七年级数学上册精选例题变式全解析
讲次01 有理数的分类及数轴
考点一、有理数分类
按照整数和分数的分类
【注意】0既不是正数也不是负数。
按正数、负数、和零的关系分类
有理数分类注意事项：
1.无限不循环的小数不是有理数，比如：圆周率。
2.无限循环的小数是有理数，比如：0.6666666…
3.如200%，6/3能约分成整数的数不能算做分数
考点二、数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 实心点表示包括本数，空心点表示不包括本数。
命题角度一 正负数在实际生活中的应用
例题1．如果向东走2m 记为2m +，则向西走3m 可记为( ) A ．3m +
B ．2m +
C ．3m -
D ．2m -
【解析】若向东走2m 记作+2m ，则向西走3m 记作-3m ，选C ．
变式1．如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（ ） A ．增加14%
B ．增加6%
C ．减少6%
D ．减少26%
【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示减少6%．选C ．
变式2．四个足球与足球规定质量偏差如下：﹣3，+5，+10，﹣20（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（ ）
A ．+10
B ．﹣20
C ．﹣3
D ．+5 【分析】质量偏差越少越好，最符合规定的是﹣3. 【解析】最符合规定的是﹣3，选C . 【小结】本题主要考查负数的意义.
变式3．花店、书店、学校依次坐落在一条东西走向的大街上，花店位于书店西边100米处，学校位于书店东边50米处，小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，此时小明的位置（ ） A ．在书店 B ．在花店 C ．在学校
D ．不在上述地方
【分析】由题意知，可看作书店为原点，花店位于书店西边100米处，即-100米，学校位于书店东边50米处，即+50米，解答出即可．
【解析】根据题意：小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，即向东走了50米，而学校位于书店东边50米处，故此时小明的位置在学校．选C ．
【小结】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，解题的关键在于对正负坐标的理解．
命题角度二有理数的分类
例题2．把下列各数填入它所在的数集的括号里．
﹣1
2
，+5，﹣6.3，0，﹣
12
13
，2
4
5
，6.9，﹣7，210，0.031，﹣43，﹣10%
正数集合：{…}
整数集合：{…}
非负数集合：{…}负分数集合：{…}．
【解析】正数集合：{+5，24
5
，6.9，210，0.031 …}；
整数集合：{+5，0，﹣7，210，﹣43 …}；
非负数集合：{+5，0，24
5
，6.9，210，0.031 …}；
负分数集合：{﹣1
2
，﹣6.3，﹣
12
13
，﹣10% …}．
故答案为{+5，24
5
，6.9，210，0.031…}；{+5，0，﹣7，210，﹣43…}；{+5，0，2
4
5
，6.9，
210，0.031 …}；{﹣1
2
，﹣6.3，﹣
12
13
，﹣10%…}．
变式1．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：
－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0.618，0，－0.101
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}．
【解析】正数集合：{3.14，＋72，0.618，…}；
负数集合：{－2.5，－2，－0.6，－0.101，…}；
分数集合：{－2.5，3.14，－0.6，0.618，－0.101，…}；
非负数集合：{3.14，＋72，0.618，0，…}．
变式2．（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；
2016，﹣15%，﹣0.618，71
2
，﹣9，﹣
2
3
，0，3.14，﹣72
（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
【解析】（1）根据题意如图：
（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；
（3）最大数是2016，最小数是72
-，
∴最大的数与最小的数之和2016(72)1944
+-=．
命题角度三数轴的三要素及画法
例题3．下列数轴画正确的是()
A．B．
C．D．
【解析】A、没有单位长度，故错误；B、没有正方向，故错误；C、原点、正方向、单位长度都符合数轴的条件，故正确；D、数轴的左边单位长度的表示有错误．
选C．
变式1．下列图中数轴画法不正确
．．．的有（）.
