北航飞行力学大作业.(可编辑修改word版)

飞行力学大作业

= 0 CE

E

E E

CB BE CE BE E E E BE E BE E E B B B B B

B B B B Z ?

1 理论推导方程

在平面地球假设下，推导飞机质心在体轴系下的动力学方。

质心惯性加速度的基本方程是式（5.1.7），其中动点就是在转动参考系 F E 中的 O y 。这样 r

' 质心相对 于地球的速度，已用V E

来表示。这里假设地轴固定于惯性空间，且 = 0 。因此， F

的原点的加

速度a 0 就是与地球转动有关的向心加速度。数值比较表明，这一加速度和 g 相比通常可以略去。而

对于式（5.1.7）中的向心加速度项 r

' 的情况也是一样的，，也通常省略。在式（5.1.7）中剩下的 两项中 r ' = V

E

，而哥氏加速度为2 E V E 。后者取决于飞行器速度的大小和方向，并且在轨道速度 时至多为 10%g 。当然在更高速度时可能更大。所以保留此项。最后质心的加速度可以简化为如下形

式： a = V E + 2 E V E

有坐标转换知：

a

= L a = L (V E + 2 E V E )

= L V E + 2L

E V E

= V E + ( B - E )

V E + 2 E V E = V E + ( + E ) V E (1)

体轴系中的力方程为：f=m a CB 而 f= A B +mg+T 设飞机的迎角为

，侧滑角为

，则体轴系的气动力表示为：

? A x ? ?-D ? ?cos cos -cos sin -sin ? ?-D ?

? A ? = L A = L ()L (-) ?-C ? = ? sin cos 0 ? ?-C ? ? y ? BW W y Z ? ? ? ? ? ? ?? A z ?? 重力在牵连垂直坐标系下为：

?? -L ??

? 0 ?

?? sin a cos -sin a s in cos a ?? ?? -L ??

? ? V ? ?

?? g ??

(3)

设发动机的安装角为，发动机的推力在机体坐标系的表示如下：

?T x ? ? T cos ? ?T ? = ? 0 ? (4)

? ??T y ? ? ? ? ?

?-T sin ?

?

由坐标转换可知 ：

E g

? ? B

q E B x B B

y B B ? B

=

? -sin ?

所以由上述公式可知：

mg B = mL BV g V

= mg ?sin cos ? ??cos cos ??

(5)

? -sin ? ? X ?

mg ?sin cos ? + ? Y ? = m a = m [V

E + ( + E ) V E ]

(6)

? ? ??cos cos ?? 其中：

? ? CB

?? Z ??

B B B

? u ? ?V ? ?cos cos -cos sin -sin ? ?V ? ?cos cos ?

V E

= ? v ? = L ? 0 ? = ? sin cos 0 ? ? 0 ? = ? sin ?V (7)

B ? ? BW ? ? ? ? ? ? ? ? ??w ?? ?? 0 ?? ?? sin a cos -sin a sin cos a ?? ?? 0 ?? ?? sin a cos

?

? ? p ? = ? q ?

(8)

B ? ? ?? r ?? ? p E ?

E ? ? B ? ??

r E ?? （9）

带入原方程，可得其质心的动力学方程：

A + T cos - mg sin = m [u + (q E + q )w - (r E + r )v ] A + mg cos sin = m [v + (r E + r )u - ( p E

+ p )w ]

A - T sin + mg cos cos = m [w

+ ( p E + p )v - (q E + q )u ] z

B

B

（10）

（2）飞机的转动动力学方程： 由 G = h

（11）

且

（12）

由坐标变换知道：

h I R I = ? R I R I

dm

= L IB (R B + B R B

)

（13）

h B = L BI h I = ? L BI R I L IB R B dm + ? L BI R I L IB B R B dm

x zx y z y y y zx

z x x

z

z zx x y x

y B BI

I

B B B B B B B

B B B B B B

由书上的（4.7，4）的规则知道：

（14）

R B = L BI R I L IB

h B = ? R B R B dm + ? R B B R B dm

（15）

因为飞机一般认为是刚体飞机，故其变形分量一般认为为 0，所以：

h B = ? R B B R B dm = -? R B R B B dm = B B

? I x -I xy -I zx ? = ?-I I -I ? (16)

B ? xy

y yz ? ??

