数列极限求法及其应用

数列极限的求法及其应用

内容提要

数列极限可用N

ε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.

最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.

关键词

ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限

N

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit

Abstract

The limit of a sequence can be accurately defined by N

ε-language and A N

-language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.

Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

Key Words

ε-definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits N

目录

第一章数列极限的概念 (1)

1.1 数列极限的定义及分类 (1)

1.2 数列极限求法的常用定理 (2)

第二章数列极限的求法 (4)

2.1 极限定义求法 (4)

2.2 极限运算法则法 (6)

2.3 夹逼准则求法 (7)

2.4 单调有界定理求法 (8)

2.5 函数极限法 (9)

2.6 定积分定义法 (10)

2.7 Stoltz公式法 (11)

2.8 几何算术平均收敛公式法 (12)

2.9 级数法 (13)

2.10 其它方法 (15)

第三章数列极限在现实生活中的应用 (17)

3.1 几何应用-计算面积 (17)

3.2 求方程的数值解 (18)

3.3 市场经营中的稳定性问题 (19)

3.3.1 零增长模型 (19)

3.3.2 不变增长模型 (20)

3.4 购房按揭贷款分期偿还 (21)

第四章结论 (23)

致谢 (24)

参考文献 (24)

数列极限的求法及其应用

学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师

第一章 数列极限的概念

在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类

数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，

我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积n A 在n 无限增大（n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.

针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：N ε-定义，A N -定义.

定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε?>，?正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限

增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞

=，或()n a a n →→+∞.

这时，也称{}n a 的极限存在.

定义2（A N -语言）：若0A >,?正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于

+∞，记作lim n n a →+∞

=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限.

对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-?也都是收敛数列，且有 ()()lim lim lim ,

lim lim lim .n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞

→∞

→∞

→∞

→∞→∞±=±?=?

若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞

≠，则n n a b ??????

也是收敛数列，且有

lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞

→∞

??

= ???. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理1.2.3（∞

Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，

且lim n n x →+∞

=+∞（注意：不必lim n n y →+∞

=+∞）.如果

1

1

lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），

则 1

1

lim lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==- 定理1.2.3'（00

Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞

=，lim 0n n y →+∞

=.若

1

1

lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），

则

1

1

lim

lim n n

n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-. 定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞

=，则 （1）12 (i)

n

n a a a a n

→∞

+++=， （2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞

=. 定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=.

定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0

lim

x x

f x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞

都存在且相等.

第二章 数列极限的求法

2.1 极限定义求法

在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.

例2.1.1 求lim n

n a →∞

，其中0a >. 解：lim 1n

n a →∞

=. 事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n

a α=-，则0α>. 由 ()

11111n

n a n n a αα??

=+≥+=+- ???

,

得 1

1

1n

a a n

--≤

. （5） 任给0ε>，由（5）式可见，当1

a n N ε

->

=时，就有1

1n

a ε-<.即11n

a ε-<.

所以lim 1n

n a →∞

=. 对于01a <<的情况，因11a >，由上述结论知1

lim 1n n a

→∞

=，故 11

lim lim 11

1/n

n

n n a a →∞→∞===. 综合得0a >时，lim 1n

n a →∞

=. 例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.

证明：由lim n n a a →∞

=，则0ε?>，存在10N >，使当1n N >时，有

/2n a a ε-<,

则

()

111211 (1)

......n N N n a a a a a a a a a a a a n n

++++-≤-++-+-++-. 令1

1...N c a a a a =-++-，那么

121 (2)

n a a a n N c a n n n ε

+++--≤+?. 由lim

0n c

n

→∞

=，知存在20N >，使当2n N >时，有2

c n

ε

<. 再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知

121 (2222)

n a a a n N a n n εεεε

ε+++--≤+?<+=. 所以 12 (i)

n

n a a a a n

→∞

+++=. 例 2.1.3 求7lim !

n

n n →∞. 解：7lim 0!

n

n n →∞=. 事实上，7777777777771

......

!127817!6!n n n n n n

=???≤?=?-. 即77710!6!n n n

-≤?. 对0ε?>，存在7716!N ε??

=?????

，则当n N >时，便有

7771

0!6!n n n

ε-≤?<，

所以7lim 0!n n n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim 00!

n

n c c n →∞=>.

2.2 极限运算法则法

我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.

例2.2.1 求1110

1110

...lim ...m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.

解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为

1111011110...lim ...m k m k k k

m m k k

n k k a n a n a n a n b b n b n b n ---------→∞-++++++++.

由()lim 00n n αα-→∞

=>，知， 当m k =时，所求极限等于

m

m

a b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到

11101110,...lim ....0,m

m m m m m k k n k k a k m

a n a n a n a

b b n b n b n b k m

---→∞-?=++++?=?++++?>?

