【人教版】2021年数学九年级上册(全集)精品教案学案汇总

（人教版）九年级数学上册（全册）精品教

案学案汇总

第二十一章 一元二次方程

21．1 一元二次方程

1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．

2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

重点

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．

难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．

活动1 复习旧知

1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？

2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x

＋1＝0 (4)x 2

＝1

3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．

1．教材第2页 问题1. 提出问题：

(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？

(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．

2．教材第2页问题2.

提出问题：

(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？

(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．

提出问题：

本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？

4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？

活动3归纳概念

提出问题：

(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？

(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

(3)归纳一元二次方程的概念．

1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

提出问题：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？

(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？

(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？

3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．

活动4例题与练习

例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．

(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1

x2＋

1

x

＝2；

(4)2x2－2x(x＋7)＝0.

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；

(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．

例2 教材第3页例题．

例3 以－2为根的一元二次方程是( )

A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0

C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．

练习：

1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．

(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.

3．教材第4页 练习第2题．

4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2

＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k ＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结

我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？

作业布置

教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程

21．2.1 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2

＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，

然后知识迁移到解a(ex ＋f)2

＋c ＝0型的一元二次方程．

重点

运用开平方法解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点

通过根据平方根的意义解形如x 2

＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程．

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空

(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2

；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2

.

解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p

2

.

问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方

程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了x 2

＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t

＋1，即(2t ＋1)2

＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2

例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2

＋6x ＋9＝2

分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2

＝1.

(2)由已知，得：(x ＋3)2

＝2

直接开平方，得：x ＋3＝± 2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2

所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2

解：略．

例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10(1＋x)2＝14.4

(1＋x)2＝1.44

直接开平方，得1＋x＝±1.2

即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2

所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材第6页练习．

四、课堂小结

本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．

五、作业布置

教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．

重点

讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．

难点

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程：

(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7

老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得

x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．

如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2

，求场地的长和宽各是多少？

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．

(2)不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x 2＋6x －16＝0移项→x 2

＋6x ＝16

两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32

＝16＋9

左边写成平方形式→(x＋3)2

＝25降次→x＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8 可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1 用配方法解下列关于x 的方程：

(1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2

－2x －12

＝0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．

解：略． 三、巩固练习

教材第9页 练习1，2.(1)(2)． 四、课堂小结 本节课应掌握：

左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．

五、作业布置

教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．

重点

讲清配方法的解题步骤． 难点

对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．

解：略．(2)与(1)有何关联？

二、探索新知

讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为1；

(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．

例1 解下列方程：

(1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

解：略．

三、巩固练习

教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．

四、课堂小结

本节课应掌握：

1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．

2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．

五、作业布置

教材第17页复习巩固3.(3)(4)．

补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．

(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公

式法

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．

重点

求根公式的推导和公式法的应用．

难点

一元二次方程求根公式的推导．

一、复习引入

1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

(1)x 2＝4 (2)(x －2)2

＝7

提问1 这种解法的(理论)依据是什么？

提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)

2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)

(学生活动)用配方法解方程 2x 2

＋3＝7x (老师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)． (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x ＋p)2

＝q 的形式，如果q≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．

二、探索新知 用配方法解方程：

(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2

＋bx ＋3＝0

如果这个一元二次方程是一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2

－4ac

2a

，x 2＝

－b －b 2

－4ac

2a

(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

解：移项，得：ax 2

＋bx ＝－c

二次项系数化为1，得x 2

＋b a x ＝－c a

配方，得：x 2

＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2

即(x ＋b 2a )2＝b 2

－4ac

4a

2

∵4a 2

>0，当b 2

－4ac≥0时，b 2

－4ac 4a

2

≥0 ∴(x ＋b 2a )2＝(b 2

－4ac 2a

)2

直接开平方，得：x ＋b 2a ＝±b 2

－4ac 2a

即x ＝－b ±b 2

－4ac

2a

∴x 1＝－b ＋b 2

－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2

－4ac 2a

由上可知，一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2

－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac

2a

就得到方程的根．

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：

(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2

＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12

＝0 (4)4x 2

－3x ＋2＝0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习

教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：

(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；

(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变

号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2

－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．

(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置

教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．

重点

用因式分解法解一元二次方程． 难点

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2

＋6x ＝0(用公式法)