-I zx -I yz I z ??

? I x -I xy -I zx ? = ?-I I -I ?

B ? xy

y yz ? ??-I zx I xy =I yz =0

-I yz I z ?? L = I p - I ( r + pq ) -（I - I )qr - r ∑ h r + q ∑ h r M = I q

- I (r 2

- p 2

) - (I - I )rp + r ∑ h r - p ∑ h r

(17)

N = I r - I ( p - qr ) - (I - I ) pq - q ∑ h r + p ∑ h r

考虑发动机转子的转动惯量，可得

h r = r r

B B B (18)

h = R R dm + ∑ h r =

+ ∑ h r

B

?

B B B B

B

B

B

(19)

可知在体轴系下的各转矩为：

G = L G = h + h = +

+ + ∑ h r + ∑ h r

V = v y ? ? ? ? ? ? 3 2

? L ? ? I x -I xy -I zx ? ? p ? ? I x -I xy -I zx ? ? p ? ? 0 -r q ? ? I x -I xy -I zx ? ? p ? ?M ? = ?-I I -I ? ?q ? + ?-I I -I ? ?q ? + ? r 0 - p ? ?

-I I -I ? ?q ?

? ? ? xy y yz ? ? ? ? xy y yz ? ? ? ? ? ? xy y

yz ? ? ? ?? N ?? ??

-I zx -I yz I z ?? ?? r ?? ??-I zx -I yz I z ?? ?? r ?? ??-q p 0 ?? ??-I zx -I yz I z ?? ?? r ?? ?∑h r ? ? 0 -r q ? ?∑h r ? ? x ? ? ? ? x ? + ∑h r

+ r 0 - p ∑h r ? y ? ? ? ? y ? ?∑h r ? ??-q p 0 ?? ??∑h r ??

? (3)

z ? V E

= L z

(V + W ) (20)

? u ?

V VB B B

?W x ?

(21)

? ? W B ? ? B ??w ?? ；

? ?

?W ? ? ? ?W z ?

(22)

x

E = (u + W x ) cos cos + (v + W y )(sin sin cos - cos sin ) + (w + W z )(cos sin cos + sin sin )

y

E = (u + W x ) cos sin + (v + W y )(sin sin sin + cos cos ) + (w + W z )(cos sin sin - sin cos )

z

E = (u + W x ) sin + (v + W y ) cos + w cos cos (4)

(23)

由公式-

V

= i + j 3 + k 2

再根据欧拉角的矩阵变化知

?1? ? 0

?

? -sin ?

i = ?0? ??0??

j = ? cos ? ??- sin

??

k = ?cos sin ? ??cos cos ??

(24)

当

V

和E

均予忽略时，则[P ，Q ，R]=[p ,q ,r],即 F B 相对于 F I 的角速度，方程可写成如下形式：

? P ? ?1 0 -sin ? ? ? ?Q ? = ?0 cos cos sin

? ?? ? ? ? ? ? ? (25)

?? R ?? ??0 -sin cos cos ?? ?

?

? ? 通过求逆，知：

? ? ?1 sin tan

cos tan ? ? P ?

? ? = ?0 cos -sin ? ?Q ?

? ? ? ? ? ?

(26)

?? ??

??0 sin sec cos sec ?? ?? R ??