例2.2.2 求lim 1

n n n a a →∞+，其中1a ≠-. 解: 若1a =，则显然有1

lim 12n n n a a →∞=+； 若1a <，则由lim

0n n a →∞

=得 ()

lim lim /lim 101n

n n n n n n a a a a →∞→∞→∞

=+=+； 若1a >，则

11

lim lim 11110

1n n n n n a a a

→∞→∞===+++.

2.3 夹逼准则求法

定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()

()

1321lim 242n n n →∞????-????.

解：因为

()()()()2224412121212121n n n n n n n n =>-=+--=-?-，

， 所以 ()()132113321211

02421335212121

n n n n n n n ????-?-?-<

??????-?++. 因 1

lim

021

n n →∞

=+，再由迫敛性知 ()

()

1321lim

0242n n n →∞

????-=????.

例2.3.2 求数列{}n n 的极限.

解： 记1n n n a n h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112

n n

n n n n h h -=+>,

由上式得 ()2

011

n h n n <<

>-，从而有 2

1111

n n a h n ≤=+≤+

- , （2） 数列211n ????+??-????是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当

n N >时有2

111

n ε+

-<-.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为

1,故由迫敛性得

lim 1n

n n →∞

=. 例2.3.3 设1a >及*

k N ∈，求lim k

n

n n a →∞. 解：lim 0k

n

n n a →∞=. 事实上，先令1k =，把a 写作1η+，其中0η>.我们有 ()

()()222

01111 (2)

n n n n n n n a n n ηηηη<

==<--++++.

由于()()22lim 021n n n η→∞=≥-，可见n n a ??????

是无穷小.据等式 ()1/k

k

n n k n n a a ?? ?= ???

， 注意到1/1k

a

>，由方才所述的结果()1/n

k n a ????

??????

是无穷小.最后的等式表明，k n n a ??

????

可表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim 0k

n

n n a →∞=. 2.4 单调有界定理求法

有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.

例2.4.1 求例2.1.3注解中的()lim 00!n

n c c n →∞=>. 解：()lim 00!

n

n c c n →∞=>.

事实上，令*!

n

n c x n N n =∈，.当n c ≥时，

()

11n n

n c

x x x n +=≤+. 因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞

=存在，在等式()

11n n

c

x x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =?=,所以{}n x 为无穷小.从而

()lim 00!

n

n c c n →∞=>. 例2.4.2 求极限lim 333n →∞

???（n 个根号）.

解：设3331n a =???>，

又由133a =<，设3n a <，则13333n n a a +=，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛.

令lim 13n n a a a →∞

=≤≤，，由13n n a a +=， 对两边求极限得3a a =，故3a =. 2.5 函数极限法

有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.

例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求lim n

n a →∞. 解：先求lim x

x a →∞，因ln ln lim

1/0lim lim lim 1x a

a x

x x

x x x x a a e e

e →∞→∞→∞→∞

=====,

再由归结原则知lim 1n

n a →∞

=.

例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求lim n

n n →∞

. 解：先求lim x

x x →∞.因ln ln lim

0lim lim 1x x

x x

x

x x x x e e

e →∞→∞→∞

====，

再由归结原则知lim 1n

n n →∞

=. 例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*

k N ∈，求lim k n

n n

a →∞. 解：先求lim k

x

x x a →∞.因()1!

lim lim .....lim 0ln ln k k k x x x x x x x kx k a a a a a -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim 0k

n

n n a →∞=. 2.6 定积分定义法

通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了. 例2.6.1 求!lim

n

n n n

→∞

. 解：令!n

n y n =，则11ln ln n i i

y n n

==∑.而

()++110001

1limln lim ln ln lim ln lim 1ln 1n n n i i

y xdx xdx n n εεεεεε→∞→∞→→=====---=-????∑??, 也即ln lim

1n y →∞=-，所以1!

lim lim n

n n n y e n

-→∞→∞

==. 例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞?? ?+++ ?+ ?

++?

?. 解：因为

22sin

sin

...sin sin sin sin ...11112n

n n n n n n n n

π

πππ

ππ+++<

+++++++

2sin

sin

...sin 1n

n n n

π

π

π+++<

+ ， 2s i n s i n ...s i n

12lim lim sin sin ...sin 111

2lim sin sin ...sin n n n n n n n n n n n n n n ππ

πππππππ

ππππ→∞→∞→∞+++????=??+++ ???

++?

?????

??

=+++ ???

?

???

1

2

sin xdx π

π

π

==

?

，

类似地

2sin

sin

...sin lim 1n n

n n n

π

π

π→∞

++++ 22122

lim sin sin ...sin 1n n n n n n ππππππ→∞????=??+++= ???+?

???， 由夹逼准则知

2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ

→∞??

?+++= ?+ ?++?

? . 注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法 Stoltz 公式，1

1

lim

lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1

n

n k k y a ==∑时特别有效.