（1）（2）（3）
（4）（5）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】（1）没有正方向，数轴画法不正确；（2）单位不统一，数轴画法不正确；
（3）缺少单位长度，数轴画法不正确；（4）单位不统一，数轴画法不正确；
（5）符合数轴的定义，数轴画法正确．选C．
变式2．下列各图表示数轴正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【解析】各图表示数轴正确的是：
．
选C．
命题角度四用数轴上的点表示有理数
例题4．如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）
A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5
【解析】由数轴可知小手遮挡住的点在-1和0之间，而选项中的数只有-0.5在-1和0之间，所以小手遮挡住的点表示的数可能是-0.5，选C．
变式1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）
A．3B．2C．1D．－1
【解析】数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1，选D．
【小结】考查有理数与数轴上点关系，任何一个有理数都可以用数轴上点表示，在数轴上，原点左边点表示负数，原点右边点表示正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
变式2．如图，2
5
倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( )
A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H
【解析】2
5
的倒数是
5
2
，∴
5
2
在G和H之间，选D．
变式3．若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）
A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧【解析】∵|a|=-a，∴a一定是非正数，∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧，选B．
命题角度五利用数轴表示有理数的大小
例题5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a
【解析】根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即得出答案．
∵从数轴可知：a＜0＜b，∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，∴﹣b＜0＜﹣a，
变式1．，在数轴上位置如图所示，则，，，的大小顺序是( )
A．B．
C．D．
【分析】从数轴上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结论即可得出答案．
【解析】从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，
∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，即b＜-a＜a＜-b，
选D．
变式2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b
【解析】试题分析：A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
B．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C．如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣3＜a＜﹣2，故a＜﹣b，故此选项错误；D．由选项C可得，此选项正确．
选D．
变式3．有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．m<-1B．n>3C．m<-n D．m>-n
【解析】由数轴可得，-1＜m＜0＜2＜n＜3，选项A错误，选项B错误，
∴m＞-n，选项C错误，选项D正确
命题角度六 数轴上的动点问题
例题6．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m 、n 、p 、q ，如图2，先让圆周上表示m 的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示-2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A ．m
B ．n
C ．p
D ．q
【解析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，-1，-2，-3，则分别与圆周上表示字母为m ，q ，p ，n 的点重合．2019÷4=504...3，故-2016与n 点重合.
变式1．在数轴上，把表示﹣4的点移动1个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（ ） A ．﹣2
B ．﹣6
C ．﹣3 或﹣5
D ．无法确定
【分析】分两种情况讨论：把表示﹣4的点向左移动1个单位长度或向右移动1个单位长度，然后根据数轴表示数的方法可分别得到所得到的对应点表示的数．
【解析】把表示﹣4的点向左移动1个单位长度为－5，向右移动1个单位长度为－3．选C ． 【小结】考查数轴：数轴三要素（正方向、原点和单位长度）；数轴上原点左边点表示负数，右边的点表示正数；左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了分类讨论的思想．
变式2．已知数轴上的三点A 、B 、C ，分别表示有理数a 、1、﹣1，那么|a +1|表示为（ ） A ．A 、B 两点间的距离 B ．A 、C 两点间的距离
C ．A 、B 两点到原点的距离之和
D ．A 、C 两点到原点的距离之和 【解析】因为1(1)a a +=--，所以1a +表示A 点与C 点之间的距离，选B
变式3．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）
A．﹣2πB．1﹣2πC．﹣πD．1﹣π
【解析】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．
∴A点对应的数是1﹣2π．选B．
讲次02 绝对值与相反数
考点一相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）注意：
1、通常a与-a互为相反数；
2、a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3、特别注意，0的相反数是0.
考点二绝对值
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
命题角度一求一个数的相反数
例题1．﹣2
5
的相反数是（）
A．﹣2
5
B．
2
5
C．﹣
5
2
D．
5
2
【解析】-2
5
的相反数是：
2
5
．选B．
变式1．如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )
A．+a和一(-a)互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-(+a)和+(-a)一定相等【解析】A.()a a
--=，两个数相等，故错误.
B.当0
a=时，a+与a-相等，故错误.
C.a
-可以是正数，也可以是负数，还可以是0.故错误.
D．正确，选D.
变式2． -(－6)的相反数是 （ ） A ．|－6|
B ．－6
C ．0.6
D ．6
【解析】?(?6)=6，∴6的相反数是?6，选B .