（5）当无风和具有对称面的刚体飞机，其六自由度运动方程为：

质心动力学方程：

=

x B B

A + T cos - mg sin = m [u + (q E + q )w - (r E + r )v ] A + mg cos sin = m [v + (r E + r )u - ( p E + p )w ]

y

B

B

(27)

A - T sin + mg cos cos = m [w

+ ( p E + p )v - (q E

+ q )u ] z

B

B

若忽略地球的自转则可得：

A x + T cos - mg sin = m [u + qw - rv ] A y + mg cos sin = m [v + ru - pw ] A z - T sin + mg cos cos = m [w

+ pv - qu ] 绕质心转动的动力学方：

由于具有对称面，且可以忽略 B 有： I xy =I yz =0 根据（2）推出其简化的动力学方程为：

L = I x p - I zx ( r + pq ) -（I y - I z )qr

(28)

M = I q - I (r 2 - p 2 ) - (I - I )rp

y

zx

z

x

N = I z r

- I zx ( p - qr ) - (I x - I y ) pq 质心运动学方程： 根据（3）可知，

x

E = (u + W x ) cos cos + (v + W y )(sin sin cos - cos sin ) + (w + W z )(cos sin cos + sin sin ) y

E = (u + W x ) cos sin + (v + W y )(sin sin sin + cos cos ) + (w + W z )(cos sin sin - sin cos ) z

E = (u + W x ) s in + (v + W y ) cos + w c os cos 由于是无风，故

W x = W y = W z = 0

x E = u cos cos + v (sin sin cos - cos sin ) + w (cos sin cos + sin sin ) y E = u cos sin + v (sin sin sin + cos cos ) + w (cos sin sin - sin cos ) z E = u s in + v c os + w cos cos

绕质心转动的运动学方程： 根据（4）可知

= P + Q sin tan + R cos tan = Q cos - R sin = Q sin sec + R cos sec

二、小扰动线化

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

设基准运动为对称定常直线水平飞行，假设飞机是具有对称面的刚体。将地球作为惯性系， 即平面地球假设。 力方程为：

X - mg sin = m [u + qw - rv ]

Y + mg cos sin = m [v + ru - pw ] Z + mg cos cos = m [w

+ pv - qu ] X - mg sin = m [u

+ qw - rv ] 实际运动状态满足如下方程，且忽略二阶小项：

X 0 + ?X - mg sin (

0 + ?

) = m ?u

基准方程为：

X 0 - mg sin

0 = 0

所以可知小扰动方程为：

?u = ?X - g ?cos

(34)

(35)

(36)

m

(37)

对于 Y 方向的力方程知：

Y + mg cos sin = m [v

+ ru - pw ] 对其小扰动线化，忽略部分二次小项可得：

Y 0 + ?Y + mg cos(0 + ?)= m (v

+ ru 0 ) 且(cos 0 cos ?- sin 0 sin ?)= cos 0 而

基准方程为：

Y 0 = 0

(38)

(39)

所以可知Ｙ方向的小扰动方程为：

v =

?Y + g cos

- ru

m

(40)

对于 Z 方向的力方程：

Z 0 + mg cos cos = m [w

+ pv - qu ] 实际运动状态满足如下方程，且忽略二阶小项：

Z 0 + ?Z + mg (cos 0 - ?sin 0 ) = m (w

- qu 0 ) 基准方程为：

Z 0 + mg cos

0 = 0

所以可知小扰动方程为：

w = ?Z - g ?sin + qu

(41)

(42)

(43)

m

(44)

对于滚转力矩方程：

y zx z x L = I x p - I zx ( r + pq ) -（I y - I z )qr M = I q - I (r 2 - p 2 ) - (I - I )rp

y

zx

z

x

N = I z r

- I zx ( p - qr ) - (I x - I y ) pq 对于 X 方向的力矩知： L = I x p - I zx ( r + pq ) -（I y - I z )qr

实际运动状态满足：

L 0 + ?L = I x p

- I zx r 基准状态：

L 0 = 0

得到小扰动线化方程：

?L = I x p

- I zx r 对于俯仰力矩方程:

M = I q - I (r 2

- p 2

) - (I - I )rp

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

实际运动状态满足：

M 0 + ?M = I y q

基准状态：

M 0 = 0

(51)

(52)

得到小扰动线化方程：

?M = I y q

对于偏航力矩方程：

N = I z r

- I zx ( p - qr ) - (I x - I y ) pq

(53)

(54)

实际状态方程满足：

N 0 + ?N = I z r

- I zx p 基准方程：

N 0 = 0

(55)

(56)

得到小扰动线化方程：

?N = I z r

- I zx p 刚体飞机全量运动方程组：

(57)

?

