第9章气体与蒸汽的流动

第九章气体与蒸汽的流动

9．1 稳定流动的基本方程 (1)

9．1．1 稳定流动质量守恒方程（连续性方程） (2)

9．1．2 稳定流动能量方程 (3)

9．1．3 熵方程 (3)

9．1．4 状态方程 (3)

9．2 定熵流动的基本特性 (4)

9．2．1 定熵流动的特性方程 (4)

9．2．2 当地声速和马赫数 (5)

9．3 气体在喷管和扩压管中的流动 (7)

9．3．1 速度变化与状态变化的关系 (7)

9．3．2流速变化、状态变化与流道截面积变化的关系 (8)

9．4 喷管中气体流动的计算 (9)

9．4．1 喷管的设计计算 (10)

9．4．2 喷管的校核计算 (18)

9．5 水蒸汽在喷管中的定熵流动 (22)

9．5．1 设计计算 (23)

9．5．2 校核计算 (24)

9．6 有摩擦的绝热流动与绝热节流 (26)

9．6．1 有摩擦的绝热流动 (26)

9．6．2 绝热节流 (30)

9．1 稳定流动的基本方程

流动过程在工程上常有出现，例如气轮机中气体流经喷管使其流速增加的过程，叶轮式压气机中气流经过扩压管使其减速增压的过程等等。由于气体在流动过程中伴有工质热力状态的变化，有热力学能参与能量转换，因此，对这种热流体的流动过程的研究也属于工程热力学研究的范畴，特别是在热能工程上具有重要的实践意义。

流体流动状况的变化是以流速的变化为标志的，根据能量守恒原理，流速变化必然意味着流动过程中有能量的转换和流体热力状态的变化。另一方面，流体在流道内的流动还

必须遵循质量守恒原理，因此，流动速度与流道的尺寸有关，其速度变化需要流道尺寸的配合。为了实现预期的流动，这两方面都是必须考虑的。

工程上常见的管道内流体的流动是稳定的或接近稳定的。前已述及，流体在流经任何一个固定点时，其全部参数（热力学参数和力学参数）不随时间变化的流动过程称为稳态流动过程，简称稳定流动。一般地说，在流道同一截面上各点的同名参数值是不相同的（尤其是流速）。但为使问题简化起见，可将流道内同一截面上流体的各同名参数都视为一致，每一流体参数只沿流道轴向或流动方向发生变化。这时，任一截面上的某一参数实际上只是某种平均值而已。这种参数只在流动方向上有变化的稳定流动称为一维稳定流动。下面的讨论以一维稳定流动为限。

9．1．1 稳定流动质量守恒方程（连续性方程）

图9-1 流体在流道内的流动

稳定流动中，任一截面的一切参数均不随时间而变，根据质量守恒原理，流经任一截面的质量流量应为一定值。在图9-1所示的流道中，任意截面1-1和2-2上的质量流量分别用 1m 和 2m

[kg/s]表示，流道截面积为A 1和A 2[m 2]，流体的流速为c f1和c f2[m/s]，密度为1和2[kg/m 3

]，则

m Ac v Ac v c A v c A m m ======f cf 2f2211f 121ρ=定值 (9-1)

写成微分式

0)(f f =??? ??==v Ac d Ac d m d ρ

或

0f f =-+v dv c dc A dA

(9-1a)

式（9-1）及（9-1a ）称为稳定流动的连续性方程。它给出了流速、截面面积和比体积（或密度）之间的相互制约关系。由于连续性方程从质量守恒原理推得，故可普遍适用于稳定流动过程，而不论流体（液体和气体）的性质如何，或过程是否可逆。

9．1．2 稳定流动能量方程

根据能量转换与守恒原理可导得稳定流动能量方程。从第二章中已知，对1kg 流体而言，有

net 1221f 22f 12)()(21)-(w z z g c c h h q +-+-+=

(9-2)

或

t 12)(w h h q +-=

(9-2a)

写成微分式

net 2f 21w gdz dc dh q δδ+++=

(9-2b)

或

t w dh q δδ+=

(9-2c)

式中 net 2f t 21w gdz dc w δδ++=，它们都属于机械能范畴。因此 t w 称为比技术功，式（9-2）～（9-2c ）系由能量守恒原理导得，故对流体的性质没有限制，并与过程的可逆与否无关。

对于开系，可逆稳定流动过程的能量方程可写成

?-+=2112vdp )-h (h q (9-3)

或 vdp dh q -=δ (9-3a)

因

此

=-v d p

9．1．3 熵方程

第三章中已导得任意过程均需满足的熵方程：

T q

S ds ds δδ≥+=g f

(9-4)

