选择公共交通出行的有2500人

D.若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人

10. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》晨有道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁“．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得( )

A.x

3?+?3(100?x)=100 B.x

3

???3(100?x)=100

C.3x+100?x

3=100 D.3x?100?x

3

=100

11. 如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE= 5，BF=3，EF=2，则AD的长为________.

12. 一次函数y＝?x+1的图象与反比例函数y=k

x

的图象交点的纵坐标为2，当?3<

x

x

中y的取值范围是（）

A.?2

3B.?1

3

C.2

3

13. 如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE?//?CA，DF?//?BA，下列四个判断中，不正确的是（）

A.四边形AEDF是平行四边形

B.如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形

C.如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形

D.如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

14. 如图，抛物线y1=1

2

(x+1)2+1与y2=a(x?4)2?3交于点A(1,?3)，过点A作x轴

的平行线，分别交两条抛物线于A,B两点，且D,E分别为顶点．则下列结论：

①a=2

3

；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2；

其中正确结论的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）

计算：(π?3.14)0+2cos60°＝________．

已知2m?3n＝?4，则代数式m(n?4)?n(m?6)的值为________．

如图，在?ABCD中，AB＝2√13cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长4cm．

如图，在△ABC中，BC＝6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧EF

?上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是________．

一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a?b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2?1”得到的，那么这组数中y表示的数为________．

三、解答题（本题7个小题，共63分）

化简：1

a?1?1

a2+a

÷a2?1

a2+2a+1

某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．

频数分布表

数据分析表

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：a＝________，b＝________，c＝________；

（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有________位营业员获得奖励；

（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．

如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：√6≈2.449，结果保留整数）

如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE?=BE?．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．

如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：

（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；

（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；

（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC ＝4cm．

操作发现：

（1）将图1中的△________以点________为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠________，得到如图2所示的△________′________，过点________作________′的平行线，与________'的延长线交于点________，则四边形________′的形状是________．

（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．

如图①，直线y=1

2x?3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y=1

4

x2+bx+c过B，

C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点

D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组

对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

参考答案与试题解析

2018-2019学年山东省临沂市沂水县九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）

1.

【答案】

A

【考点】

正数和负数的识别

【解析】

根据负数的定义可以从题目中的四个数据中，得到哪些数是负数，从而可以解答本题．【解答】

在?2，0，1，2这四个数中，负数是：?2，

2.

【答案】

C

【考点】

幂的乘方与积的乘方

完全平方公式

同底数幂的除法

合并同类项

【解析】

根据同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公式一一判断即可；

【解答】

A、错误．(a3)2＝a5；

B、错误．(a?b)2＝a2?2ab+b2；

C、正确．

D、错误．a2+a2＝2a2

3.

【答案】

D

【考点】

平行线的性质

【解析】

利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；

【解答】

∵∠1＝∠3＝50°，∠2+∠3＝90°，

∴∠2＝90°?∠3＝40°，

4.

【答案】

A

【考点】

根的判别式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

5.

【答案】

A

【考点】

解一元一次不等式组

【解析】

分别解两个不等式得到x

{?2x?4>0

x?3≤0

，

解①得x

解②得x≤3，

所以不等式组的解集为x

6.

【答案】

C

【考点】

相似三角形的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABO=∠CDO=90°．

又∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽∽CDO，则AO

CO =AB

CD

．

∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，

∴4

1=1.6

CD

，解得CD=0.4m．

故选C．

7.

【答案】

B

【考点】

简单组合体的三视图【解析】

找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】

从正面看两个矩形，中间的线为虚线，

8.

【答案】

C

【考点】

列表法与树状图法

【解析】

将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．

【解答】

将三个小区分别记为A、B、C，

列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为3

9=1

3

，

9.

【答案】

D

【考点】

总体、个体、样本、样本容量

扇形统计图

用样本估计总体

条形统计图

【解析】

结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．

【解答】

A、本次抽样调查的样本容量是2000

40%

=5000，正确；

B、扇形图中的m为10%，正确；

C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%＝2500人，正确；

D、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%＝20万人，错误；

10.

【答案】

C

【考点】

由实际问题抽象出一元一次方程 【解析】

根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可． 【解答】

解：设大和尚有x 人，则小和尚有(100?x)人， 根据题意得：3x?+?100???x

3

=100.

故选C. 11.

【答案】 6

【考点】

全等三角形的性质与判定 【解析】

由题意可证△ABF ?△CDF ，可得BF ＝DE ＝3，CE ＝AF ＝5，可求AD 的长． 【解答】

解：∵ AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，

∴ ∠C +∠D =90°，∠A +∠D =90°， ∴ ∠A =∠C .