? X - mg sin = m (u &+ qw - rv ) ?

Y - m g c os sin = m (v &+ r u - pw ) ?Z + mg cos cos = m (w

&+ pv - qu ) ? L = I p &- I (r &+ pq ) - (I - I )qr

(58)

?

x zx y z ?M = I q &- I (r 2 - p 2 ) - (I - I )rp

?

y zx z x

?? N = I z r

&- I zx ( p &- qr ) - (I x - I y ) pq 上式为飞行器六自由度非线性运动方程。采用小扰动法对方程线性化处理，基准运动为无倾斜、无侧滑的等速直线平飞运动，将那些包含运动参数与基准运动参数间差值的高于一阶的小量略去，使之成为线性方程。

扰动运动参数表达如下：

u = V + ?u ; v = ?u ; w = ?w ; p = ?p ; q = ?q ; r = ?r ;

= ?;= ?;= ?;= ?;= ?;

(59)

因为这些都是小量，取决于这些运动参数的外力和力矩按照泰勒级数性形式展开， 保留一阶项，略去高阶小项。

将上述小量代入方程组且略去运动参数增量的乘积项，方程简化为 m ( d ?u ) = X ? ?u + X ? w + X ? q + X ? ? + X ? ? - mg ?cos

dt u w q ?T T ?e e 0

m ( dv

+ V r ) = Y ? v + Y ? p + Y ? r + Y ? + Y + mg cos

dt 0 v p r a a r r

0 m ( dw

-V q ) = Z ? ?u + Z ? w + Z ? w &+ Z ? q + Z ? ? + Z ? ? + mg ?

dt 0 u w w & q ?T T ?e e

0 (60)

I dp - I ( dr

) = L ? v + L ? p + L ? r + L ? + L ?

x dt

xz dt v p r a a r

r I dq

= M ? u + M ? w + M ? w &+ M ? q + M ? ? + M ? ?

y

dt u w w & q ?T T ?e e I dr - I ( dp

) = N ? v + N ? p + N ? r + N ? + N ?

z dt

xz dt v p r a a r

r 上述为简化了的常系数线性微分方程，飞机外形和内部质量分布关于 x - o - z 平面对称，且有基准运动的左右对称性，将扰动量分为对称和非对称两类。迎角，前进速度， 俯仰角速度等变化时，没有破坏飞机气流的对称性，是对称的参数，这些参数变化引起的气动力和力矩。且纵向平面内的力合力矩在基准点对非对称运动参数的一阶导数必为零。由此进一步对上述常微分方程进行简化，可以将方程组分为互不相关的两组方程。即纵向扰动方程和横侧向扰动运动方程。

? ? ? T T

e e

? ? ? ? ? ? ? y w & y y w & y

纵向扰动运动方程： m ( d ?u ) = X ? ?u + X ? w + X ? q + X ? ? + X ? ? - mg ?cos

dt u w q ?T T ?e e 0

m ( dw

-V q ) = Z ? ?u + Z ? w + Z ? w &+ Z ? q + Z ? ? + Z ? ? + mg ?sin

(61)

dt 0 u w w & q ?T T ?e e

I dq

= M ? ?u + M ? w + M ? w &+ M ? q + M ? ? + M ? ?

y

dt

u w w & q ?T T ?e e 横侧向扰动运动方程： m ( dv

+ V r ) = Y

? v + Y ? p + Y ? r + Y ? + Y + mg cos

dt 0 v p r a a r r

I dp - I ( dr

) = L ? v + L ? p + L ? r + L ? + L ?

(62)

x dt

xz dt v p r a a r

r I dr - I ( dp

) = N ? v + N ? p + N ? r + N ? + N ?

z dt

xz dt v p r a a r

r 几何关系补充方程：

d ? = ?q , d ? = ?p , d ? = ?r

(63)

dt dt dt

将上述纵向扰动运动方程转化成状态方程形式：

? X u

X w X q

-g cos

?

