2016中国西部数学邀请赛

2016中国西部数学邀请赛

1.设实数a b c

d 、、、满足0abcd >，证明：存在a b c d 、、、的一个排列x y z w 、、、，有()()22222

2()xz yw x y z w +>++.

1．取,x z 为a b c d 、、、中最大的两个，y w 、为a b c d 、、、中最小的两个。

下面证明这样的排列满足要求。 事实上，由(

)()22

2

222()()x y

z

w xz yw xw yz ++-+=-，

只需证明：22()()xz yw xw yz +>-，即证：||||xz yw xw yz +>-.① 因为0xyzw >，所以，x z 、的符号相同，y w 、的符号相同。 注意到，当同时改变x z 、或y w 、的符号时，式①不变。

因此，可不妨设x y z w 、、、均大于0.

此时，||max{,}||xz yw xz yw xz xw yz xw yz +=+>>>-

2.如图1，设1O 与2O 交于点P Q 、，它们的一条外公切线分别与1O 、2O 切于点A B 、，

过点A B 、的圆Γ分别与1O 、2O 交于点D C 、. 证明：

CP DP

CQ DQ

= 2.如图3，联结,,,,,,AD PQ BC AP AQ BP BQ ,

由蒙日定理，知AD QP BC 、、交于一点，设为K .

由DP KP

KPDC KAQ AQ KA

???

=∽,

由AP KA

KPA KDQ DQ KQ

???

=∽ 于是，

AP DP KP

AQ DQ KQ ?=?

同理：

BP CP KP

BQ CQ KQ ?=?，

从而

AP DP BP CP

AQ DQ BQ CQ

??=??①

延长PQ ，与AB 交于点M 由AQM PAM ??∽

2

AQ AM QM AQ AM QM QM AP PM AM AP PM AM PM ??

?==?=?= ?

??

同理：2

BQ QM

BP PM ??= ???

，从而AQ BQ AP BP = ② 由式①，②得

DP CP

DQ CQ

=

3.给定正整数2n k k n ≤-、（）.设实数集{}12,,,n a a a 的任意k 元子集的元素和的绝对值不超过

1，证明：若1||1a ≥，则对任意的(2)i i n ≤≤，有12i a a +≤

3.不妨设11a ≥，此时要证结论成立，只要证明对任意的(2)j j n ≤≤， 有12j a a ≥-，且12j a a ≤-

记[]{}12,

,n n =，.

先证12j a a ≥-，设2j n ≤≤，取[]n 的两个k 元子集I J 、，使得\{1},\{}I J J I j ==.

由条件知1

1,1s

s s I

s J

a

a ∈∈≤≥-∑∑.

将这两个不等式作差得：1122j j a a a a -≤?≥-. 再证12j a a ≤-

记{[]|0}i S i n a =∈>.则1S ∈，假设||S k ≥，取S 的一个k 元子集I ，使得1I ∈. 由条件知：{}

1\1010s

s I a

a ∈<≤-≤∑矛盾，则||1S k ≤-.

从而，[]\({})|2n S

j n k ≥-≥.

这样，存在[]\{1,}i j n j ''≠∈，使得0,0i j a a ''≤≤.

现选取[]n 的两个k 元子集I I '、，使得{}\{1,},\,I I j I I i j ''''==. 由条件知

1,1s

s s I

s I a

a '

∈∈≤≥-∑∑.

以上两个不等式相减得：12j i j a a a a ''--≤+ 故1122j i j a a a a a ''+≤-+-≤.

4.定义n 元整数组的一次变换为()()121122311,,,,,,,,n n n n n a a a a a a a a a a a a --→++++.

求所有的正整数对()()2n k n k ≥，、，满足对任意的n 元整数数组()12,,,n a a a ，在有限次

变换后所得数组中每一个数均为k 的倍数（张新泽供题）

4.(

)()(,)2,2

,p q

n k p q +

=∈Z .

先证明一个引理

引理：记n 元整数数组()12,,

,n a a a

经过t 次变换后所得的数组为(

)()()()1

2

,,,t t n

t a a a

，则()0

(1,2,

,)t

t j i

i j t j a

a C i n +===∑.

证明：用数学归纳法.

当1t =时，结论显然成立.

设()0

(1,2,

,)t

t j i

i j t j a

a C i n +===∑.