例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明. 证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明.

令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到

()()()

1212121 (i)

......lim 1n n n n n a a a n

a a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--

lim lim 1n

n n n a a a →∞

→∞

===. 例2.7.2 求1

12...lim k k k

k n n n +→+∞+++. 解： ()

11112...lim lim 1k k k k

k k k n n n n n n n +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式） ＝()

1

1211

1

lim ...1k

k k k n k k n C n C n

+-→+∞++-+-- （二项式定理）

＝

1

111

1

k C k +=+. 2.8 几何算术平均收敛公式法

上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多**n n

，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.

例2.8.1 同例2.1.1一样求lim n

n a →∞

，其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知

lim lim 1n

n n n a a →∞→∞

==. 例2.8.2 同例2.3.2一样求lim n

n n →∞

. 解：令()112,3, (1)

n n

a a n n ==

=-，,由定理1.2.4（2）知 lim lim lim 11

n

n n n n n n a n →∞→∞→∞===-. 例2.8.3 同例2.6.1相似求lim

!

n

n n n →∞.

解：令()111n

n

n n

n a n n +??=+= ???

,则 ()123

12

231234123n

n n n a a a n +?????=??????

＝

()()11!

!n

n

n n

n n n n n n ++=?

. 所以

121!n n n

n n a a a n

n +?????=?， 也即121!

n n n

n n a a a n n =??????+，而由定理1.2.4（2）知

121lim lim lim 1n

n n n n n n a a a a e n →∞→∞→∞

??

?????==+= ???

. 故

12lim

lim lim 11!

n n n

n n n n n n a a a e e n n n →∞→∞→∞=??????=?=++. 例2.8.3 求3123...lim n n n

n

→∞++++. 解：令(),1,2,3...n n a n n ==，则由定理1.2.4（1）知

3123 (i)

lim lim 1n n n n n n n

a n n

→∞→∞→∞++++===. 2.9 级数法

若一个级数收敛，其通项趋于0（0n →）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.

例2.9.1 用级数法求例2.1.3注()lim 0!

n

n c c n →∞>.

解：考虑级数!

n

c n ∑，由正项级数的比式判别法，因

()1lim /lim 011!!1

n n n n c c c

n n n +→∞→∞==<++， 故级数!

n c n ∑收敛，从而()lim 00!n

n c c n →∞=>. 例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*

k N ∈，求lim k

n

n n a →∞. 解：考虑正项级数k

n n a

∑，由正项级数的比式判别法，因

()1

1111

lim

/lim 1k

k

k n n n n n n n a a a n a

+→∞

→∞++??=?=< ???， 故正项级数k n n a ∑收敛，所以lim 0k

n n n a

→∞=. 例2.9.3 求极限()()222

111lim ...12n n n n →∞??+++??+????

. 解： 因级数21

1

n n ∞

=∑

收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε?>，存在0N >, 使得当n N >时，

21221111

n

n k k k k

ε-==-<∑∑，

此即

()()

222111

...12n n n ε+++<+， 所以

()()222

111lim ...012n n n n →∞??

+++=??+????

. 例2.9.4 求极限()21

2lim ...1n n n a a a a →∞

?

?+++> ???

.

解：令1

x a

=，所以1x <.考虑级数

1

n

n nx

∞

=∑，

因为()1

11lim lim

1n n n n n n

n x a

x a nx ++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.

令 ()1

n

n s x nx ∞

==∑，则()1

1

n n s x x nx

∞

-==?∑.再令()11

n n f x nx ∞

-==∑，

()1

1

1

1x

x

n n n n x

f t dt nt dt x x

∞

∞

-=====

-∑∑?

?. 所以

()()

2

111x f x x x '

??== ?-??-. 而 ()()()

()

1

2

2

111x

a s x x f x x a --=?==

--,

所以

()()

122112

lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-??+++== ???-. 2.10 其它方法

除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子. 例2.10.1 求()

22limsin n n n π→∞

+.

解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. ()()

2222limsin limsin n n n n n n n πππ→∞→∞

+=+-

＝22

2

lim

sin lim sin 111n n n n n n

n

ππ

→∞

→∞

=++++

＝2

sin 12

π

=.

例2.10.2 设2

1101222

n

n a c c c a a +<<==+，，,

证明：{}n a 收敛，并求其极限.

解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102

c a c <=<.假设01n a c <<<，

则2

210222222

n n a c c c c c

a c +<=+<+<+=.

令()2

22

c x f x =+，则()f x x '=.

()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=?-

＝11n n n n a a c a a ξ--?-<-， （1）

其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞

=,则2

c l c ≤≤.

由于

2

122

n

n a c a +=+，

所以

22

,2022

c l l l l c =+-+=.

解得11l c =+-（舍去），11l c =--.

综上知lim

11n n a c →∞

=--. 注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.