?

m m m 0

? ??u &? ? Z Z mV + Z -mg sin ? ??u ?

? w &

? ? u w 0 q 0 ? ? w ? ? ? = ? m - Z w & m - Z w & m - Z w & m - Z w & ? ? ? ? q & ? ? ? ? q ? ? &? ? M u

+ Z u M M w + Z w M M q

+

mV 0 + Z q M - M w &mg sin 0 ? ? ? ??? ? I (m - Z )I w & I (m - Z )I w & I (m - Z )I w & I (m - Z ) ? ???

? y

w & y y w & y y w & y y w & ? (65) ?

? 0 0 1 0 ??

X ?

T X ? e

? ? m m ?

Z ? T

Z ? e

? ?? ?

+ ? m - Z w & m - Z w & ? ? ? ? M ? + Z ? M ? + ? M ? ??e ? ? ? I (m - Z )I w & I (m - Z )I w & ? 0 0 ? ? ?

纵向输出方程为：

??u ? ?1

0 0 0? ??u ?

? w ? ?0 1 0 0? ? w ? ? ? = ? ? ? ?

(66)

? q ? ?0 0 1 0? ? q ?

??? ?

0 0 0 1? ???

将上述横向扰动运动方程转化成状态方程形式：

T ?

? ? ?

0 0 0 1 ? ?

? Y v

Y p Y r - mu 0

g cos

? ? m

m

m 0 ? ? v &? ?

I L I N

I L

I N

I L I N ? ? v ? ? p &? ? z v +

zx v

z p +

zx

p

z r + zx r

0 ? ? p ?

? ? = ? I I - I 2

I I - I 2

I I - I 2 I I - I 2

I I - I 2 I I - I 2

? ? ? ? r &? ? x z zx x z zx x z

zx

x z

zx

x z zx x z zx

? ? r ? ?&? ? I zx L v + I x N v

I zx L p + I x N P I zx L r + I x N r 0 ? ??

? ?

? I I - I 2 I I - I 2

I I - I 2 I I - I 2

I I - I 2 I I - I 2

? ? ? ? x z zx

x z zx x z

zx

x z zx x z

zx

x z

zx

? ??

0 1

tan 0

0 ??

? Y

Y ?

a r

? m m ? I z L + I zx N I z L + I zx N ? ?? ? ? a a r r ?

+ I I - I 2 I I - I 2 I I - I 2 I I - I 2 a ? x z zx x z zx x z zx x z zx ? ??

? ? I L I N I L I N ? ? r ?

? zx a + x a zx r + x r ? ? I I - I 2 I I - I 2 I I - I 2 I I - I 2 ? x z zx x z zx x z zx x z zx ?? 0 0 ?

? 横向输出方程为：

? v ? ?1 0 0 0? ? v ?

? p ? ?0 1 0 0? ? p ? ? ? = ? ? ? ?

? r ? ?0 0 1 0? ? r ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

2 飞机的模态特征

(67)

本次我的作业为状态 13， 高度为 10000m,速度为 240m/s 。通过计算所得的配平的迎角，升降舵偏角和发动机推力为：

= 2.8304? e

= -0.5319?

Throtte=0.3285

2.1 飞机的纵向模态特性

通过计算可得飞机的纵向小扰动矩阵 A 、B 为计算得： ?-0.0042 0.0321

0 -9.7880? ?-0.0816 -0.5390 232.2048 -0.4842?

A = ?

? ? 0 0.0029 -0.6093 0 ?

? 0 0 1.0000 0 ? ? ?

?845.3511 0.0037 ? ? 0 -0.2707?

B = ?

? ? 0 0.1564 ? ? 0 0 ?

? ?

计算 A 的特征值和特征向量与特征值，计算结果如下： 模态 1：-1.4016； 模态 2：-0.0076 ±0.0791i 模态 3：0.2644

通过计算矩阵 A 的特征值可以得出飞机有三种模态，其中第一、二模态为收敛的模态，模态一为指数收敛的模态，模态 2 为周期长，衰减慢的振荡模模态。模态 3 为指数发散的短周期模态。

2.2 飞机的横航向模态特性

?-0.1701 -0.0211 -239.3711 9.788? ?-0.0721 -1.9734 0.3666 0 ?