则(1)()()1

10

C C t

t

t t t j j i

i i i j t

i j t j j a

a a

a a +++++===+=+∑∑

()1

01

111

t

t j

j t j i t

i j t t

i i

t

i j t j j a C a C C a

C a C +-+++++===+++=∑∑

引理得证.

接下来证明,n k 均为2的幂。

注意到，每次变换后所得的n 个数之和为原n 个数之和的2倍. 令1231,0n a a a a ===

==，由题设，经过有限次（不妨设为m 次）变换后所得的每个数均为k

的倍数，由前可知m 次变换后所得的n 个数之和为2m .故|2m k ，即k 为2的幂。

于是，m 次变换后所得的每个数均为2的倍数.进而，以后的每次变换后所得的数均为2的倍数. 取()2s m s +>∈Z .

注意到，()4

1

2212121s s i i s C C i i

--=≤≤-为偶数 ① 则经过2s

次变换后，()

211120(mod 2)s

s a a a +≡+≡

所以：1121s a a +==

于是，即|2s

n ，从而n 为2的幂 下面说明当：(

)()(,)2,2

,p q

n k p q +

=∈Z 时，任意n 元整数数组()12

,,

,n a a a 均能经过有限次变

换后使得到的每个数均为k 的倍数.

事实上，结合引理与结论①，对数组

()12,,,n a a a 经过2p n =次变换后，有

()0(mod2)(1,2,

,)n i i i n a a a i n +≡+≡=

再将()()

()12111,,,222n n n n a a a ?? ???

经过2p

n =次变换得到的每个数也均为偶数， 即(2)

0(mod4)(1,2,

,)n i

a i n ≡=.

由归纳原理有：()()

0mod 2(1,2,

,)qn q i

a i n ≡=，即每个数均为2q k =的倍数.

综上，结论成立.

5.证明：存在无穷多个正整数数组(),,a b c ，满足a b c 、、两两互素，且ab c bc a ca b +++、、两两互素.（张端阳供题）

5.取正整数k 满足1k -不为5的倍数.

下面证明正整数数组()21221k k k -+，，满足题中要求.

事实上，显然21221k k k -+、

、两两互素， 222(21)2(21)41,2(21)(21)441,(21)(21)2421

k k k k k k k k k k k k k k -++=+++-=+-+-+=+- 而241k +为奇数，则()()()222241,44141,4241,21(2,21)1k k k k k k k k ++-=+-=+-=-= 又1k -不为的倍数，

所以：(

)(

)(

)

22

2

2

41,42141,2241,1(5,1)1k k k k k k k k ++-=+-=+-=-=

注意到：()()222441,421441,21k k k k k k k +-+-=+-= 从而(21,2,21)k k k -+确实满足题中要求.

因此，满足题中要求的正整数数组有无穷多个.

6.设12,,,n a a a 为n 个非负实数，记1(1)k k i i S a k n ==≤≤∑.证明：()2211

n

n n i i j i i i j i i a S a a S ===??≤ ???∑∑∑①

6.注意到：22111

j n

n n i i j j i i i j i j i a S a a a S ====????= ? ?????∑∑∑∑

故要证不等式①，只要证明222

111

j n

n j i i j j j i j a a S a S ===??≤ ???∑∑∑.

对1j n ≤≤，比较上式两端2

j a

的系数，要使得上式成立，只要

21

j

i i

j i a S

S =≤∑ ②

事实上：211j

j i i i j j i i a S a S S ==??

≤= ???

∑∑，所以②成立，

从而，不等式①成立.

7.如图2，在圆内接四边形ABCD 中，BAC DAC ∠=∠，设1O 、2O ，分别为ABC ADC ??、 的内切圆。证明：1O 与2O 的某一条外公切线与BD 平行.

7.如图4，设I 为ABD ?的内心，联结BI .

过I 作1O 的一条切线，切点为E ，与AB 交于点M . 由熟知的结论及圆外切四边形对边长度之和相等，知

,CI CB CI MB CB MI MB MI MBI MIB =+=+?=?∠=∠

注意到，I 为ABD ?的内心.

则//MBI DBI MIB DBI IE BD ∠=∠?∠=∠?. 类似地，过点I 作

2O 的一条切线，切点为F ，有//IF BD .

因此，E I F 、、三点共线，即1O 与

2O 的一条外公切线EF 与BD 平行.