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为1

4

，因

此，应加上(14)2，同时减去(14

)2

.(2)直接用公式求解．

二、探索新知

(学生活动)请同学们口答下面各题．

(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？

(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成： (1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12

.

(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

例1 解方程：

(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2

＝

(3－2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )

A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7

B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35

C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2

D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1

三、巩固练习

教材第14页 练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用． (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

五、作业布置

教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

重点

根与系数的关系及其推导 难点

正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．

一、复习引入

1．已知方程x 2

－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．

2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？

3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2

－4ac

2a

，

x 2＝－b －b 2

－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2

－4ac.两

根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2

－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0 x 2－5x ＋6＝0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2

－4q≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？

(2)关于x 的方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2

－7x －4＝0 3x 2＋2x －5＝0 5x 2－17x ＋6＝0

小结：根与系数关系：

(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2

－4q≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)

(2)形如ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．

即：对于方程 ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)

∵a ≠0，∴x 2

＋b a x ＋c a ＝0

∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c

a

(可以利用求根公式给出证明)

例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

(1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2

＋3x －5＝0 (3)13

x 2－2x ＝0 (4)2x 2

＋6x ＝ 3 (5)x 2

－1＝0 (6)x 2

－2x ＋1＝0

例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2

－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734

)

例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几

种方法？)

例4 已知方程2x 2

＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．

变式一：已知方程x 2

－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；

变式二：已知方程2x 2

－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k. 三、课堂小结

1．根与系数的关系．

2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置

1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．

(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2

－3x ＋2＝0

(4)3x 2

＋x ＋1＝0

2．已知方程x 2

－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．

3．已知方程x 2

＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元

二次方程(2课时)

第1课时 解决代数问题

1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．

3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．

重点

利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题． 难点

如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．

一、引入新课

1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 2．科学家在细胞研究过程中发现：

(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？

二、教学活动

活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．

(2)本题中有哪些数量关系？

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：

1＋x＋x(1＋x)＝121

解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？

(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．

(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；

二月(或二年)后产量为a(1±x)2；

n月(或n年)后产量为a(1±x)n；

如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.

(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.

三、课堂小结与作业布置

课堂小结

1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．

2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．

3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．

4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．

作业布置

教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题

1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．

2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．

重点

通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．

难点

在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．

活动1创设情境

1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．

2．如图所示：

(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．

(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．

活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题

要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．

(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．

(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．

(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.

(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.

(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)

(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？

活动3变式练习

如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．

答案：路的宽度为5米． 活动4 课堂小结与作业布置 课堂小结

1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．

2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．

作业布置

教材第22页 习题21.3第8，10题．

第二十一章 一元二次方程

21．1 一元二次方程

1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟) 问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－

2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2

－75x ＋350＝0__．①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．

设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2

＝28__，化简整理，得__x 2

－x －56＝0__．② 探究：

(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．

(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．

1．一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2

__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2

＝1；

(3)5x 2－2x －14＝x 2

－2x ＋35

；

(4)2(x ＋1)2

＝3(x ＋1)；

(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2

＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)． 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2

－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．求证：关于x 的方程(m 2

－8m ＋17)x 2

＋2mx ＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2

＋1，

∵(m －4)2

≥0，

∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2

＋1≠0.

∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

点拨精讲：要证明无论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2

－8m ＋17≠0即可．

2．下面哪些数是方程2x 2

＋10x ＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元

二次方程2x 2

＋10x ＋12＝0的两根．

点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相

等即可．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程．

(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2

－1)＝3y ；

(3)2x 2

－3x －1＝0; (4)1x 2－2x

＝0；

(5)(x ＋3)2

＝(x －3)2;

(6)9x 2

＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．

2．若x ＝2是方程ax 2

＋4x －5＝0的一个根，求a 的值．

解：∵x＝2是方程ax 2

＋4x －5＝0的一个根， ∴4a＋8－5＝0， 解得a ＝－3

4

.

3．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

解：(1)4x 2＝25，4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100，x 2

－2x －100＝0.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法(1)

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x 2

＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意

义解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2

，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

__10×6x 2

＝1500__，

由此可得__x 2

＝25__，

根据平方根的意义，得x ＝__±5__， 即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．

可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm .

探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2

＋6x ＋9＝4?

方程(2x －1)2

＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x －1＝±5__，即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2

＝5的两个解为x 1＝__1＋52，x 2＝__1－52__．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次

方程，这样问题就容易解决了．

方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2

＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.

归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2

＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：

(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2

＝50；

(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2

－4x ＋1＝0.

解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2

＝50， y 2＝4， (x －8)2

＝25， y ＝±2， x －8＝±5，

∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5， ∴x 1＝13，x 2＝3；

(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2

－4x ＋1＝0，

(2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2

＝0， ∴原方程无解； 2x －1＝0，

∴x 1＝x 2＝1

2

.

点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2

＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2

＋2y ＋1＝24；

(3)9n 2

－24n ＋16＝11.

解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±11

3

.

点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负

根．

2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2

＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值． 解：±1.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：

(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2

－4x ＋4＝5；

(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2

－1＝0；

(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2

＝25；

(7)x 2

＋2x ＋1＝4.

解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；

(3)x 1＝－1，x 2＝1

3；

(4)x 1＝16，x 2＝－1

6；

(5)x 1＝92，x 2＝－9

2；

(6)x 1＝0，x 2＝－10；

(7)x 1＝1，x 2＝－3.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．

3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)中，为什么p ≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1 配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2

＝b 的过程．

(2分钟)

1．填空：

(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2

；

(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2

； (3)x 2

＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2

__)2.

2．若4x 2

－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2

，得到方程__x(x ＋6)

＝16__，整理得到__x 2

＋6x －16＝0__．

探究：怎样解方程x 2

＋6x －16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2

＋6x ＋9＝4的左边

是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2

＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x 2

＋6x ＝16，

两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2

＋bx ＋(b 2

)2的形式，得

__x 2

__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__(x ＋3)2

＝25__，

开平方，得

__x ＋3＝±5__， (降次)

即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，

解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：解下列方程：

(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2

－9＝0；

(3)4x 2

＋16x ＋16＝9.

解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝5

2；

(3)x 1＝－72，x 2＝－1

2

.

归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

(1)把方程化为一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0；

(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：

(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2

；

(2)x 2

－x ＋__14__＝(x －__12__)2；

(3)4x 2

＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2

.

2．解下列方程：

(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2

＋6x ＋2＝0；

(3)(1＋x)2

＋2(1＋x)－4＝0.

解：(1)移项，得x 2

＋6x ＝－5，

配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2

＝4， 由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5.

(2)移项，得2x 2

＋6x ＝－2，

二次项系数化为1，得x 2

＋3x ＝－1， 配方得x 2

＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54

，

由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－3

2，

x 2＝－

52－32

. (3)去括号，整理得x 2

＋4x －1＝0，

移项得x 2

＋4x ＝1，

配方得(x ＋2)2

＝5，

x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.

点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？

解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×1

2

×8×6， 即x 2

－14x ＋24＝0，

(x －7)2

＝25， x －7＝±5，

∴x 1＝12，x 2＝2，

x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．

点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x 的方程：

(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2

－4x ＋2＝0；

(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2

＋2＝5.

解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174，x 2＝14－17

4；

(4)x 1＝

62，x 2＝－62

.