∵ BF ⊥AD ，

∴ ∠AFB =∠CED =90°. 在△ABF 和△CDE 中， {

∠AFB =∠CED ，∠A =∠C ，AB =CD ，

∴ △ABF ?△CDE(AAS)，

∴ DE =BF =3，AF =CE =5， ∴ AE =AF ?EF =5?2=3， ∴ AD =AE +DE =3+3=6. 故答案为：6. 12. 【答案】 C

【考点】

反比例函数与一次函数的综合 【解析】

把一个交点的纵坐标是2代入y ＝?x +1求出横坐标为?1，把(?1,?2)代入y =k

x 出k ，令?3

x 的取值范围，即可求出y 的取值范围． 【解答】

把一个交点的纵坐标是2代入y ＝?x +1求出横坐标为?1，把(?1,?2)代入y =k

x ，

解得：k＝?2，故反比例函数为y=?2

x

，

当x＝?3时，代入y=?2

x 得y=2

3

，

故x＝?3时反比例函数的值为：2

3

，

当x＝?1时，代入y=?2

x

得y＝2，

又知反比例函数y=?2

x

在?3

即当?3

3

13.

【答案】

D

【考点】

平行四边形的判定

菱形的判定

矩形的判定

正方形的判定

【解析】

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】

A、因为DE?//?CA，DF?//?BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．

B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．

C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．

D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．

14.

【答案】

B

【考点】

二次函数的性质

二次函数图象与几何变换

等腰直角三角形

【解析】

把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y＝3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．

【解答】

解：∵抛物线y1=1

2

(x+1)2+1与y2=a(x?4)2?3交于点A(1,?3)，

∴3=a(1?4)2?3，

解得：a=2

3

，故①正确；

过点E作EF⊥AC于点F，

∵E是抛物线的顶点，

∴AE=EC，E(4,??3)，

∴AF=3，EF=6，

∴AE=√62+32=3√5，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；

当y=3时，3=1

2

(x+1)2+1，

解得：x1=1，x2=?3，

故B(?3,?3)，D(?1,?1)，

则AB=4，AD=BD=2√2，

∴AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是等腰直角三角形，故③正确；

∵1

2(x+1)2+1=2

3

(x?4)2?3时，

解得：x1=1，x2=37，

∴当37>x>1时，y1>y2，故④错误．

故选B.

二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）

【答案】

2

【考点】

零指数幂

实数的运算

特殊角的三角函数值

【解析】

原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】

原式＝1+2×1

2

=1+1＝2，

【答案】

8

【考点】

整式的混合运算——化简求值

【解析】

先将原式化简，然后将2m?3n＝?4代入即可求出答案．

【解答】

当2m?3n＝?4时，

∴原式＝mn?4m?mn+6n

＝?4m+6n

＝?2(2m?3n)

＝?2×(?4)

＝8

【答案】

4．

【考点】

平行四边形的性质

【解析】

根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝2√13cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，根据勾股定理得到OC＝3cm，BD＝10cm，于是得到结论．

【解答】

在?ABCD中，∵AB＝CD＝2√13cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，

∵AC⊥BC，

∴AC=√AB2?BC2=6cm，

∴OC＝3cm，

∴BO=√OC2+BC2=5cm，

∴BD＝10cm，

∴△DBC的周长?△ABC的周长＝BC+CD+BD?(AB+BC+AC)＝BD?AC＝

10?6＝4cm，

【答案】

6?10 9

π

【考点】

切线的性质

扇形面积的计算

【解析】

由于BC切⊙A于D，连接AD可知AD⊥BC，从而可求出△ABC的面积；根据圆周角定理，易求得∠EAF＝2∠EPF＝100°，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积＝△ABC的面积-扇形AEF的面积．

【解答】

连接AD，

∵BC是切线，点D是切点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF＝2∠EPF＝100°，

∴S

扇形AEF =100π×22

360

=10

9

π，

S△ABC=1

2AD?BC=1

2

×2×6＝6，

∴S

阴影部分＝S△ABC?S扇形AEF＝6?10

9

π．

【答案】

?9

【考点】

规律型：数字的变化类

【解析】

根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a?b”，首先建立方程2×3?x＝7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．

【解答】

解：∵从第三个数起，前两个数依次为a，b，

紧随其后的数就是2a?b，

∴7×2?y=23，

∴y=?9.

故答案为：?9.

三、解答题（本题7个小题，共63分）

【答案】

原式=1

a?1?1

a(a+1)

?(a+1)2

(a+1)(a?1)

=1

a?1

?1

a(a?1)

=a?1

a(a?1)

=1

a

．

【考点】

分式的混合运算

【解析】

原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．【解答】

原式=1

a?1?1

a(a+1)

?(a+1)2

(a+1)(a?1)

=1

a?1

?1

a(a?1)

=a?1

a(a?1)