8.给定整数()()21m n m n m n ≤<=、，，，求最小的整数k ，满足对集合()1,2,,n 的任意m 元子

集I ，若i I

i k ∈>∑，则存在n 个实数12n a a a ≤≤

≤，使得1

11n

i i i I i a a m n ∈=>∑∑

8.满足条件的最小整数为1

2

mn m n k +-+=

先证明：当1

2

mn m n k +-+=时满足条件.

对集合{}12,,n ，的满足i I

i k ∈>∑的m 元子集I ，

设{}()1212,,

,1m m I i i i i i i n =≤<<<≤.

记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.

由(),1m n =，得：1111111(1)()(1)(1)22m

m m i r r n n n r r m r n m m m m --===???

?????-=?+-=-- ????????

???????∑∑∑

11

(1)1m

m

r r r n r k i m ==??

???-+=< ???????∑∑

从而，存在1r m ≤≤，使得(1)1r n i r m

??>-+???

?

取1110,1r r i i i i n a a a a a -+=

====

==，

则11i i I m r a m m ∈-+=∑，111n

r i i n i a n n

=-+=∑ 由(1)1r n i r m

?

?>-+???

?

及r i 为整数得：(1)1r n

i r m >-+，

于是1

11n

i i i I i a a m n ∈=>∑∑结论成立

再证明：当1

2

mn m n k +-+<

时不满足条件

取(1)1(1,2,

,)r n i r r m m

??=-+=???

?

，则{}12,,,{1,2,

,}m I i i i n =?，

且与前面类似得

1

1

2

i mn m n i k ∈+-+=

>∑

对n 个实数12n a a a ≤≤

≤，有()()111

111111r r m r m

i n

m n

m i i i i r r i m i r i i i i r a a a a i i a n i +---+=====??=+≥-+-+ ???∑∑∑∑∑

1

m

ij j n a m ==∑ 于是，111

n i i i i I

a a n m =∈≥∑∑，结论不成立，

综上，所求最小整数1

2

mn m n k +-+=

附本届邀请赛预选题

1.证明：存在无穷多个正整数n ，使得12n n n ++、、均无平方因子.

1.考虑集合()A n = {1,m m n m +≤≤∈Z ，存在奇素数p ，使得2|p m }， 则2222|()|11111111135711A n n ????????

-

≥---- ??????????????

?

228244811

1925491113

??≥??--- ???

8244811111925491011131482448931925491041000

??????≥??-----? ? ?????????>???>+

其中，第二个不等式用到了伯努利不等式 所以：

|()|11

41000

A n n <- ① 考虑所有1(mod 4)k ≡的正整数（,1,2k k k ++均不大能被4整除）

下面用反证法证明：形如1(mod 4)k ≡的数中，存在无穷多个使得,1,2k k k ++均无平方因子。

假设形如1(mod 4)k ≡的正整数中，使得,1,2k k k ++均无平方因子的数只有有限个，不妨设有l 个。则对充分大的正整数m ，在数组()()()123,567,,434241m m m ---，，，，，，中，至少有m l -个数组中有

一个数在集合()4A m 中，此时，|(4)|1444A m m l l

m m m

-≥=- 当m 充分大时，

111

441000

l m ->-，结合式①知矛盾。 从而，存在无穷多个正整数n ，使得12n n n ++、、均无平方因子.

()

()

()

()()1111122(1)1(1)11j j n m

m

m

i j i i i i ij ij i j j n i a i a a n a a j a a n a m --==?

?=-+-++-+-+-++???

≥?∑∑

2.如图5，在ABC ?中，P 为BAC ∠平分线上的一点.设12H H 、分别为APB APC ??、的垂心，M 为线段12H H 的中点。证明：AM BC ⊥

2.如图6，过点A 作AH BC ⊥于点H

原题等价于证明：直线AH 经过线段12H H 的中点，这只需证明点12,H H 到直线AH 的距离相等，即

2211sin sin AH H AH AH H AH ∠=∠

事实上，由垂心的性质得

2tan tan 2

PC PC

AH PAC =

=

∠（1） 1tan tan 2PB PB

AH BAC PAB ==

∠∠ 又由2,CP AH AH BC ⊥⊥，知2H A H P C B ∠=∠ 类似地，1H AH PBC ∠=∠ 于是，在PBC ?中应用正弦定理得

2211sin sin tan

2

sin sin tan

2

PC PCB

AH H AH BAC PB BBC AH H AH

BAC ∠∠=

∠∠==∠∠

3.将66?方格表的部分结点（单位正方形的顶点）染红，使得任意一个由单位正方形构成的子方格表16k k k ?≤≤（）边界上至少有一个红点，求满足条件的红点数的最小值

3.最小值为12.