式中，等号适用于可逆过程，不等号适用于不可逆过程。

9．1．4 状态方程

在稳定流动过程中，流体的状态变化过程可看作准平衡过程。在每一截面上，流体基本热力学状态参数之间的关系由状态方程

0=f(p,v,T) (9-5)

来确定。

以上式（9-1a ）、（9-2b ）、（9-3a ）、（9-4）、(9-5)五个方程是任意稳定流动所遵循的基本方程组。对于不同情况下的流动过程，可根据具体条件结合基本方程组来进行分析讨论。

9．2 定熵流动的基本特性

9．2．1 定熵流动的特性方程

工程上一些具有重要意义的稳定流动过程（例如气流通过喷管或扩压管的流动过程），往往可认为是在绝热绝功的情况下进行的，即 0=q δ， 0net =w δ，且在摩擦影响较小时，可近似认为流动过程是可逆的。可逆绝热流动过程即是定熵流动过程， 0=ds 。下面根据稳定流动的基本方程组，结合定熵流动的特征来分析定熵流动的基本特性。

定熵流动的能量方程，在忽略重力位能变化时，可由式（9-2）与式（9-3）简化为

()

?-=-=-212121f 22f 21vdp h h c c (9-6)

或

vdp dh dc -=-=2f 21 (9-6a)

熵方

程： 0

==T q

ds δ (9-7)

这样式（9-6a ）、(9-7)及前面的式（9-1a ）、式（9-5）即构成了分析定熵流动的基本方程组。

现将各基本方程联系起来作如下推导：

f f 22f f f 2f f 2211111c dc c c dc c v p v dc c p v v vdp p v v dp p v v v dv s s s s

=??? ????-=???? ????-=???? ????=???? ????= (9

-8)

上面的推导过程中用到了能量方程（9-6a ），熵方程（9-7）（定熵条件）及在物理学中学到过的声速c 的表达式

s v p v c ??? ????-=2 (9-9)

若令

c c Ma f = (9-10)

Ma 称为马赫数，并将式（9-8）代入连续性方程（9-1a ）得到

0f f 2f f =-+c dc Ma c dc A dA

或写作

f f

2)1(c dc Ma A

dA -= (9-11)

式（9-11）反映了定熵流动过程的特性。由于它是利用能量方程式（9-6a ）、熵方程（9-7）、连续性方程（9-1a ）及声波定熵传播速度c 的表达式（9-9）导得的，因而适用于任意流体的定熵流动过程，称为定熵流动的特性方程。

9．2．2 当地声速和马赫数

上面我们引入了马赫数Ma ，由其定义可见，利用马赫数可将气体流动分类为： 亚声速流动：Ma< 1；c f < c

超声速流动：Ma> 1；c f > c

临界流动：Ma= 1；c f = c

如果流体是理想气体，在定熵过程中绝热指数可表示为

s v p p v ??? ????-

=γ (9-12)

代入声速表达式（9-9）得到

T R pv c g γγ== (9-13)

对某确定的理想气体而言， γ与R g 为定值，则声速仅与温度有关，且正比于 T 。对于一般流体，声速将随流体所处的状态不同而变化，我们所指的声速往往是指在某一状态（p, v, T ）下的声速值，称为当地声速。

例题9.1 空气流经喷管作定熵流动（图9-1）。已知进口截面上的空气参数为p 1=0.5MPa 、t 1=500℃、c f1=111.46m/s 。出口截面的压力p 2=0.104 16MPa ，质量流量 m

=1.5kg/s 。求喷管出口截面上的温度t 2、比体积v 2、流速c f2以及出口截面积A 2。分别计算进口截面和出口截面处的当地声速，并说明喷管中气体流动的情况。设空气的比热容c p =1.004kJ/(kg K)，R g =0.287kJ/(kg K)， =1.4。

解 （1）出口截面上空气的状态参数

空气在喷管中作定熵流动，由pv =定值可得

γγ11212-???? ??=p p T T

K 78.493Pa 105.0Pa 101046.0K 7734.114.1610112126=???? ?????=???? ??=--γγp p T T

根据理想气体状态方程，有

/kg

m 3605.1Pa 1010416.0K 78.493K)J/(kg 10287.036322

g 2=????==p T R v

（2）出口截面上的流速

根据稳定流动能量方程，结合定熵流动特性，简化得

2121f 22f )(21h h c c -=-

对于理想气体有

)(2121T T c h h p -=-

则出口截面上的流速为

m/s 03.757)m/s 46.111()K 78.493K 773(K)J/(kg 10004.12)(2)(22321

f 2121f 212f =+-????=+-=+-c T T c c h h c p

（3）喷管出口截面积A 2

根据连续性方程

22f 2v c A m

=