变式3．已知1=a ，b 是2的相反数，则+a b 的值为( ) A ．-3
B ．-1
C ．-1或-3
D ．1或-3
【解析】∵1=a ，b 是2的相反数，∴1a =或1a =﹣，2b =﹣， 当1a =时，121a b +==﹣﹣；当1a =﹣时，123a b +==﹣﹣﹣； 综上，+a b 的值为-1或-3，选C ．
命题角度二 判断两个数是否互为相反数 例题2．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．-（-1）与1
B ．（－1）2与1
C ．|1|-与1
D ．－12与1
【解析】选项A ，-（-1）与1不是相反数，选项A 错误；选项B ，（－1）2与1不是互为相反数，选项B 错误；选项C ，｜-1｜与1不是相反数，选项C 错误；选项D ，－12与1是相反数，选项正确．故答案选D ．
变式1． A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B 答案正确．选B ．
变式2．如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A ．点
B 与点 D
B ．点 A 与点 C
C ．点 A 与点 D
D ．点 B 与点 C
【解析】到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数，选C
变式3．下列各对数互为相反数的是（ ） A ．＋(＋3)与－(－3) B ．＋(－3)与－(＋3) C ．＋|＋3|与＋|－3|
D ．＋|－3|与－|＋3|
【解析】A 、+（+3）=3，-（-3）=3，两者相等，故本选项错误； B 、＋(－3)=-3，－(＋3)=-3，两者相等，故本选项错误； C 、＋|＋3|=3，＋|－3|=3，两者相等，故本选项错误； D 、＋|－3|=3，－|＋3|=-3，两者互为相反数，故本选项正确； 选D ．
命题角度三 多重符号化简
例题3．下列化简，正确的是（ ） A ．﹣（﹣3）=﹣3 B ．﹣[﹣（﹣10）]=﹣10 C ．﹣（+5）=5
D ．﹣[﹣（+8）]=﹣8
【解析】A 、-（-3）=3，故错误；B 、-[-（-10）]=-10，故正确； C 、-（+5）=-5，故错误；D 、-[-（+8）]=8，故正确． 选B ．
变式1．化简－(+2)的结果是（ ） A ．－2
B ．2
C ．±2
D ．0
【解析】-（+2）=-2，选A ．
变式2．下列各数中互为相反数的是（ ） A ．(5)+- 与 5- B ．(5)-+ 与 5- C ．(5)-+ 与
|5|--
D ．(5)-- 与 (5)+-
【解析】A 、+（-5）=-5，选项错误；B 、-（+5）=-5，选项错误； C 、-（+5）=-5，-|-5|=-5，选项错误；
D 、-（-5）=5，+（-5）=-5，5与-5互为相反数，选项正确，选D ．
变式3．﹣（﹣3）的绝对值是（ ） A ．﹣3
B ．
13
C ．3
D ．﹣
13
【解析】∵﹣（﹣3）＝3，3的绝对值等于3， ∴﹣（﹣3）的绝对值是3，即|﹣（﹣3）|＝3．选C ．
命题角度四 相反数的应用
例题4．已知x ﹣4与2﹣3x 互为相反数，则x =（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．
32
D ．﹣
32
【解析】因为x ﹣4与2﹣3x 互为相反数, 所以x ﹣4+2﹣3x =0,解得:x =-1. 选B .
变式1．若37m -和9m -互为相反数，则m 的值是（ ） A ．4
B ．1
C ．1-
D ．4-
【解析】由题意知3790m m -+-=，则379m m -=-，
22m =-，
1m =-，
选C ．
变式2．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（）
A．2 B．-2 C．1 D．-1 【解析】由a与1互为相反数，得a+1=0,即a=-1，
故|a+2|=|-1+2|=1.
选C
命题角度五求一个数的绝对值
例题5．2019
-=( )
A．2019 B．-2019 C．
1
2019
D．
1
2019
-
【解析】20192019
-=.
选A．
变式1．如图，在数轴上点A所表示的数的绝对值为（）
A．1B．﹣1C．0D．2 【解析】由数轴可得：点A表示的数是﹣1．
∵|﹣1|=1，∴数轴上点A所表示的数的绝对值为1．
选A．
变式2．已知a与1的和是一个负数，则|a|=（）
A．a B．﹣a C．a或﹣a D．无法确定
【解析】∵a与1的和是一个负数，
∴a＜-1．
∴|a|=-a．
选B．
变式3．在0，1-，2，3-这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A ．0
B ．1-
C ．2
D ．3-
【解析】∵|?1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|?3|＝3， ∴这四个数中，绝对值最小的数是0；选A ．
命题角度六 化简绝对值
例题6．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a |﹣|a +b |的值等于（ ）
A ．c +b
B ．b ﹣c
C ．c ﹣2a +b
D ．c ﹣2a ﹣b
【解析】由数轴可知，b ＜a ＜0＜c ，∴c -a ＞0，a +b ＜0， 则|c -a |-|a +b |=c -a +a +b =c +b ，选A ．