一方面，将结点用坐标表示为

(){}() 3210123i j i j ∈---，、，

，，，，，，将以下12个点

(3,0),(0,3)(1,±±±±±±染成红色，逐一检验知其满足条件.

另一方面，用反证法证明若只有11个红点时，存在一个子方格表的边界上无红点.

假设恰有11个红点的一种染法满足条件.

注意到，一个22?子方格表的结点中至少有两个红点

如图7，由四个C 组成的22?子方格表至少有两个红点，每个A 至少一个红点，相邻的两个B 至少一个红点，则至少已有10个红点.故图中四个相邻的两个B 的红点的总个数为4或5.

（1）若为4个，则每相邻的两个B 的红点数恰一个，显然，只能出现在它们的公共结点上.此时，再考虑四个角上含A 的22?子方格表，每个中至少有两个红点.于是，红点数至少有44212+?=个，与假设矛盾. （2）若为5个，则恰有一个相邻的两个B 的红点数为2，不妨设为上方的两个B .于是，其余的三个相邻的两个B 的红点数均为1，显然，只能出现在它们的公共结点上.再考虑下方的两个角上含A 的22?子方格表，每个中至少有两个红点，这些红点均未出现在上方的两个C 格中，这两个C 格也至少有一个红点.于是，红点总数至少有326112?+?=个，与假设矛盾.

4.对正整数k ，设其在十进制表示下所有数字之和为()S k . （1）证明：对任意正整数n ，存在正整数等差数列12,,

,n a a a ，使得()()()12n S a S a S a <<<；

（2）是否存在无穷项正整数等差数列{}n a ，使得()()()12n S a S a S a <<<<

？

4.（1）对10k

n =，构造如下正整数等差数列：()1,2,

,10k i a i =为将10k i +到41012i ?+- 这10k 个

数在十进制表示下依次连接在一起组成的一个()110k k +位数. 此时，该数列中相邻两项的对应部分之差均为1，为等差数列。 又对比i a 和1i a +的各位数字，恰有一个数字从1变成了2. 故()()()111,2,

,101k i i S a S a i +-==-.

由于k 可以任意大，从而，对任意正整数n ，存在满足要求的等差数列. （2）不存在。

若存在这样的等差数列，不妨设首项为1a ，公差为d .显然，0d > 取正整数k ，使得110k

a > 由该等差数列有无穷多项，知1

110k a d ++、2110k a d ++均在该数列中.

于是，(

)()1

21110

10k k S a d S a d +++<+.

但此时1a 不超过k 位，从而，(

)()()1

211110()10k k S a d S a S d S a d +++=+=+，矛盾.

综上，这样的等差数列不存在.

5.给定整数b c 、及自然数2N ≥.证明：存在整数121,,,N x x x +，使得()()11

N

N i i f x f x +==∏，

其中，2()f x x bx c =++.

5.对N 用数学归纳法.

当2N =时，注意到，对任意整数m ，有

()22

()(1)(1)(1)f m f m m mb c m m b c ??+=++++++??

()()()()

4322222

(22)32122(1)m b m b b c m b b c bc m c bc c f m b m c =+++++++++++++=+++

(())f m f m =+ ①

因此，结论对2N =成立.

假设当2N k k =≥（）时结论成立，即存在整数121,,

,N x x x +满足()()11

k

k i i f x f x +==∏.

则当1N k =+时，令式①中1k m x +=.

所以：()()

()()()

()111111

11k

k k k k k i

i f x f x f x f x f x f x +++++=+=+=+∏

从而，结论对1N k =+也成立因此，结论对所有2N ≥均成立.

.

6.试求常数λ的最小值，使得对一切正整数n 及任意和为1的正实数(1)k x k n ≤≤，均有

()21

1

11n n

k k k k x x λ==-≥-∑∏

6.所求λ的最小值为e

对2n ≥，取121n x x x n ==

==，有1

111n n λ-??≥+ ?-??

注意到，1

1lim 11n n e n -→+∞

?

?+= ?-??

.

于是，e λ≥.

又由指数不等式及广义伯努利不等式，有

()()()()()221

1

1

1

1

111111k

n n

n n

n

x k k k k k

k

k k k k k e x e

x x x x

x

=====-=-≥+-=-≥-∑∏∏∏∏

这表明，当e λ=满足条件。综上，λ的最小值为e .