=1

a

．

【答案】

3,4,15

8

想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．

因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，

所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．

【考点】

用样本估计总体

算术平均数

频数（率）分布表

中位数

众数

【解析】

（1）从表中数出落在22≤x<25和28≤x<31范围内的数据个数得到a、b的值，利用众数定义确定c的值；

（2）利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量；

（3）利用中位数的意义进行回答．

【解答】

在22≤x<25范围内的数据有3个，在28≤x<31范围内的数据有4个，

15出现的次数最大，则众数为15；

月销售额不低于25万元为后面三组数据，即有8位营业员获得奖励；

故答案为3，4，15；8；

想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，

所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．

【答案】

解：作PC⊥AB于C点，如图：

∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．

在Rt△APC中，cos∠APC=PC

PA

，

∴PC=PA?cos∠APC=40√3（海里）．

在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC

PB

，

∴PB=PC

cos∠BPC =40√3

cos45°

=40√6≈100（海里）．

【考点】

解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】

过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．【解答】

解：作PC⊥AB于C点，如图：

∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．

在Rt△APC中，cos∠APC=PC

PA

，

∴PC=PA?cos∠APC=40√3（海里）．

在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC

PB

，

∴PB=PC

cos∠BPC =40√3

cos45°

=40√6≈100（海里）．

【答案】

△ABC为等腰三角形．

理由如下：连结AE，如图，

∵DE?=BE?，

∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，∴∠C＝∠ABC，

∴AC＝AB，

∴△ABC为等腰三角形；

∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=1

2BC=1

2

×12=6，

在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE=√AB2?BE2=√102?62=8，∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴1

2AE?BC=1

2

BD?AC，

∴BD=8×12

10=48

5

，

【考点】

圆心角、弧、弦的关系

圆周角定理

【解析】

（1）结论：△ABC为等腰三角形．证明∠C＝∠ABC即可解决问题．（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法解决问题即可．

【解答】

△ABC为等腰三角形．

理由如下：连结AE，如图，

∵ DE

?=BE ?， ∴ ∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ， ∵ AB 为直径， ∴ ∠AEB ＝90°， ∴ AE ⊥BC ，

∵ ∠C +∠CAE ＝90°，∠ABC +∠BAE ＝90°， ∴ ∠C ＝∠ABC ， ∴ AC ＝AB ，

∴ △ABC 为等腰三角形；

∵ △ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ， ∴ BE =CE =1

2BC =1

2×12=6， 在Rt △ABE 中，∵ AB ＝10，BE ＝6， ∴ AE =√AB 2?BE 2=√102?62=8， ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB ＝90°，

∴ 1

2AE ?BC =12BD ?AC ， ∴ BD =

8×1210

=

485

，

【答案】

由题意{x +y =120y =?12

x +75 ，解得{x =90

y =30 ，

∴ 单层部分的长度为90cm ．

由题意当y =0，x =150，当x =0时，y =75， ∴ 75≤l ≤150

【考点】

一次函数的应用 【解析】

（1）观察表格可知，y 是x 的一次函数，设y =kx +b ，利用待定系数法即可解决问题； （2）列出方程组即可解决问题；

（3）由题意当y =0，x =150，当x =0时，y =75，可得75≤l ≤150． 【解答】

（1）观察表格可知，y 是x 的一次函数，设y =kx +b ， 则有{4k +b =736k +b =72 ，解得{k =?1

2

b =75 ，

∴ y =?1

2x +75．

当x =10时，y =70，x =150时，y =0； 补全表格

【答案】

ACD,A,BAC,AC,D,C,AC,DC,E,ACEC,菱形在图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB?//?CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC′，

∴∠BAC+∠DAC′＝90°，

∵点D，A，B在同一条直线上，

∴∠CAC′＝90°，

由旋转知，AC＝AC′，

∵点F是CC′的中点，

∴AG⊥CC′，CF＝C′F，

∵AF＝FG，

∴四边形ACGC′是平行四边形，

∵AG⊥CC′，

∴?ACGC′是菱形，

∵∠CAC′＝90°，

∴菱形ACGC′是正方形；

在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，

∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2√3，sin∠ACB=AB

AC =1

2

，

∴∠ACB＝30°，

由（2）结合平移知，∠CHC′＝90°，在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，

∴BH＝BC?sin30°=√3，

∴C′H＝BC′?BH＝4?√3，

在Rt△ABH中，AH=1

2

AB＝1，

∴CH＝AC?AH＝4?1＝3，

在Rt△CHC′中，tan∠C′CH=C ′H

CH =4?√3

3

．

【考点】

四边形综合题

【解析】

（1）先判断出∠ACD＝∠BAC，进而判断出∠BAC＝∠AC′D，进而判断出∠CAC′＝

∠AC′D，即可的结论；

（2）先判断出∠CAC′＝90°，再判断出AG⊥CC′，CF＝C′F，进而判断出四边形ACGC′是平行四边形，即可得出结论；

（3）先判断出∠ACB＝30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C′H，即可得出结论．【解答】

在如图1中，

∵AC是矩形ABCD的对角线，

∴∠B＝∠D＝90°，AB?//?CD，

∴∠ACD＝∠BAC，

在如图2中，由旋转知，AC′＝AC，∠AC′D＝∠ACD，