双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例

典型例题一

例1 讨论

19252

2=-+-k

y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9

解：（1）当9-k ，09>-k ，

所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．

（2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，

k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）25

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

典型例题二

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点??

?

??4153，P ，??? ??-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．

（3）与双曲线14

162

2=-

y x 有相同焦点，且经过点()

223， 解：（1）设双曲线方程为12

2=+

n

y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，

∴???????=+=+1

259256116225

9n

m n m 解得???=-=916n m

∴所求双曲线方程为19

162

2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，

∴设所求双曲线方程为：162

2

=--

λ

λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164

25

=--

λ

λ

∴5=λ或30=λ（舍去）

∴所求双曲线方程是15

22

=-y x

说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

（3）设所求双曲线方程为：

()16014162

2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()

223，

，∴144

1618=++-λ

λ ∴4=λ或14-=λ（舍）

∴所求双曲线方程为18

122

2=-

y x 说明：（1）注意到了与双曲线

14

162

2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162

2=+--λ

λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

典型例题三

例3 已知双曲线116

92

2=-

y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F

∠的大小．

分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF

∴362212

22

1=-+PF PF PF PF ∴1002

2

2

1=+PF PF ∵()

100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F

说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢请读者试探索．

典型例题四

例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足

ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积．

分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积．

解：∵P 为双曲线14

22

=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．

∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F

∴在21F PF Rt ?中，202

212221==+F F PF PF ∵()162212

22

12

21=-+=-PF PF PF PF PF PF

∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12

1

2121=?=

?PF PF S PF F

说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．

典型例题五

例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a

∴16435222222==-=-=a c b

∴所求方程116

92

2=-

y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．

（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．

典型例题六

例6 在ABC ?中，2=BC ，且A B C sin 21

sin sin =-，求点A 的轨迹．

分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢

解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．

设()y x A ，，由A B C sin 21

sin sin =-及正弦定理可得：

12

1

==-BC AC AB ∵2=BC

∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

()0012

2

22>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴2

1

=

a ，1=c ∴4

3222=

-=a c b ∴所求双曲线方程为13

442

2

=-y x ∵01>=-AC AB ∴2

1>

x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分

典型例题七

例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：

（1）与⊙()2222

=++y x C ：

内切，且过点()02，A （2）与⊙()112

21=-+y x C ：和⊙()412

22=++y x C ：都外切．

（3）与⊙()9322

1=++y x C ：

外切，且与⊙()1322

2=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．

解：设动圆M 的半径为r

（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA

∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：

22=

a ，2=c ，2

7222=-=a c b ∴双曲线方程为()

217

222

2

-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，

112=-MC MC

∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：

21=

a ，1=c ，4

3222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：

??

?

?

?≥

=-43134422

y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC

∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：

2=a ，3=c ，5222=-=a c b

∴所求双曲线方程为：

()215

42

2≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．

（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．

典型例题八

例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，?=∠90MPN ，4

3tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．

分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，

c MN 2=，所以利用条件确定MPN ?的边长是关键．

解：∵MPN ?的周长为48，且4

3

tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．

以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双

曲线方程为122

22=+b

y a x )0,0(>>b a ．

由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．

由962

2

2

=-=a c b ，得所求双曲线方程为196

42

2=-

y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．

典型例题九

例9 P 是双曲线

136

642

2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．

分析：利用双曲线的定义求解．

解：在双曲线136

642

2=-

y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．

说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或

332=PF ．

典型例题十

例10 若椭圆122=+

n y m x )0(>>n m 和双曲线12

2=-t

y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ?的值是( ) ．

A ．s m -

B ．)(2

1

s m - C ．22s m - D ．s m -

分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF 的关系式，再变形得结果．

解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．

两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=?，故s m PF PF -=?21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF 的关系．(2)注意方程的形式，

m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．

典型例题十一

例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．

分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界

点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．

解：21=AA ．

(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．

(2)当20<

142

2

22=--a y a x ．

(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：

(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．

(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．

典型例题十二

例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．

分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ?为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．

解：设双曲线的方程为122

22=-b

x a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00y )，

t BC =(220<

连结AC ，则?=∠90ACB ．

作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ?=2

．

∴4)2(02

?-=y t ，即4

22

0t y -=．

∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=

即10)2(21

822122+--=++-=t t t l ．

当2=t 时，l 最大．

此时，2=BC ，32=AC ．

又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．

∴所求双曲线方程为

13

23242

2=--x y ． 说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．