计算得： A = ?

? ? 0.0171 -0.0212 -0.2554 0 ?

? 0 1 0.0495 0 ? ? ?

? 0.0374 0.1021 ? ?-12.2412 3.2371 ?

B = ?

? ? -0.5234 -1.5471? ? 0 0 ?

? ?

计算 A 的特征值和特征向量与特征值，计算结果如下： 模态 1：-0.1417±2.0808i （缓慢发散的荷兰滚模态） 模态 2：-2.1043（滚转模态） 模态 3：-0.0112（螺旋模态）

通过以上计算分析知道，飞机具有三个模态，其中一个为衰减很快的单调模态，其半衰期很短，对应于大负值特征根，一般称为滚转收敛模态，另一个单调变化模态对应于离远点很近的特征根，这里表现为很缓慢的发散，称为螺旋模态；一对共轭复特征根对应于频率较快、中等阻尼的周期振荡运动，称为荷兰滚。

滚转收敛模态主要表现为扰动恢复初期滚转角速度的迅速衰减变化，而偏航角额侧

滑角等的变化很小。螺旋模态主要表现为扰动后期的滚转角的变化，即带滚转、几乎无侧滑的缓慢的偏航运动。荷兰滚模态主要表现为扰动中期，飞机来回滚转和左右偏航并同时伴随着侧滑振荡。

3. 飞机的纵向操纵响应

3.1对升降舵1°偏角的时域响应（全量方程）

飞机的发散是很快的，在响应到1.5s 时，飞机的迎角已经超过老师给定的迎角对应的数值，且出现了突然的跳变，所以，选取迎角在-10 度以内的全量方程响应。

3.2对升降舵1°偏角的时域响应（小扰动方程）

4. 飞机的横航向操纵响应

4.1对副翼1°偏角的响应（全量方程）

这几个量可以看出状态量开始有一定的振荡趋势，但也很快趋于发散。

4.2对副翼1°偏角的响应（小扰动方程）

1在响应初始（0~2s 内），全量方程仿真的结果同小扰动仿真结果大体相同。对升降舵阶跃输入，迎角等响应均为单调发散。对于副翼阶跃输入，侧滑角等响应均呈现出振荡。

2对于升降舵阶跃输入响应，整个过程全量方程仿真同纵向小扰动方程仿真结果趋势大体相同，都呈单调发散趋势，但全量方程仿真结果发散速度明显比小扰动仿真慢。

3 对于副翼阶跃输入响应，全量方程仿真结果同小扰动仿真结果则有很大不同，由

于横纵向耦合，飞机最终呈一边俯冲一边滚转的运动状态，而小扰动仿真结果为横向的振荡发散。

5. 总结

由于飞机在配平状态附近是静不稳定的，所以一旦飞行状态有扰动（如控制面偏转），其运动模式就会很快地进入发散模态。这样，各状态量会大幅度变化，小扰动方程也不再适用。最终纵向上的全量方程和小扰动线化方程的计算结果自然相差很大。而在全量方程中，飞机的横向运动和纵向运动是耦合的；在横向上的扰动（副翼偏转）很快会导致纵向运动模式的发散，从而影响横向运动。所以自然的，横向上全量方程和小扰动线化方程的计算结果也会相差很大。

飞机非线性六自由度全量方程更能真实地反映飞机飞行过程中的真实状态，由于没有做任何简化，飞机六自由度全量方程结合试验所得气动数据，能够更加真实地反映飞机的飞行状态及响应。小扰动线化方程的适用性需视具体模型以及扰动大小而定，小扰动线化模型由于做了很多简化，在模型非线性特性较低，扰动较小且能收敛时使用，当扰动发散且模型非线性特性较强时，需要在不同特征点进行小扰动线化，从而更加接近真实模型。